【八年級下】數學 · 一次函數與三角形面積的鉛垂線法

關於一次函數,我們已經為大家推送了不少微課、重難點專項,今天為大家推送一次函數與面積結合問題,分兩講:動點和鉛垂線法。今天我們兩講,這一講為大家講解一次函數與三角形面積的鉛垂線法!話不多說,請看下文

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一.問題分析

我們知道,一次函數的圖像是一條直線,其與座標軸圍成一個三角形,若要求這個“座標三角形”的面積,則只要知道其與x軸,y軸的交點座標即可,難度不大,故不展開.

但如果有兩條直線相交,你會求它們與座標軸圍成的三角形面積嗎?

甚至如果有三條直線相交,你能求出這三條直線圍成的三角形面積嗎?

本講就主要研究後2類問題及其變式.

二.實例感悟

(1)兩線與一軸

即有兩條直線相交,分別求兩直線與x軸,y軸圍成的三角形面積.


例1:

已知直線y1=-x+3與y2=x+1,求兩直線與座標軸圍成的三角形面積.

分析:

顯然,我們要先求出5個關鍵點的座標,y1與x軸交點A的座標,與y軸交點B的座標,y2與x軸交點C的座標,與y軸交點D的座標,以及y1與y2的交點E的座標.並確定△CEA是兩直線與x軸圍成的三角形,△DEB是兩直線與y軸圍成的三角形.

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小結:


我們發現,三角形的底和高是可以不斷變化的,如果兩個點均在x軸上,則用橫座標相減的絕對值表示兩點間的距離,若兩個點均在y軸上,則用縱座標相減的絕對值表示兩點間的距離,當然,明確左右和上下的情況下,右減左和上減下,可保證為正.


變式1:

直線y1=k1x+b1(k1>0)和直線y2=k2x+b2(k2<0)相交於點(-2,0),且兩直線與y軸所圍成的三角形面積是4,求b1-b2.

解析:

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變式2:

在平面直角座標系中,一條直線經過A(-1,5),B(-2,a),C(3,-3)三點,這條直線與y軸交於點D,求△OBD的面積.

解析:

同樣操作,先將這條直線的解析式求出,從而知道點B的座標,與y軸交點D的座標,畫出草圖,誰為高,誰為底,一目瞭然.

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變式3:

直線y=kx+3(k<0)與x軸,y軸分別交於A,B兩點,OB:OA=3:4,點C為直線上一動點,若△AOC面積為4,求點C座標.

分析:

首先,可知點B座標(0,3),OB=3,則OA=4,再根據k<0,確定圖像經過一二四象限,A(4,0),從而可求直線AB的解析式,畫出圖像,我們發現,△AOC以AO為底,則高要用點C縱座標的絕對值來表示.

解答:

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(2)三線兩相交

即三條直線兩兩相交,求出三條直線圍成的三角形面積.

其實,這個問題可以轉化為給出平面直角座標系內任意三點的座標,求出以這三個點為頂點的三角形的面積.由於此時的三角形的底邊均為傾斜的,這就需要用到一種

全新的方法——鉛垂線法,或稱寬高法來求三角形的面積.

例2:

已知直線OA經過一三象限,A為第一象限內一定點,動點B不在直線OA上,且BA,BO不與y軸平行,求S△OAB

分析:

顯然,這時候的三角形OAB的底並不在x軸,y軸上,即便求出底邊長,高依舊是傾斜的,十分難算,因此,我們可以考慮割補法.


如果採用補,補成一個矩形,減去周圍三個小三角形的面積那也是可以的,但在今後,尤其是初三求二次函數圖像上三點圍成三角形面積最值時,點的座標不能確定,就無法適用,所以今天重點介紹鉛垂線法.


什麼是鉛垂線法呢,就以例2來說,我們可以過點B作一條鉛垂線,即作BD⊥x軸,與OA交於點C,則△OAB的面積就可以看作是△OBC與△ABC的面積之和或面積之差,此時,鉛垂線BC反而轉化為底邊,再過點A作AE⊥x軸,則OA水平方向上的距離:即OE的長,可以看作OD與DE的和,或差,此時OD反而看作△OBC的高,DE看作△ABC的高,則△OAB的面積即可看成是

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解答:

為了讓大家更直觀的理解,將6種情況全部展示如下,後三種與前三種類似,故只給圖,“無字證明”,可對照消化.

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以上幾種情況,屬於用多題一解進行驗證,均選取OA水平方向的OE長為水平寬,過點B作鉛垂線,以B點與OA交點C之間的距離作為鉛垂高,從而得出了寬高公式,說的再透些,

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那麼,這個公式能否通過一題多解來驗證呢,答案當然是可以的,就以第一種情況為例.

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以上三圖,O、A、B三點的位置均不變,我們可以選取任意兩點橫座標之差的絕對值作為水平寬,過第三個點作鉛垂線,與之前兩點所在直線交於一點,第三個點與這個交點縱座標之差的絕對值作為鉛垂高,則問題均可圓滿解決.


例2:

已知A(-1,3),B(1,1),C(2,2),求S△ABC

解析:

本題是最基本的練習,現用寬高法的三種不同形式都計算一遍來檢驗下.

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分析:

本題解法較多,我們重點來研究鉛垂線法.顯然,這樣的點Q有2個,在射線AB上,或者射線AC上.因為點A的座標可以確定,那麼OA的水平寬可以確定,又因為三角形面積確定,則鉛垂高也確定,則問題最後轉化為一個方程即可解決.

解答:

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小結:


從2種情況綜合來看,我們不難發現,鉛垂高的長度,就是兩直線解析式的差的絕對值,這個結論在初三還會有更大作用.

當然,本題還可以先求出△OAB的面積,從而求出OBQ1的面積,確定Q1的座標,同理,求出△AOC的面積,從而求出△OCQ2的面積,確定Q2的座標.

最後,你發現Q1,Q2關於A對稱了嗎?Q1A=Q2A,A是它們倆的中點哦.


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