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第一題
已知：如圖正方形ABCD，P、Q分別是BC、DC上的點，若∠1=∠2 求證：PB+QD=PA
這道題是我在前面分享留的一道練習題初中數學只要規律吃透，遇見包裝再好的題也很容易做出來，因為這是一類經典題，所以今天拿出來和大家分享，在那裡也提到了正方形做輔助線的方法，下面我們具體證明：
證明：延長PB到E，使BE=DQ，連接AE，
∵四邊形ABCD是正方形
∴AD=AB，∠D=∠ABE=90°
在△ABE和△ADQ中
AB＝AD，∠ABE＝∠D＝90°，BE＝DQ
∴△ABE≌△ADQ
∴∠4=∠2
∵AB⊥PE
∵∠E=∠5=∠1+∠3
又∵∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴∠PAE=∠3+∠4
∴∠PAE=∠E
∴PA=PE=PB+BE=PB+DQ
這道題和出現一邊中點類的題目做輔助線的方法不太相同，這樣做輔助線之外，也可以旋轉△ABP。其實是一樣的，大家有興趣可以試一試，這道題難點是輔助線，考查點還是正方形的性質應用、角平分線的性質。解題的關鍵是作輔助線構造全等三角形。
我們再來看一題進行鞏固一下，
如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD上的點，∠MAN=45°．
求證：MB+ND=MN．
這道題和前面題基本一樣，不看前面講解，如果能做出來，基本這類就掌握了。
第二題
已知正方形ABCD，點P、Q分別是邊AD、BC上的兩動點，將四邊形ABQP沿PQ翻折得到四邊形EFQP，點E在線段CD上，EF交BC於G，連接AE．求證：（1）EA平分∠DEF；（2）EC+EG+GC=2AB。
這道題屬於難度比較大的題目，是對正方形的性質、角平分線性質、旋轉以及對稱知識的綜合應用考查，難點還是做輔助線構造全等三角形。
證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形
∴DC ∥ AB，∠BAD=90°
∴∠DEA=∠1
又由摺疊知，PA=PE，∠PEF=∠PAB=90°
∴∠2=∠3，則∠PEF-∠3=∠PAB-∠2
即∠1=∠4
∴∠DEA=∠4
即EA平分∠DEF
（2）在EG上截取EH，使得EH=ED，連接AH、AG，則△ADE≌△AHE（SAS）
∴AD=AH，∠D=∠5
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠D=∠B=90°，AB=BC=CD=DA
∴AH=AB，且∠5=∠B=90°，則∠6=90°
∵在Rt△AHG和Rt△ABG中
AH=ABAG=AG
∴Rt△AHG≌Rt△ABG（HL）
∴HG=BG
∴EG=EH+HG=DE+BG
∴EC+EG+GC=EC+DE+BG+GC=DC+BC=2AB
在最後我們在回憶一下對稱的有關性質，把一個圖形沿著某一條直線摺疊，如果它能夠與另一個圖形重合 ，那麼就說這兩個圖形關於這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，摺疊後重合的點是對應點,叫做對稱點。軸對稱和軸對稱圖形的特性是相同的，對應點到對稱軸的距離都是相等的。
在幾何證題、解題時，如果是軸對稱圖形，則經常要添設對稱軸以便充分利用軸對稱圖形的性質。譬如，等腰三角形經常添設頂角平分線；矩形和等腰梯形問題經常添設對邊中點連線和兩底中點連線；正方形，菱形問題經常添設對角線等等。另外，如果遇到的圖形不是軸對稱圖形，則常選擇某直線為對稱軸，補添為軸對稱圖形，或將軸一側的圖形通過翻折反射到另一側，以實現條件的相對集中。
好了今天的分享就到這裡，希望能夠對家有幫助,謝謝！
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