【題目呈現】
題一
題二
題三
【思路與解析】
第1題，證明方法不止一種，比較簡單的是用面積法，因為題中有三條垂線，聯想到高，聯想到面積，利用△ABC的面積一定可證。
(1)DE+DF=CG.
證明:連接AD如圖
∵S△ABC=S△ABD十S△ACD，即1/2×AB×CG=1/2×AB×DE+1/2×AC×DF，∵AB=AC，∴CG=DE十DF.
(2)若D在底邊的延長線上，(1)中的結論不成立。若D在BC的延長線上，有結論DE一DF=CG，如圖，
理由:連接AD，則S△ABD=S△ABC十S△ACD，即有1/2×AB×DE=1/2×AB×CG十1/2×AC×DF，∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE一DF=CG.
當點D在CB的延長線上時，有結論，DF一DE=CG，如圖，
連接AD，則S△ADC=S△ADB+S△ABC，即，1/2×AC×DF=1/2×AB×DE+1/2×AB×CG，∵AB=AC，∴DF=DE+CG，即DF一DE=CG.
第2題，由於∠ABC=45°且CD⊥AB於D，所以△BDC為等腰直角三角形，BD=DC，這樣聯想到證明△BDF≌△CDA，可證出第一問BF=AC;由於BE平分∠ABC，且BE⊥AC於E，想到，"角平分線+垂線，等腰三角形就呈現”，可證△ABC為等腰三角形，則CE=1/2AC，結合第一問，可證CE=1/2BF;第三問，CE與BG不在一個三角形中，關係不好找，再看條件，H是BC邊的中點，又由於△BDC是等腰直角三角形，∴DH垂直平分BC，於是想到連接CG，把BG等價轉化為CG，使其與CE同處於一個直角三角形中，從而找到斜邊CG>CE，問題得證.
(1)證明:∵CD⊥AB，∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD，又∵BE⊥AC於E，∴∠BEF=∠BDC=∠CDA=90°，在Rt△BDF和Rt△DAC中，∠DBF=90°一∠BFD，∠DCA=90°一∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA，又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，∴Rt△DFB≌Rt△DAC，∴BF=CA.
(2)證明:∵BE⊥AC於E，∴∠BEA=∠BEC=90°，又BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，又∵BE=BE，∴Rt△BEA≌Rt△BEC，∴CE=AE=1/2AC，由(1)知BF=AC，∴CE=1/2BF.
(3)CE與BG的大小關係是，CE 證明:連接CG如圖， ∵△BDC是等腰直角三角三角形，∴BD=DC，又H是BC的中點，∴DH垂直平分BC，∴BG=CG，在Rt△CEG中，∵CG是斜邊，CE是直角邊，∴CE 第3題，第1問∵EG垂直平分BD，∴BE=DE，BG=DG，BF=DF，又∵BD平分∠ABC，可得∠EBD=∠GBD，易證△GFB≌△EFD，得ED=BG，從而得BE=ED=DG=GB，證出菱形. 第2問，實質是將軍飲馬問題，關鍵是確定點H的位置，由於菱形EBGD，則E、G兩點關於BD對稱，∴EC與BD的交點即為所求的使HG十HC最小的點，然後再分別作EM⊥BC於M，DN⊥BC於M，在直角三角形EMC中求出EC即可。 解:(1)四邊形EBGD為菱形，理由如下: ∵EG垂直平分BD，∴BE=ED，BG=DG，BF=DF，∴∠EBD=∠EDB，又∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠GBD，∴∠EDB=∠GBD，又∠EFD=∠GFD，∴△EFD≌△GFD，∴ED=BG，∴BE=ED=DG=GB，∴四邊形EBGD是菱形. (2)過E作EM⊥BC於M，過D作DN⊥BC於N，如圖. 由於四邊形EBGD是菱形，ED∥BC，∴四邊形EMND是矩形，此時E、G兩點關於BD對稱，連接EC交BD於H，EH=HG，此時，HG+HC=EH十HC=EC，最小，∵ED=BE=2√10，∠ABC=30°，在Rt△EMB中，EM=1/2BE=√10，∴DN=EM=√10，又∠C=45°，∴NC=DN=√10，由於矩形EMND，ED=MN=2√10，∴MC=MN十NC=3√10，在Rt△EMC中，EC²=EM²十MC²，∴EC²=100，EC=10，∴HG+HC的最小值為10. 【總結反思】 證明幾何題，學會從條件聯繫有關的性質，定理，牢記常見輔助線的作法，靈活運用條件推導出結論。
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