無限小的悖論與微觀世界的探索
束縛在洞穴中的囚徒看到牆壁上運動著的陰影，分析外界發生的事情，而從外界自由人看來，有時真實情景會與投射的陰影存在顯著的偏差，試想一下，比如：陰影是二維的，陰影呈現的物體大小往往不是真實物體的大小，卻與物體與牆壁的距離相關。當囚徒在牆壁上看到洞外一大一小兩個人物的陰影時，想當然認為陰影顯得高大的人物要比陰影瘦小的人物更強壯有力，但實際上那個有著高大陰影的人物很有可能只是比瘦小陰影的人物距離洞穴更近，其實並不更強壯。由於接收信息受限，囚徒的主觀思維與真實場景的偏差往往是巨大的！
除了接收信息侷限性帶來的認知偏差，觀察能力不足和觀察手段落後也會給人類帶來認知上的“錯誤”。關於物質性質的一個重要問題就是“物質能夠無限分割下去嗎？”我們現在已經知道組成物質的基本單位是分子，分子又是由原子組成，而原子又包括原子核以及圍繞原子核運動的電子，進一步分下去原子核又由中子和質子組成，而中子和質子又可以分割成夸克。之後呢？至少目前物理學對夸克後面是否可以再分是無法下定論的，但是按照量子力學的理論，我們所處的宇宙無論是長度還是時間都是量子化的，也就是存在極限最小值。
古人對待物質分割的認知往往是哲學化的，物質無限分割的問題可以化為現實世界是否存在無限小的長度問題。中國古代哲學家莊子曾提到：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭。”，也就是一尺長的木頭，如果每天把它的長度的一半取下來，那麼永遠也取不完，這種論斷與物質無限分割實際上是同一個意思，但是聽起來卻覺著不可思議了，與真實情況顯然是不符的，這是一個典型的悖論。
另一位古希臘的哲人芝諾提出了多個關於無限小的悖論，其中一個關於路程的悖論與莊子的悖論類似。芝諾提到：“如果一個人從甲地走到乙地，那麼這個人必須先走到兩地中間，也就是路程的1/2處，然後又要走到剩下1/2路程的1/2處，接著再走到剩下1/4路程的1/2處，以此類推，循環不盡。”試想一下，如果這個人速度一直不變，走到第一個1/2處用了1小時時間，那麼第二個1/2處就是1/2小時，按此計算，實際需要的時間是1+1/2+1/4+1/8+…，這個人可以無限接近終點，但是卻永遠到達不了終點，顯然這是一個與事實不符的悖論。在莊子的悖論裡有限長度的木條永遠也取不完，而芝諾的悖論裡有限的路程永遠也走不盡。看起來相似的悖論，實際上一個是關於長度是否可以無限分割，另一個是關於時間是否可以無限分割。
兩千多年前的古代科技落後，物理、化學、生物都還處於探索階段，數學上也缺乏理論和方法上的支持。在微觀方面，即便藉助於放大鏡（一種說法是，古羅馬和希臘人用盛水的玻璃容器做透鏡，而玻璃放大鏡是直到十三世紀才有記載），古人也看不到物體上普遍存在微生物，那麼如何能知道組成物體的最小單位是什麼呢？當然也無法判斷物體能不能無限分割。
在古代，悖論的出現往往是人們開始理性思考本源的開始，實際上這是一種反證法的思考態度。如果物體能夠無限分割，或者說路程（長度）可以無限小，那麼在路程上連續行走的人應該是永遠到達不了終點的，因為他要踏過路程上每一段距離，無論這個距離多短，這顯然與現實不符。
有哲人基於悖論提出一些關於物質有限分割的觀點，古希臘哲學家留基伯提出：分割過程不可能永遠持續下去，不斷分割後的碎片遲早會達到不可能分得更小的地步。而他的學生德謨克里特接受了這種物質碎片會小到不可再分的觀念，並稱這種物質的最小組成單位為原子（希臘文átomos，意思是“不可分割”）。古希臘哲學家在物質組成單位上的論斷是早期自然哲學的核心觀點。
