貓先生內涵科普

題目有點小問題，先糾正一下：“一條10釐米的直線”，這個“直線”應該寫成“線段”，直線是沒有長短的。好了，意思大家都懂，下面回答一下。

先說答案：面積50平方米的正方形擁有的點和10釐米線段擁有的點一樣多，下面是分析和證明。

乍一看這個問題好像無處下手，在數學中無論是10釐米線段還是50平方米的正方形擁有的點的數目都是無窮大的，兩個無窮大數能比較大小嗎？這樣做有意義嗎？德國著名數學家康托爾是第一個思考這個問題並親自實踐的人。

這些無窮大數既不能寫出來，又不能讀出來，該怎樣比較呢？康托爾想到了不會數數的原始人用逐個相比的方法來判斷兩種東西數量的大小：他們把兩種東西分別對應著成對放在一起，一直做下去，最後哪種東西先用光，哪種東西的數量就小。康托爾提出比較兩個無窮大數的方法正好與此相同：我們可以給兩組無窮大數列中的各個數一一配對，建立一一對應關係。如果最後這兩組都一個不剩，這兩組無窮大就是相等的；如果有一組還有些沒有分配出去，這一組就比另一組大些。下面我們就用這種方法來證明一下10釐米（1分米）線段AB擁有的點數和50平方米正方形CDEF平面擁有的點數是相等的。如圖：

假定線段AB上某點的位置是0.67124839……分米。我們可以把這個數按奇分位和偶分位拆分開，組成兩個不同的小數： 0.6143…… 和 0.7289…… 以這兩個數分別量度正方形的水平方向和垂直方向，以此為座標得出一個點，這個點就叫做原來線段上的那個點的“對應點”。反過來，對於正方形內的任意一點，比如說由0.3678……和0.8601……這兩個數為座標描述的點，我們接著把這兩個數奇偶位摻到一起，就得到了線段上的相應的“對應點”0.38667081……。

很清楚，這種做法能夠建立那兩組點的一一對應關係。線段上的每一個點在平面上都有一個對應的點，平面上的每一個點在線段上也有一個對應點，沒有剩下來的點。因此按照康托爾的標準，正方形內的所有點數所構成的無窮大數與線段上點數的無窮大數相等。

由上也可以看出，線段的長短和正方形面積的大小並不重要：線段是1分米還是1釐米，甚至是直線；正方形面積是50平方米還是1平方米，甚至是無限平面，其結果是一樣的。

用同樣的方法，我們可以得到很多令我們吃驚的結論。比如說立方體所擁有的所有點數構成的無窮大數和線段所擁有的所有點數構成的無窮大數也是相等的。

以上就是對這個問題的證明回答，歡迎關注評論。

物原愛牛毛1

建一個直角座標系，以1釐米為基本單位。

那麼10釐米的線段上的點可以看做（x，0）的點集0≤x≤10。

而50平方米的正方形依舊可以放在這個直角座標系中，其中的所有點可以表示為（x，y），0≤x≤500，0≤y≤500。

再做一個簡化特殊化的類比，設有一條曲線，圖像類似於函數tanx，只不過對稱點在x=5上，y=f（x），（0≤x≤10）。

因此0釐米線段上的點的數量就等於y=f（x）上的點。

表示為（x，y），0≤x≤10，負無窮大≤y≤正無窮大。

對比曲線圖和正方形圖像可以看到，正方形只覆蓋了曲線的一部分，剩下的面積我隨時可以折一段超出部分的曲線段補充。

所以10釐米的線段跟50平米正方形中點是一樣多的。

魯迅愛吃糕團

首先更正一下，10釐米的線段和邊長為5根2的正方形！

其次，這是大學數學～實變函數的一個經典例題！簡單說就是一個集合到另一個集合的對應，能建立一一對應，就可以說點一樣多！具體如下：

1.長為10釐米的線段與長為1釐米的線段點一樣多！可以用位似圖形來證明，或把它們都放在座標系x軸正半軸上，比如前者表示3.1415的點和後者表示0.31415的點對應……反之亦然（充要條件）！實際上就是縮小為原來的1/10，因此就是位似！

2.邊長為5根2的正方形和邊長為1的正方形，點一樣多！證明方法如上！具體把兩個正方形都放在第一象限，其中它們的一個點與原點重合，這樣前者內部及邊界上的任何一個點都可以寫成（5根2×a，5根2×b）其中a，b均為0到1之間的實數，顯然與（a，b）對應，而後者在小正方形中！反之亦然！

