【题目呈现】
题一
题二
题三
【思路与解析】
第1题，证明方法不止一种，比较简单的是用面积法，因为题中有三条垂线，联想到高，联想到面积，利用△ABC的面积一定可证。
(1)DE+DF=CG.
证明:连接AD如图
∵S△ABC=S△ABD十S△ACD，即1/2×AB×CG=1/2×AB×DE+1/2×AC×DF，∵AB=AC，∴CG=DE十DF.
(2)若D在底边的延长线上，(1)中的结论不成立。若D在BC的延长线上，有结论DE一DF=CG，如图，
理由:连接AD，则S△ABD=S△ABC十S△ACD，即有1/2×AB×DE=1/2×AB×CG十1/2×AC×DF，∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE一DF=CG.
当点D在CB的延长线上时，有结论，DF一DE=CG，如图，
连接AD，则S△ADC=S△ADB+S△ABC，即，1/2×AC×DF=1/2×AB×DE+1/2×AB×CG，∵AB=AC，∴DF=DE+CG，即DF一DE=CG.
第2题，由于∠ABC=45°且CD⊥AB于D，所以△BDC为等腰直角三角形，BD=DC，这样联想到证明△BDF≌△CDA，可证出第一问BF=AC;由于BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，想到，"角平分线+垂线，等腰三角形就呈现”，可证△ABC为等腰三角形，则CE=1/2AC，结合第一问，可证CE=1/2BF;第三问，CE与BG不在一个三角形中，关系不好找，再看条件，H是BC边的中点，又由于△BDC是等腰直角三角形，∴DH垂直平分BC，于是想到连接CG，把BG等价转化为CG，使其与CE同处于一个直角三角形中，从而找到斜边CG>CE，问题得证.
(1)证明:∵CD⊥AB，∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD，又∵BE⊥AC于E，∴∠BEF=∠BDC=∠CDA=90°，在Rt△BDF和Rt△DAC中，∠DBF=90°一∠BFD，∠DCA=90°一∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA，又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，∴Rt△DFB≌Rt△DAC，∴BF=CA.
(2)证明:∵BE⊥AC于E，∴∠BEA=∠BEC=90°，又BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，又∵BE=BE，∴Rt△BEA≌Rt△BEC，∴CE=AE=1/2AC，由(1)知BF=AC，∴CE=1/2BF.
(3)CE与BG的大小关系是，CE 证明:连接CG如图， ∵△BDC是等腰直角三角三角形，∴BD=DC，又H是BC的中点，∴DH垂直平分BC，∴BG=CG，在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE 第3题，第1问∵EG垂直平分BD，∴BE=DE，BG=DG，BF=DF，又∵BD平分∠ABC，可得∠EBD=∠GBD，易证△GFB≌△EFD，得ED=BG，从而得BE=ED=DG=GB，证出菱形. 第2问，实质是将军饮马问题，关键是确定点H的位置，由于菱形EBGD，则E、G两点关于BD对称，∴EC与BD的交点即为所求的使HG十HC最小的点，然后再分别作EM⊥BC于M，DN⊥BC于M，在直角三角形EMC中求出EC即可。 解:(1)四边形EBGD为菱形，理由如下: ∵EG垂直平分BD，∴BE=ED，BG=DG，BF=DF，∴∠EBD=∠EDB，又∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠GBD，∴∠EDB=∠GBD，又∠EFD=∠GFD，∴△EFD≌△GFD，∴ED=BG，∴BE=ED=DG=GB，∴四边形EBGD是菱形. (2)过E作EM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N，如图. 由于四边形EBGD是菱形，ED∥BC，∴四边形EMND是矩形，此时E、G两点关于BD对称，连接EC交BD于H，EH=HG，此时，HG+HC=EH十HC=EC，最小，∵ED=BE=2√10，∠ABC=30°，在Rt△EMB中，EM=1/2BE=√10，∴DN=EM=√10，又∠C=45°，∴NC=DN=√10，由于矩形EMND，ED=MN=2√10，∴MC=MN十NC=3√10，在Rt△EMC中，EC²=EM²十MC²，∴EC²=100，EC=10，∴HG+HC的最小值为10. 【总结反思】 证明几何题，学会从条件联系有关的性质，定理，牢记常见辅助线的作法，灵活运用条件推导出结论。
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