儘管在物質不能無限分割的原子學說在公元前四百多年就被提出來，但兩千多年後，化學家和物理學家才通過大量實驗逐漸發現物質組成的秘密。首先是化學家對化合物組成進行定量研究，1808年，英國化學家道爾頓在《化學哲學的新體系》中闡述了化學原子學說的觀點：化學元素是由非常小且不可再分的原子組成，相同元素的原子在各方面性質（形狀、質量等）完全相同，在一切化學變化中性質不變；而不同元素的原子性質存在差異，不同元素的原子在數目上按一定比例相結合，就形成了化學中的化合現象。進一步，1811年，意大利化學家阿伏伽德羅提出了分子的概念，指出分子是由原子組成的，是具有物質特性的最小微粒。
化學家從化學實驗中得出的結論並不能直觀呈現原子的實體樣貌，一部分物理學家認為原子以及分子存在的證據並不足夠，如果不能找到原子存在的確鑿證據，原子存在懷疑論就不會憑空消失。十九世紀末的物理學家的一系列發現打破了原子不能再分的觀點，1895年德國物理學家倫琴發現了陰極射線，兩年後，英國物理學家湯姆遜通過實驗證明陰極射線是帶負電的粒子，這種粒子質量遠小於氫原子，湯姆遜進一步實驗發現這種例子是所有原子的組成部分，也就是電子。既然原子中還有更小的微觀粒子存在，那麼化學家所謂的原子不可分割的觀點就徹底偃旗息鼓了。
即便證明了原子不是最小的微觀粒子，科學家對微觀粒子的探索之路也從未停止。二十世紀初英國物理學家盧瑟福發現氫原子核是各種原子的原子核的組成單位，從而發現了質子，不久他的學生又發現了電中性（不帶電荷）的中子，而中子和質子是原子核的組成單位，至此原子的秘密已經基本被物理學家揭開。
那麼中子、質子還能再分割嗎？按照科學家的慣性思維，沒有理由不能夠進一步分割，但是每一次更小的微觀粒子的發現都需要物理學實驗能力的提高，更強大的實驗設備是“解剖”粒子的關鍵。實際上人們對微觀粒子的直觀認識往往與技術進步相輔相成：為了觀察物品的微小細節，大約兩千多年前人們採用透明水晶或寶石磨製具有放大影像功能的透鏡，而直到大約十三世紀才有人開始採用玻璃製作放大鏡。放大鏡連物品上附著的微生物都看不到，當然更看不到微觀粒子。
一般認為，能夠進一步放大來觀察事物的顯微鏡是荷蘭生物學家列文虎克發明的，當然在他之前顯微鏡製作原理以及顯微鏡的雛形應該早就出現了，因為利用玻璃製作眼鏡——這種視覺輔助工具的工藝很早就成熟了。科學家利用顯微鏡打開了微觀世界的大門，列文虎克利用他製作的顯微鏡觀察物體表面發現了從來沒見過的微生物——各種細菌和原生動物，有趣的是發明顯微鏡時列文虎克還不是一位專業科研人員，主要工作是布品買賣。十七世紀的科技中心在英國，因此能夠證明自己的科研能力再沒有比當上英國皇家學會會員更有說服力了，這個業餘微生物學家一直對自己的發明守口如瓶，時不時發表一些微生物的觀察報告，當終於成為科學界一員時，興奮的列文虎克製作了幾臺顯微鏡送到了英國皇家學會。
物理學的發展使科學家認識到，光是觀察物體的核心，光具有波動性，只有所觀察（成像）物體的尺寸小於發射的光波的波長，那麼就應該能看到（拍攝）物體。問題是，當物體越來越小時，所用的波長也越來越小，波長越小意味著頻率提高，光的能量就隨之提高，而高能量的光投射到物體上往往會影響物體的原有狀態。普通的顯微鏡，也就是光學顯微鏡採用自然光作為光源，分辨極限大約是0.2微米，相當於放大倍數1500~2000倍，使用它觀察到微生物或者細胞是很輕鬆的，但是想進一步打入分子世界是不可能的。
