數學發展到現在，已經成為科學世界中擁有100多個主要分支學科的龐大的“共和國”。大體說來，數學中研究數的部分屬於代數學的範疇；研究形的部分，屬於幾何學的範籌；溝通形與數且涉及極限運算的部分，屬於分析學的範圍。這三大類數學構成了整個數學的本體與核心。在這一核心的周圍，由於數學通過數與形這兩個概念，與其它科學互相滲透，而出現了許多邊緣學科和交叉學科。本章簡要介紹數學三大核心領域中十幾門主要分支學科的有關歷史發展情況。
代數學範疇
1.算數
算術有兩種含義，一種是從中國傳下來的，相當於一般所說的“數學”，如《九章算術》等。另一種是從歐洲數學翻譯過來的，源自希臘語，有“計算技術”之意。現在一般所說的“算術”，往往指自然數的四則運算；如果是在高等數學中，則有“數論”的含義。作為現代小學課程內容的算術，主要講的是自然數、正分數以及它們的四則運算，並通過由計數和度量而引起的一些最簡單的應用題加以鞏固。
算術是數學中最古老的一個分支，它的一些結論是在長達數千年的時間裡，緩慢而逐漸地建立起來的。它們反映了在許多世紀中積累起來，並不斷凝固在人們意識中的經驗。
自然數是在對於對象的有限集合進行計算的過程中，產生的抽象概念。日常生活中要求人們不僅要計算單個的對象，還要計算各種量，例如長度、重量和時間。為了滿足這些簡單的量度需要，就要用到分數。
現代初等算術運算方法的發展，起源於印度，時間可能在10世紀或11世紀。它後來被阿拉伯人採用，之後傳到西歐。15世紀，它被改造成現在的形式。在印度算術的後面，明顯地存在著我國古代的影響。
19世紀中葉，格拉斯曼第一次成功地挑選出一個基本公理體系，來定義加法與乘法運算；而算術的其它命題，可以作為邏輯的結果，從這一體系中被推導出來。後來，皮亞諾進一步完善了格拉斯曼的體系。
算術的基本概念和邏輯推論法則，以人類的實踐活動為基礎，深刻地反映了世界的客觀規律性。儘管它是高度抽象的，但由於它概括的原始材料是如此廣泛，因此我們幾乎離不開它。同時，它又構成了數學其它分支的最堅實的基礎。
2.初等代數
作為中學數學課程主要內容的初等代數，其中心內容是方程理論。代數一詞的拉丁文原意是“歸位”。代數方程理論在初等代數中是由一元一次方程向兩個方面擴展的：其一是增加未知數的個數，考察由有幾個未知數的若干個方程所構成的二元或三元方程組(主要是一次方程組)；其二是增高未知量的次數，考察一元二次方程或準二次方程。初等代數的主要內容在16世紀便已基本上發展完備了。
古巴比倫(公元前19世紀～前17世紀)解決了一次和二次方程問題，歐幾里得的《原本》(公元前4世紀)中就有用幾何形式解二次方程的方法。我國的《九章算術》(公元1世紀)中有三次方程和一次聯立方程組的解法，並運用了負數。3世紀的丟番圖用有理數求一次、二次不定方程的解。13世紀我國出現的天元術(李冶《測圓海鏡》)是有關一元高次方程的數值解法。16世紀意大利數學家發現了三次和四次方程的解法。
代數學符號發展的歷史，可分為三個階段。第一個階段為三世紀之前，對問題的解不用縮寫和符號，而是寫成一篇論文，稱為文字敘述代數。第二個階段為三世紀至16世紀，對某些較常出現的量和運算採用了縮寫的方法，稱為簡化代數。三世紀的丟番圖的傑出貢獻之一，就是把希臘代數學簡化，開創了簡化代數。然而此後文字敘述代數，在除了印度以外的世界其它地方，還十分普通地存在了好幾百年，尤其在西歐一直到15世紀。第三個階段為16世紀以後，對問題的解多半表現為由符號組成的數學速記，這些符號與所表現的內容沒有什麼明顯的聯繫，稱為符號代數。16世紀韋達的名著《分析方法入門》，對符號代數的發展有不少貢獻。16世紀末，維葉特開創符號代數，經笛卡爾改進後成為現代的形式。