3.這樣問題就化歸為單位正方形，與單位線段之間的對應！

4.對於0到1之間的實數a，b，都可以寫成無限小數的形式，a=0.a1a2a3……b=0.b1b2b3……於是構造小數0.a1b1a2b2a3b3……顯然這個小數在0到1上是唯一的，反過來，後者也可以拆成兩個小數，拆法：奇數位順序不變構成a，偶數位構成b！這裡說明一點1=0.9999……也可以進行如上操作！這樣就是：正方形內部及邊界的任何一個點(a,b)，與單位線段上的點一一對應！於是二者點一樣多！

綜上所述，完善後的標題就證明完畢！

半句數學

這個問題應該這樣解決。

你把傳統的知識放一邊，先聽我說，如果覺得我說的在理，給個贊：

1...先分清事實和想象。

在事實上：現實中所有的點都不是無窮小，它是有一定的直徑的。這種點是真實存在的。

在想象裡：你可以想象一種無窮小的點，這些點沒有直徑，這種點現實中不存在。

2...分清了事實和想象，一切都變得簡單明瞭。

事實上10釐米線段裡面的點比面積是50平方釐米的點要少。

在想象中，那些點沒有直徑，也就是說，那些點存在於想象中。

用兩種不存在的東西比大小，沒實際意義。

（完畢）

知天命513652050

首先我們將題目修正為10釐米的線段和50平方米的正方形誰包含的點數多。接下來我們先來探討一下有限集的比較。

當我們有兩個有限集合，比如一罐石子和一群羊。如果我們將羊圈設計出一個一次只能通過一隻羊的門，令羊群中的羊依次通過門，當第一隻羊通過門口時，向罐子放入第一枚石子，之後每通過一隻羊就往罐子裡放一枚石子。所有羊通過後，罐子裡的石子剛好和羊群的羊一樣多。於是我們在兩個不同的集合之間建立了一個一一對應關係，而這個關係的存在也說明兩個集合中的元素是一樣多的(重點)。

接下來，我們把同樣的方法推廣到無限集，比如所有正整數集和所有偶正整數集，前者是1,2,3...，後者是2,4,6...，從直觀上講，前者包括後者，前者的點數當然多過後者(歐幾里得公理，部分小於全體)。但如果構建這樣一個映射，對任何一個正整數，將其乘以2就得到了一個偶正整數，可以證明這個對應關係是一一對應的，於是可以認為兩個無限集的點數是相同的。這是最具爭議的地方，實際上這種一一對應說明的跟我們在有限集時所說一樣多是有區別的，是說明兩個點集中的點數是同樣等級的無窮大——一般稱為基數相同，而正整數的基數被稱為阿列夫零。

接下來數學家們施展了魔法，找到了有理數與正整數集的一一對應法則。又證明了實數集無法與正整數集建立一一對應，也就是說對任何法則，實數集中總有額外的點不與任何正整數對應，從而證明了實數集的基數要大於阿列夫零。

接下來，通過一個正切函數就可以建立起一個開區間(-pi/2,pi/2)到整個實數域的一一對應關係。而後，很容易證明任何長度大於0的開區間都可以和整個實數域建立一一對應。

接下來，我們可以在10釐米的線段上建一個座標軸，以線段上任意點到指定端點的距離和總長度的比值作為座標，接下來將這個座標寫為一個0到1的十進制的數，將其中奇數位提取出來，剩下的偶數位也提取出來，於是就得到了兩個實數(例如0.652734就變成了0.623和0.574，注意實數的位數可以無窮多)，它們可以分別和正方形的一對臨邊中的一條建立一一對應，而由座標系的知識，平面上任何一點可以和兩條臨邊中各取一點所組成的有序對建立一一對應，於是線段跟正方形存在一一對應，也就是基數相同。

因此我們的結論是一條線段和一個正方形都是由無窮多的點組成的集合，兩者的基數相同，是同一級的無窮大。

因為題主的問題是哪個集合擁有的點多，那麼我們可以回答說“一樣多”。

以上的理論最早是由十九世紀末的數學家康託提出的，他的理論遭到了強烈的反對，而他的導師則是反對他最強烈的人，在重壓下，康託患上了精神疾病，但這並沒有妨礙人們在康託的集合理論基礎上重構了幾乎所有數學分支的基礎。今天的數學系學生，會一次又一次的重溫關於集合和映射的理論與計算，而上述關於序數/基數的討論也成了很多數學分支的基礎。

