歐拉公式將三角函數與復指數函數關聯起來。本文我將利用不同的方法去推導歐拉公式，並解釋，為何歐拉公式被譽為最美的數學公式。
涉及的知識
- 泰勒公式
- 拉格朗日中值定理
- 積分法
正文：
數學史上被公認為最偉大的數學家有阿基米德、牛頓、歐拉、高斯四人。拉普拉斯曾經說，讀讀歐拉吧，他是所有人的老師。在北大未名BBS中，ukim（北大數院學生於品，現在在清華任教）曾經說過一個很好玩的故事：
John 和 Jacobi 這兩個 Bernoulli 家族的人，都算不出來自然數倒數的平方和這個級數，Euler 從他老師 John 那裡知道的，並且給出了π2/6 這個正確的答案。Euler（歐拉）是他那個時代最偉大的數學家。法國有一個很著名的哲學家，叫做 Denis Diderot，中文的名字叫做狄德羅，是個無神論者，這個讓葉卡捷琳娜女皇不爽，於是他請 Euler來教育一下 Diderot，其實 Euler 本來是弄神學的，他老爸就是的，後來是好幾個叫 Bernoulli 的去勸他父親，才讓 Euler 做數學了。Euler邀請 Diderot 來了皇宮，他這次的工作是證明上帝的存在性，然後，在眾人面前說：“先生，( a + bn ) / n = x, 因此上帝存在；請回答!”Diderot 自然不懂代數，於是被羞辱，顯然他面對的是歐洲最偉大的數學家，他不得不離開聖彼得堡，回到了巴黎……
萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日)，瑞士數學家、自然科學家。
歐拉本人得到歐拉公式後也非常喜歡。另一位大數學家高斯也說，“一個人第一次看到這個公式而沒感覺到它的魅力，他不可能成為數學家。”接下來我們就來看看歐拉公式的證明方法。
證明方法1——泰勒級數法
首先，我們可以把複數轉換一下：
就可以非常簡單的泰勒公式推導歐拉公式：
證明方法2——求導法
這個證明方法本質是構造函數，利用中值定理可以得到歐拉公式。
證明方法3——積分法
接下來我們看看為何它被譽為最美公式：
- 自然對數的“e”含於其中。
- 最重要的常數 π 含於其中。
- 最重要的運算符號 + 含於其中。
- 最重要的關係符號 = 含於其中。
- 最重要的兩個元在裡面。零元0 ，單位1是構造群，環，域的基本元素。
- 最重要的虛單位 i 也在其中。
由此我們可以看到，歐拉公式以簡潔明瞭的形式把許多數學語言中最重要的元素放在一起，這體現了數學的和諧美與統一美。
正文到此結束。用一張圖描述歐拉公式：