“＋”、“－”號第一次在數學書中出現，是1489年魏德曼的著作。不過正式為大家所公認，作為加、減法運算的符號，那是從1514年由荷伊克開始的。1540年，雷科德開始使用現在使用“＝”。到1591年，韋達在著作中大量使用後，才逐漸為人們所接受。1600年哈里奧特創用大於號“＞”和小於號“＜”。1631年，奧屈特給出“×”、“÷”作為乘除運算符。1637年，笛卡爾第一次使用了根號，並引進用字母表中頭前的字母表示已知數、後面的字母表示未知數的習慣做法。至於“≮”、“≯”、“≠”這三個符號的出現，那是近代的事了。
數的概念的拓廣，在歷史上並不全是由解代數方程所引起的，但習慣上仍把它放在初等代數里，以求與這門課程的安排相一致。公元前4世紀，古希臘人發現無理數。公元前2世紀(西漢時期)，我國開始應用負數。1545年，意大利的卡爾達諾開始使用虛數。1614年，英國的耐普爾發明對數。17世紀末，一般的實數指數概念才逐步形成。
3.高等代數
在高等代數中，一次方程組（即線性方程組）發展成為線性代數理論；而—、二次方程發展成為多項式理論。前者是向量空間、線性變換、型論、不變量論和張量代數等內容的一門近世代數分支學科，而後者是研究只含有一個未知量的任意次方程的一門近世代數分支學科。作為大學課程的高等代數，只研究它們的基礎。
1683年關孝和(日本人)最早引入行列式概念。關於行列式理論最系統的論述，則是雅可比1841年的《論行列式的形成與性質》一書。在邏輯上，矩陣的概念先於行列式的概念；而在歷史上，次序正相反。凱雷在1855年引入了矩陣的概念，在1858年發表了關於這個課題的第一篇重要文章《矩陣論的研究報告》。
19世紀，行列式和矩陣受到人們極大的關注，出現了千餘篇關於這兩個課題的文章。但是，它們在數學上並不是大的改革，而是速記的一種表達式。不過已經證明它們是高度有用的工具。
多項式代數的研究始於對3、4次方程求根公式的探索。1515年，菲洛解決了被簡化為缺2次項的3次方程的求解問題。1540年，費爾拉里成功地發現了一般4次方程的代數解法。人們繼續尋求5次、6次或更高次方程的求根公式，但這些努力在200多年中付諸東流。
1746年，達朗貝爾首先給出了“代數學基本定理”的證明(有不完善之處)。這個定理斷言：每一個實係數或復係數的n次代數方程，至少有一個實根或復根。因此，一般地說，n次代數方程應當有n個根。1799年，22歲的高斯在寫博士論文中，給出了這個定理的第一個嚴格的證明。1824年，22歲的阿貝爾證明了：高於4次的一般方程的全部係數組成的根式，不可能是它的根。1828年，年僅17歲的伽羅華創立了“伽羅華理論”，包含了方程能用根號解出的充分必要條件。
4.數論
以正整數作為研究對象的數論，可以看作是算術的一部分，但它不是以運算的觀點，而是以數的結構的觀點，即一個數可用性質較簡單的其它數來表達的觀點來研究數的。因此可以說，數論是研究由整數按一定形式構成的數系的科學。