冬之城

要確定這個問題的答案需要明確這個直線是存在於抽象的邏輯思維體系的前提下，還是存在於物理宇宙體系的前提下。

如果是前者（抽象的邏輯體系），

答案很明確，在邏輯上“點”是零維的幾何單元，沒有尺寸，因此一條有限線段就可以包含無數個點，這在數學上是明確定義的。線段就是由無窮數量的點填充指定座標範圍而構成的。而正方形是平面上的有限區域，也可以定義為是無窮數量的點填充二維有限區域形成的。在上述兩個定義中，如果去掉“無窮”這兩個字就無法定義這兩個幾何形狀，真的。有限個點無法形成線段，也無法形成正方形（管你尺寸多大）。[頭條·小宇堂-未經許可嚴禁轉載]

上圖：複習一下小學幾何

如果是後者（物理宇宙體系），

在宇宙中的直線和正方形就不一樣了。雖俗話說“天網恢恢，疏而不漏”。但其實我們的宇宙不過就像是畫漫畫用的“網點紙”，在一片有稜有角、有血有肉的物體的縫隙裡都是是均勻的縫隙。一切包括空間本身都是由不能再分的小到普朗克尺度的量子構成（普朗克尺度是宇宙最小的長度單位，因受到物理規律的內生自洽的矛盾限制，因而無法再分）。因此，在物理現實下的“有限線段”，其上的點就是可以數的（雖說沒誰願意去數，哈哈），正方形也一樣。普朗克尺度的原理說明：我們的宇宙是離散的，而不是完全光滑連續的。

在這種情況下，我們似乎可以斷言“50平方米的正方形”包含的“量子點”多於“10釐米的線段”。但是……

度規影響

這裡還存在著一個“度規”問題，如果這段10釐米的“線段”（注意不是直線）所處的度規與正方形所處的度規體系不同，那麼要比較它們還是很難的。

舉個例子來說：黑洞事件視界的局部度規（一般認為是“史瓦西度規”），以及地球周圍宇宙的局部度規（可視為“閔可夫斯基度規”）可以被視為是不同的度規。那麼黑洞內部的一條“10釐米線段”就不一定比地球旁邊的一塊“50平方米的正方形”所包含的“量子點”少了。

引力壓縮了時空，使得從第三者觀察的角度，黑洞附近的10釐米與地球附近的10釐米並不具有相同的時空密度。那自然是密度越高的地方所包含的“量子點”越多。這就跟黑洞裡的一丁點物質的質量都是地球總質量的若干倍，黑洞周圍的時空的密度也因為引力相應地變“稠密”了。但注意這裡所謂的“第三者觀察的角度”——如果觀察者拿著尺子在地球量了，又跑到黑洞旁邊去量，他是不會發現測量的尺寸有什麼差異的，因為觀察者的尺子在這個不同的時空中所佔據的實際時空的“尺寸”是不一樣的。這種差異無法用日常的觀察來發現。

至於如何證明…

數學斷言的證明的邏輯基礎全部都要落到公理和定義之上，而物理現象的證明則是由觀察來證明的。這兩個對我們絕大多數人來說都有點難呢。題主就不要難為我們了。

小宇堂

肯定不一樣多了呀？！！！你知道可數性無限數嗎？？？就像1到2之間的小分數多，還是1到3之間的小分數多？？雖然都數不完，都是無限的，但是1-3之間的小分數包含著1-2小分數吧。同理，10釐米的線段裡的點數不可計算的，但是50平米的正方形裡面包含著無數個10釐米的線段，所以說50平方米的點數一定比10釐米上的點數多。再說一個最簡單的例子，是撒哈拉沙漠的沙子多吧？數不過來，無數的對不對？？那如果和整個地球的沙子比多少呢？？？顯而易見，對吧。