要想實現更大的放大倍數，就得使用電子顯微鏡。1931年，英國物理學家盧斯卡發明了電子顯微鏡，使用波長比可見光波長更短的電子束來實現更小的分辨率，其分辨率遠超光學顯微鏡，實現300萬倍的放大倍率，能夠分辨出比細菌、細胞更小的病毒、DNA等微觀物體。與光學顯微鏡的直接人眼觀察不同，電子顯微鏡則使用電子槍向被觀察物體發射高能電子束，電子束與被觀察物體發生作用產生電子信號，這些電子信號人眼是看不到的，所以電子顯微鏡還需要接上將電子信號轉化為圖像的設備。
1981年格爾德·賓尼希及海因裡希·羅雷爾兩位科學家根據量子隧穿效應，發明了掃描隧道顯微鏡，並因此獲得了1986年諾貝爾物理學獎。掃描隧道顯微鏡的原理已經脫離了利用光波或電子波發射到被觀察物體上產生反射或者電信號來形成圖像的原理，它利用極細的“探針”逐個掃過排列的原子，通過原子之間的相互作用逐個觀測原子。按這個原理，掃描隧道顯微鏡不存在傳統意義上的“放大倍數”，但可以清晰地觀測（探測）單個原子，因此可以認為分辨率達到0.1nm（原子尺寸），放大倍數遠遠超過300萬倍。
利用掃描隧道顯微鏡可“觀察”到原子的排列，但對原子內部結構是無能為力的，原子的內部結構更多的是依賴間接的實驗手段取得，例如我們上面提到盧瑟福發現原子核內部帶正電的質子，他的學生查德威克發現了原子核內部帶電中性的中子。現在物理學對粒子的進一步研究主要採用粒子對撞機這種昂貴的實驗儀器，通過把粒子不斷加速，產生高能粒子再另外一個高能粒子相撞，就有可能破壞粒子內部結構而產生新的粒子，然後再通過間接的方法用儀器記錄下這種變化，利用計算機分析數據獲得新粒子存在或產生的證據。這種通過高能粒子對撞研究粒子的物理學已經成為物理學的一個重要分支——高能物理學。
我們闡述了微觀粒子發現的歷程，現在回到無限小的悖論，我們已經知道我們所處的宇宙無論是長度還是時間都不可能無限分割，否則會與實際情況不符，因為我們總是能從一處走到另一處，而任何物體也不可能無限制的分割。長度和時間的極限最小數值是從黑體輻射這個看似完全不搭的研究中得到。
19世紀末物理學的黑體輻射實驗出現一種無法解釋的不協調情況，已有的電磁波理論無法匹配黑體輻射的實驗數據，1900年，德國物理學家普朗克在解決黑體輻射時，拋棄了能量無限可分的傳統思維，他提出如果假設能量傳遞具有一個最小量，且能量總以它的整數倍傳遞，就能完全吻合實驗數據。普朗克經過試驗和計算，得出最小能量為hν，ν為輻射電磁波的頻率，h為一常量
這個數值就被稱為普朗克常數。藉助於另外兩個常量萬有引力常數G和光速c，
通過量綱分析，可以得出普朗克長度大致等於1.6x10(-35)米，而普朗克時間，也就是光在普朗克長度中傳播的時間大約為5.4x10(-44)秒。按照現在物理學的理論，比普朗克長度更短的長度以及比普朗克時間更短的時間都是無意義的。
此刻，我們終於解開了現實世界中無限小悖論的困惑，至少目前的科學進展告訴我們，不會存在比普朗克長度更小的長度以及比普朗克時間更短的時間，而能量也是一份份發射的，存在一個最小能量值。我們所處的四維時空宇宙就是由這些最小尺度構成的，我們不能再踏入到這些更小的尺度中，以至於分割這些尺度就是推翻目前我們所掌握的科學大廈。“連續”更像是一個哲學上的概念，它只能存在於我們大腦的思維層次，拋開“無限”，我們最終將物質一層層分割，探索微觀世界的奧妙。
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