早在公元前3世紀，歐幾里得的《原本》討論了整數的一些性質。他證明素數的個數是無窮的，他還給出了求兩個數的公約數的輾轉相除法。這與我國《九章算術》中的“更相減損法”是相同的。埃拉托色尼則給出了尋找不大於給定的自然數N的全部素數的“篩法”：在寫出從1到N的全部整數的紙草上，依次挖去2、3、5、7……的倍數(各自的2倍，3倍，……)以及1，在這篩子般的紙草上留下的便全是素數了。
當兩個整數之差能被正整數m除盡時，便稱這兩個數對於“模”m同餘。我國《孫子算經》(公元4世紀)中計算一次同餘式組的“求一術”，有“中國剩餘定理”之稱。13世紀，秦九韶已建立了比較完整的同餘式理論——“大衍求一術”，這是數論研究的內容之一。
丟番圖的《算術》中給出了求x?＋y?＝z?所有整數解的方法。費爾馬指出x^n＋y^n＝z^n在n＞3時無整數解，對於該問題的研究產生了19世紀的數論。之後高斯的《數論研究》(1801年)形成了系統的數論。
數論的古典內容基本上不借助於其它數學分支的方法，稱為初等數論。17世紀中葉以後，曾受數論影響而發展起來的代數、幾何、分析、概率等數學分支，又反過來促進了數論的發展，出現了代數數論(研究整係數多項式的根—“代數數”)、幾何數論(研究直線座標系中座標均為整數的全部“整點”—“空間格網”)。19世紀後半期出現瞭解析數論，用分析方法研究素數的分佈。二十世紀出現了完備的數論理論。
5.抽象代數
1843年，哈密頓發明了一種乘法交換律不成立的代數——四元數代數。第二年，格拉斯曼推演出更有一般性的幾類代數。1857年，凱雷設計出另一種不可交換的代數——矩陣代數。他們的研究打開了抽象代數(也叫近世代數)的大門。實際上，減弱或刪去普通代數的某些假定，或將某些假定代之以別的假定(與其餘假定是相容的)，就能研究出許多種代數體系。
1870年，克隆尼克給出了有限阿貝爾群的抽象定義；狄德金開始使用“體”的說法，並研究了代數體；1893年，韋伯定義了抽象的體；1910年，施坦尼茨展開了體的一般抽象理論；狄德金和克隆尼克創立了環論；1910年，施坦尼茨總結了包括群、代數、域等在內的代數體系的研究，開創了抽象代數學。
1926年，諾特完成了理想(數)理論；1930年，畢爾霍夫建立格論，它源於1847年的布爾代數；第二次世界大戰後，出現了各種代數系統的理論和布爾巴基學派；1955年，嘉當、格洛辛狄克和愛倫伯克建立了同調代數理論。
到現在為止，數學家們已經研究過200多種這樣的代數結構，其中最主要德若當代數和李代數是不服從結合律的代數的例子。這些工作的絕大部分屬於20世紀，它們使一般化和抽象化的思想在現代數學中得到了充分的反映。
抽象代數是研究各種抽象的公理化代數系統的數學學科。典型的代數系統有群、環、域等，它們主要起源於19世紀的群論，包含有群論、環論、伽羅華理論、格論、線性代數等許多分支，並與數學其它分支相結合產生了代數幾何、代數數論、代數拓撲、拓撲群等新的數學學科。抽象代數已經成了當代大部分數學的通用語言。
現在，可以籠統地把代數學解釋為關於字母計算的學說，但字母的含義是在不斷地拓廣的。在初等代數中，字母表示數；而在高等代數和抽象代數中，字母則表示向量(或n元有序數組)、矩陣、張量、旋量、超複數等各種形式的量。可以說，代數已經發展成為一門關於形式運算的一般學說了。
幾何學範疇
1.初等幾何
在希臘語中，“幾何學”是由“地”與“測量”合併而來的，本來有測量土地的含義，意譯就是“測地術”。“幾何學”這個名詞，系我國明代數學家根據讀音譯出的，沿用至今。