小小於小洋

一旦提到無窮，不要說我們普通人了，在人類歷史長達幾百年的時間裡，也讓很多數學家苦惱甚至瘋狂，也會引發很多關於無窮的悖論！

回到問題中，一天10釐米的直線（連線段應該更準確），一個面積為50平米的正方形，哪個擁有的點比較多？

有些人思維很簡單看似也很有邏輯，認為面是有線段構成的，50平米的正方形肯定包含10釐米的線段，意味著肯定有多出來的部分，這說明50平米的面擁有的點比較多！

但你再看下面這個更簡單的問題：偶數和自然數哪個更多呢？

如果仍然用上面的思考方式，很容易得出自然數比偶數多，因為自然數包括偶數和奇數，偶數是自然熟的一部分。但如果你把自然數都乘以2，是不是得到的都是偶數呢？

2，4，6，8……（偶數）

1，2，3，4……（自然數），乘以2後變成2，4，6，8……

不管自然數有多少，都能找到偶數與之相對應， 這說明自然數和偶數是一樣多的。這就是合集的概念來區分無窮！

如果你死咬著自然數明明就是比偶數多出來很多奇數，多出無數個奇數，自然數怎麼可能與偶數一樣多呢？這種思維就是陷入了無窮的漩渦中不能自拔，無窮本來就不能用有限數據的思維方式去思考。就像0.999……（無限循環）就是等於1一樣，

這也同樣說明，10釐米的線段與1釐米（或任意長度）的線段擁有的點數是一樣的，同理推出，10釐米與50平米麵積擁有的點數也是一樣的！

宇宙探索

先說一下，可能教育不一樣，我們上小學時有長度的叫線段，直線和射線沒有長度。

現在說10釐米的直線或者說線段和50平方米的長方形哪個擁有的點多？ 其實是無窮多，沒有等於也沒有大於或小於。

有個很有趣的故事

這個問題說的是數學家希爾伯特提出的無限旅館悖論：我們設想有一個旅館，內設有無限個房間且已客滿。這時來了一個新客，想訂一個房間，沒問題。把1號房間的旅客挪到2號房間，2號房間的旅客挪到3號房間，以此類推，就剩下了1號房間，新來的客人就住1號房間。也就是說無論後面來多少人，這個旅館都可以安排得下。甚至是無窮個旅客來了照樣安排得下，例如你可以把目前所有的旅客挪到奇數號房間去，這樣就剩下偶數號的房間供這無窮個新來的客人使用。

怎麼比較大小呢其實很簡單，假如有兩個籃子比較大小，可以在裡面放雞蛋通過雞蛋的數量來比較大小，因為雞蛋是實物有固定大小。 你放一個雞蛋我放一個雞蛋，最後你裝了10個放不下了，我卻能放15個。所以15個的比較大。

但是點沒有大小。而且說的是誰擁有的多。那就有意思了，也開始放點吧！ 為了方便比較兩個換成10釐米線段和50平方長方形。

也是長方形在一個邊距離角1釐米的地方擁有一個，線段在1釐米的地方也擁有一個，你在1.1釐米地方擁有一個點，我也在1.1地方擁有一個點，直到1.11111到無窮處都擁有一個點。你或者說一個50平方的長方形能佔你10釐米的線段無數個。

這個旅館悖論也舉例了，來了無窮多個旅行團，每個旅行團有無窮多個客人。老闆仍然有辦法，辦法就是歐幾里得證明過的素數有無窮多個，具體操作辦法如下。

1、旅館原有的客人分別安排到第2號房間，第4號房間，第8號房間……第2的n次冪號房間……

2、第1個旅行團的客人分別安排到第3號房間，第9號房間，第27號房間……第3的n次冪號房間……

3、第2個旅行團的客人分別安排到第5號房間，第25號房間，第125號房間……第5的n次冪號房間……

4、以此類推，取下一個素數依次安排客人入住。

希爾伯特旅館問題也被稱作希爾伯特悖論，因為有些結論是非常反直覺的。

所以線段和長方形誰擁有點多這個問題答案是都是無窮大沒有誰比誰多，因為點沒有大小，即使你沒法畫出來或測量出來但是你不能否認在在1.111…到無窮大個1處有個點。

天道酬勤53196

1.兩點間可度量的“直線”可用“線段”來進行定義。

2.關於直線“10釐米”與“50平方米”哪個“擁有點比較多”的比較，我認為關鍵在於統一度量標準。標準一致了，答案自然明朗了！

3.題目中的“點”無疑是一個“面積”單位，它可以是“無限小”，也可以是“無限小+1”。可以將這個“點”叫做一個“概念單位”，這樣我們就可以根據“10釐米”與“50平方米”的倍數關係比較其大小了。

4.根據倍數關係式，明顯可知“10釐米”小於“50平方釐米”點的擁有量了！

關鍵字: 數學 釐米 線段