【分析方法導引】
當幾何問題中，出現了角平分線和向角平分線所作的垂線的時候，就要想到可應用等腰三角形中重要線段的基本圖形進行證明。
若角平分線的垂線沒有過角的頂點時，可直接將角平分線的垂線延長到與角的兩邊相交，構成等腰三角形中重要線段的基本圖形，然後再應用一次軸對稱型全等三角形來完成分析。
若角平分線的垂線經過角的頂點時，則應將角平分線的垂線平行移動，使它離開角的頂點，然後再與角的兩邊相交構成等腰三角形中的重要線段的基本圖形。
例16 如圖3-175，已知：△ABC內接於⊙O，角平分線AD的延長線交⊙O於E，BF⊥AE，垂足是F。求證：AB^2-2BF^2=AB·AC—2AF·EF。
圖3-175
分析：本題的條件中出現了BF是向角平分線AD作的垂線，所以必定會構成一個等腰三角形的基本圖形。由於這個等腰三角形是由角平分線的垂線和角的兩邊相交得到的，所以延長BF交AC的延長線於G，並設BG交⊙O於H（如圖3-176），即可得△ABF≌△AGF，AG=AB，BF=GF。
圖3-176
本題要證明的結論由於等式兩邊都出現了AB，所以可先移項和提取因式轉化為AB（AB-AC）=2BF^2-2AF·EF。而AB（AB-AC）=AG（AG-AC）=AG·CG。所以問題成為要證AG·CG=2BF^2-2AF·EF。對這一線段之間的比例關係式，我們首先也進行描圖，以搞清楚比例關係之間的位置關係。經過描圖，可以發現AG和CG這一組相乘線段重疊在一直線上，從而可應用逆平行線型相似三角形進行證明，由於現在出現的是由圓外一點G所作的圓的兩條割線，所以可直接應用割線定理得AG·CG=BG·HG，而BG=2BF，HG=GF-HF，所以AG·CG=2BF（GF-HF）=2BF（BF-HF）=2BF^2-2BF·HF。將這個關係式與要證的結論相比較，即可得問題轉化為要證AF·EF=BF·HF，但BH和AE是⊙O相交於F點的兩條弦，所以直接應用相交弦定理就可證上述性質。
例17 如圖3-177，已知：過⊙O外的一點P作⊙O的兩條割線PAB、PCD，且分別與⊙O相交於A、B、C、D。PM是∠BPD的角平分線，AE⊥PM且分別交PD、⊙O於F、E，OG⊥PM垂足是G。求證：EF=2OG。
圖3-177
分析：本題條件中出現AE是向角平分線PM所作的垂線，所以必定構成一個等腰三角形的基本圖形。由AE與角的兩邊相交於A、F（如圖3-178），就可得△APH≌△FPH，PA=PF，AH=FH。
圖3-178
由條件∠MHE=90°，而∠MHE是⊙O的一個圓內角，而圓內角的問題可以轉化為圓周角的基本圖形來進行討論，轉化的方法可以是過圓周角上的點作平行線。
若過A作PM的平行線交⊙O於K，則∠KAE=90°，這樣就出現了90°的圓周角，從而就可以應用90°的圓周角的基本圖形的性質進行證明，也就是∠KAE所對的弧是半圓，所對的弦是直徑，而現在圖形中是有圓周角而沒有直徑，所以應將直徑添上，也就是聯結EK後（如圖3-179），必定有EK經過O點。
圖3-179
由條件OG⊥PM和EA⊥PM，可得OG∥EA，且我們已經證明OE=OK，而要證得結論EF=2OG是線段之間的倍半關係，所以可應用三角形中位線的基本圖形的性質進行證明。在△KAE中，過一邊EK的中點O所作的另一邊EA的平行線尚未和第三邊AK相交，所以首先應將它們延長到相交，也就是延長OG交AK於N（如圖3-180），即可得N是AK的中點，AE=2NO。
圖3-180
而我們要證的是EF=2OG，於是上述性質可化為AF+EF=2（NG+OG）=2NG+2OG。將兩式加以比較可知問題成為應證AF=2NG，而我們已證AF=2AH，所以問題進一步轉化為應證AH=NG，由∠GNA=∠HGN=∠NAH=90°，四邊形AHGN是矩形，當然就可以證明上述性質。
若過PM與⊙O的交點L作AE的平行線交⊙O於K，則∠MLK=90°，從而又進一步可得∠MLK所對的弦是直徑，也就是聯結KN後，必定有KN經過O點（如圖3-181）。再由條件OG⊥PM，從而就可直接應用垂徑定理，也就是設PM交⊙O於L、N，就有GL=GN，這樣就出現了兩個中點，是多箇中點問題，就可以應用三角形中位線的基本圖形的性質進行證明，於是就可得LK=2OG，而要證明的是EF=2OG，從而就是應證LK=FE，而我們已作LK∥FE，所以四邊形LKEF就應是平行四邊形，但這個四邊形目前尚不完整，所以應先將它的一組對邊添上，也就是聯結LF、KF（如圖3-181）。由於在這個四邊形中LK=FE是要證明的結論，不能用，所以要證明這個四邊形是平行四邊形就只能轉而證明LF和KE也平行。
圖3-181
由條件LK和AE是⊙O中的兩條平行弦，應用平行弦的性質可得聯結LA後有LA=KE，四邊形LKEA是等腰梯形，所以∠E=∠LAF。又因為已證明PM是AF的垂直平分線，所以又可得∠LAF=∠LFA，那就可以證明∠LFA=∠E，LF∥KE，也就可以完成分析。
本題要證的結論EF=2OG是兩條線段之間的倍半關係，所以可根據線段倍半關係的定義，作出OG的兩倍，也就是延長OG到K，使KG=OG（如圖3-182），那麼問題就要證EF=OK。
圖3-182
由條件EF⊥PM，OK⊥PM，所以FE∥OK，這樣就可以出現了EF和OK這兩條線段不但相等，而且平行，所以它們可構成一個平行四邊形，但這一個平行四邊形目前還缺少一組對邊，所以應先將這一組對邊添上，也就是聯結FK、EO（如圖3-183），問題也就成為要證四邊形FEOK是平行四邊形。又因為EF和OK這一組對邊相等是要證的結論，不能用，所以問題只能是證明另一組對邊FK和EO也平行。由於FK和EO可以看作是被AE所截，所以問題就可轉化為證∠E=∠AFK。
圖3-183
由條件MP平分∠BOD和AF⊥PM，可得△PAH≌△PFH，AH=FH，PM就是AF的垂直平分線，於是設FK與PM相交於N，可得N在AF的垂直平分線上，所以又可以添加等腰三角形中重要線段的基本圖形進行證明，添加的方法是將等腰三角形的腰添上，也就是聯結NA（如圖3-183），可得NA=NF，∠NAF=∠NFA，這樣問題又轉化為應證∠E=∠NAF。
又因為由條件PM⊥OK和所作的OG=KG，可得PM也是OK的垂直平分線，而N是PM上一點，所以可再一次添加等腰三角形中重要線段的基本圖形進行證明，於是再聯結NO（如圖3-183）可得NO=NK，∠K=∠NOK，又因為已知AE∥KO，這一組平行線可以看作是被FK所截，所以∠AFK=∠K。這樣就可得到在等腰△NAF和等腰△NOK中，它們的底角是相等的，所以它們的頂角也相等，即∠ANF=∠ONK，但已知F、N、K在一直線上，所以A、N、O也在一直線上，這樣OA就是⊙O的半徑，OA=OE，那就可證∠E=∠OAE，分析完成。
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