現在的初等幾何主要是指歐幾里得幾何，它是討論圖形(點、線、面、角、圓等)在運動下的不變性質的科學。例如，歐氏幾何中的兩點之間的距離，兩條直線相交的交角大小，半徑是r的某一圓的面積等都是一些運動不變量。
初等幾何作為一門課程來講，安排在初等代數之後；然而在歷史上，幾何學的發展曾優先於代數學，它主要被認為是古希臘人的貢獻。
幾何學捨棄了物質所有的其它性質，只保留了空間形式和關係作為自己研究的對象，因此它是抽象的。這種抽象決定了幾何的思維方法，就是必須用推理的方法，從一些結論導出另一些新結論。定理是用演繹的方式來證明的，這種論證幾何學的代表作，便是公元前三世紀歐幾里得的《原本》，它從定義與公理出發，演繹出各種幾何定理。
現在中學《平面三角》中關於三角函數的理論是15世紀才發展完善起來的，但是它的一些最基本的概念，卻早在古代研究直角三角形時便己形成。因此，可把三角學劃在初等幾何這一標題下。
古代埃及、巴比倫、中國、希臘都研究過有關球面三角的知識。公元前2世紀，希帕恰斯製作了弦表，可以說是三角的創始人。後來印度人制作了正弦表；阿拉伯的阿爾·巴塔尼用計算sinθ值的方法來解方程，他還與阿布爾·沃法共同導出了正切、餘切、正割、餘割的概念；賴蒂庫斯作了較精確的正弦表，並把三角函數與圓弧聯繫起來。
由於直角三角形是最簡單的直線形，又具有很重要的實用價值，所以各文明古國都極重視它的研究。我國《周髀算經》一開始就記載了周朝初年(約公元前1100年左右)的周公與學者商高的對話，其中就談到“勾三股四弦五”，即勾股定理的特殊形式；還記載了在周公之後的陳子，曾用勾股定理和相似圖形的比例關係，推算過地球與太陽的距離和太陽的直徑，同時為勾股定理作的圖注達幾十種之多。在國外，傳統稱勾股定理為畢達哥拉斯定理，認為它的第一個一致性的證明源於畢氏學派(公元前6世紀)，雖然巴比倫人在此以前1000多年就發現了這個定理。到現在人們對勾股定理已經至少提供了370種證明。
19世紀以來，人們對於關於三角形和圓的初等綜合幾何，又進行了深入的研究。至今這一研究領域仍然沒有到頭，不少資料已引申到四面體及伴隨的點、線、面、球。
2.射影幾何
射影幾何學是一門討論在把點射影到直線或平面上的時候，圖形的不變性質的一門幾何學。幻燈片上的點、線，經過幻燈機的照射投影，在銀幕上的圖畫中都有相對應的點線，這樣一組圖形經過有限次透視以後，變成另一組圖形，這在數學上就叫做射影對應。射影幾何學在航空、攝影和測量等方面都有廣泛的應用。
射影幾何是迪沙格和帕斯卡在1639年開闢的。迪沙格發表了—本關於圓維曲線的很有獨創性的小冊子，從開普勒的連續性原理開始，導出了許多關於對合、調和變程、透射、極軸、極點以及透視的基本原理，這些課題是今天學習射影幾何這門課程的人所熟悉的。年僅16歲的帕斯卡得出了一些新的、深奧的定理，並於9年後寫了一份內容很豐富的手稿。18世紀後期，蒙日提出了二維平面上的適當投影表達三維對象的方法，因而從提供的數據能快速算出炮兵陣地的位置，避開了冗長的、麻煩的算術運算。
射影幾何真正獨立的研究是由彭賽勒開創的。1822年，他發表了《論圖形的射影性質》一文，給該領域的研究以巨大的推動作用。他的許多概念被斯坦納進一步發展。1847年，斯陶特發表了《位置幾何學》一書，使射影幾何最終從測量基礎中解脫出來。
後來證明，採用度量適當的射影定義，能在射影幾何的範圍內研究度量幾何學。將一個不變二次曲線添加到平面上的射影幾何中，就能得到傳統的非歐幾何學。在19世紀晚期和20世紀初期，對射影幾何學作了多種公設處理，並且有限射影幾何也被發現。事實證明，逐漸地增添和改變公設，就能從射影幾何過渡到歐幾里得幾何，其間經歷了許多其它重要的幾何學。
3.解析幾何
解析幾何即座標幾何，包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。解析幾何通過平面直角座標系和空間直角座標系，建立點與實數對之間的一一對應關係，從而建立起曲線或曲面與方程之間的一一對應關係，因而就能用代數方法研究幾何問題，或用幾何方法研究代數問題。
在初等數學中，幾何與代數是彼此獨立的兩個分支；在方法上，它們也基本是互不相關的。解析幾何的建立，不僅由於在內容上引入了變量的研究而開創了變量數學，而且在方法上也使幾何方法與代數方法結合起來。
1637年，笛卡兒發表了《方法論》及其三個附錄，他對解析幾何的貢獻，就在第三個附錄《幾何學》中，他提出了幾種由機械運動生成的新曲線。在《平面和立體軌跡導論》中，費爾馬解析地定義了許多新的曲線。在很大程度上，笛卡兒從軌跡開始，然後求它的方程；費爾馬則從方程出發，然後來研究軌跡。這正是解析幾何基本原則的兩個相反的方面，“解析幾何”的名稱是以後才定下來的。
這門課程達到現在課本中熟悉的形式，是100多年以後的事。象今天這樣使用座標、橫座標、縱座標這幾個術語，是萊布尼茲於1692年提出的。1733年，年僅18歲的克雷洛出版了《關於雙重曲率曲線的研究》一書，這是最早的一部空間解析幾何著作。1748年，歐拉寫的《無窮分析概要》，可以說是符合現代意義的第一部解析幾何學教程。1788年，拉格朗日開始研究有向線段的理論。1844年，格拉斯曼提出了多維空間的概念，並引入向量的記號。於是多維解析幾何出現了。
解析幾何在近代的發展，產生了無窮維解析幾何和代數幾何等一些分支。普通解析幾何只不過是代數幾何的一部分，而代數幾何的發展同抽象代數有著密切的聯繫。
4.非歐幾何
非歐幾何有三種不同的含義：狹義的，單指羅氏(羅巴切夫斯基)幾何；廣義的，泛指一切和歐氏(歐幾里得)幾何不同的幾何；通常意義的，指羅氏幾何和黎曼幾何。
歐幾里得的第5公設(平行公設)在數學史上佔有特殊的地位，它與前4條公設相比，性質顯得太複雜了。它在《原本》中第一次應用是在證明第29個定理時，而且此後似乎總是儘量避免使用它。因此人們懷疑第五公設的公理地位，並探索用其它公理來證明它，以使它變為一條定理。在三千多年的時間中，進行這種探索並有案可查的就達兩千人以上，其中包括許多知名的數學家，但他們都失敗了。
羅巴契夫斯基於1826年，鮑耶於1832年發表了劃時代的研究結果，開創了非歐幾何。在這種幾何中，他們假設“過不在已知直線上的一點，可以引至少兩條直線平行於已知直線”，用以代替第五公設，同時保留了歐氏幾何的其它公設。
1854年，黎曼推出了另一種非歐幾何。在這種幾何中，他假設“過已知直線外一點，沒有和已知直線平行的直線可引”，用以代替第5公設，同時保留了歐氏幾何的其它公設。1871年，克萊因把這3種幾何：羅巴契夫斯基—鮑耶的、歐幾里得的和黎曼的分別定名為雙曲幾何、拋物幾何和橢圓幾何。
非歐幾何的發現不僅最終解決了平行公設的問題——平行公設被證明是獨立於歐氏幾何的其它公設的，而且把幾何學從其傳統模型中解放出來，創造了許多不同體系的幾何的道路被打開了。
1854年，黎曼發表了“關於作為幾何學基礎的假設的講演”。他指出：每種不同的(兩個無限靠近的點的)距離公式決定了最終產生的空間和幾何的性質。1872年，克萊因建立了各種幾何系統按照不同變換群不變量的分類方法。
19世紀以後，幾何空間概念發展的另一方向，是按照所研究流形的微分幾何原則的分類，每一種幾何都對應著一種定理系統。1899年，希爾伯特發表了《幾何基礎》一書，提出了完備的幾何公理體系，建立了歐氏幾何的嚴密的基礎，並給出了證明一個公理體系的相容性(無矛盾性)、獨立性和完備性的普遍原則。按照他的觀點，不同的幾何空間乃是從屬於不同幾何公理要求的元素集合。歐氏幾何和非歐幾何，在大量的幾何系統中，只不過是極其特殊的情形罷了。
5.拓撲學
1736年，歐拉發表論文，討論哥尼斯堡七橋問題。他還提出球面三角形剖分圖形頂點、邊、面之間關係的歐拉公式，這可以說是拓撲學的開端。
龐加萊於1895～1904年建立了拓撲學，採用代數組合的方法研究拓撲性質。他把歐拉公式推廣為歐拉—龐加萊公式，與此有關的理論現在稱為同調理論和同倫理論。以後的拓撲學主要按照龐加萊的設想發展。
拓撲學開始是幾何學的一個分支，在二十世紀它得到了極大的推廣。1906年，弗雷歇發表博士論文，把函數作為一個“點”來看，把函數收斂描繪成點的收斂，這就把康託的點集論和分析學的抽象化聯繫起來了。他在函數所構成的集合中引入距離的概念，構成距離空間，展開了線性距離空間的理論。在這個基礎上，產生了點集拓撲學。在豪斯道夫的《點集論綱要》一書中，出現了更一般的點集拓撲學的完整想法。第二次世界大戰後，把分析引進拓撲，發展了微分拓撲。
現在的拓撲學可以粗略地定義為對於連續性的數學研究。任何事物的集合都能在某種意義上構成拓撲空間，拓撲學的概念和理論已基本完組成為數學的基礎理論之一，滲入到各個分支，並且成功地應用於電磁學和物理學的研究。
分析學範疇
1.微積分
微積分學是微分學和積分學的統稱，它是研究函數的導數、積分的性質和應用的一門數學分支學科。
微積分的出現具有劃時代意義，時至今日，它不僅成了學習高等數學各個分支必不可少的基礎，而且是學習近代任何一門自然科學和工程技術的必備工具。現在的微積分學的教程，通常的講授次序是先極限、再微分、後積分，這與歷史順序正好相反。
在微積分歷史中，最初的問題是涉及計算面積、體積和弧長的。阿基米得(公元前3世紀)的方法最接近於現行的積分法。在17世紀探索微積分的至少有十幾位大數學家和幾十位小數學家。牛頓和萊布尼茨分別進行了創造性的工作，各自獨立地跑完了“微積分這場接力賽的最後一棒”。
1609年，開普勒為了計算行星運動第二定律中包含的面積，和在他的論文中討論的酒桶的體積，而藉助了某種積分方法。1635年，卡瓦列利發表了一篇闡述不可分元法的論文，提出卡瓦列利原理，它是計算面積和體積的有價值的工具。1650年，沃利斯把卡瓦列利的方法系統化，並作了推廣。
微分起源於作曲線的切線和求函數的極大值或極小值問題。雖然可以追溯到古希臘，但是第一個真正值得注意的先驅工作，是費爾馬1629年陳述的概念。1669年，巴羅對微分理論作出了重要的貢獻，他用了微分三角形，很接近現代微分法。一般認為，他是充分地認識到微分法為積分法的逆運算的第一個人。
至此，還有什麼要做的呢？首要的是，創造一般的符號和一整套形式的解析規則，形成可以應用的微積分學，這項工作是由牛頓和萊布尼茲彼此獨立地做出的。接著的工作是在可接受的嚴格的基礎上，重新推導基本理論，這必須等到此課題想到多方面應用之後。柯西和他的後繼者們完成了這一工作。
牛頓早在1665年才23歲時，就創造了流數法(微分學)，並發展到能求曲線上任意一點的切線和曲率半徑。他的《流數法》寫於1671年，但直到死後9年的1736年才發表。牛頓考慮了兩種類型的問題，等價於現在的微分和解微分方程。他定義了流數(導數)、極大值、極小值、曲線的切線、曲率、拐點、凸性和凹性，並把它的理論應用於許多求積問題和曲線的求長問題。
牛頓創立的微積分原理是同他的力學研究分不開的，他藉此發現、並研究了力學三大定律和萬有引力定律，1687年出版了名著《自然哲學的數學原理》。這本書是研究天體力學的，包括了微積分的一些基本概念和原理。
萊布尼茨是在1673年到1676年之間，從幾何學觀點上獨立發現微積分的。1676年，他第一次用長寫字母∫表示積分符號，象今天這樣寫微分和微商。1684年～1686年，他發表了一系列微積分著作，力圖找到普遍的方法來解決問題。今天課本中的許多微分的基本原則就是他推導出來的，如求兩個函數乘積的n階導數的法則，現在仍稱作菜布尼茲法則。萊布尼茲的另一最大功績是創造了反映事物本質的數字符號，數學分析中的基本概念的記號，例如微分dx，二級微分dx?，積分∫ydx，導數dy/dx等都是他提出來的，並且沿用至今，非常方便。
牛頓與萊布尼茨的創造性工作有很大的不同。主要差別是牛頓把x和y的無窮小增量作為求導數的手段，當增量越來越小的時候，導數實際上就是增量比的極限，而萊布尼茲卻直接用x和y的無窮小增量(就是微分)求出它們之間的關係。
這個差別反映了他們研究方向的不同，在牛頓的物理學方向中，速度之類是中心概念；而在萊布尼茲的幾何學方向中，卻著眼於面積體積的計算。其它差別是，牛頓自由地用級數表示函數，採用經驗的、具體和謹慎的工作方式，認為用什麼記號無關緊要；而萊布尼茲則寧願用有限的形式來表示函數，採用富於想象的、喜歡推廣的、大膽的工作方式，花費很多時間來選擇富有提示性的符號。
到1700年，現在大學且學習的大部分微積分內容已經建立起來。第一部微積分課本出版於1696年，是洛比達寫的。1769年，歐拉論述了二重積分。1773年，拉格朗日考察了三重積分。1837年，波爾查諾給出了級數的現代定義。19世紀分析學的嚴謹化，是由柯西奠基的。現在課本中的極限、連續性定義、把導數看作差商的極限、把定積分看做和的權限等等，實質上都是柯西給出的。進一步完成這一工作的是威爾斯特拉斯，他給出了現在使用的精確的極限定義，並同狄德金、康託於19世紀70年代建立了嚴格的實數理論，使微積分有了堅固可靠的邏輯基礎。
2.微分方程
凡是表示未知函數和未知函數的導數以及自變量之間的關係的方程，就叫做微分方程。如果未知函數是一元函數，則稱為常微分方程，如果未知函數是多元函數，則稱為偏微分方積。微分方程的基本問題是在一定條件下，從所給出的微分方程解出未知函數。
微分方程幾乎是與微積分同時發展起來的，由於它與力學、物理學的淵源很深，所以在13世紀便已自成一門獨立的學科了。兩個多世紀來，這一學科已發展得相當完善。
1676年，萊布尼茲在致牛頓的信中，首先提出了“微分方程”這個名稱。在他們兩人的著作中，都包含了許多微分方程的實例。早期的研究側重於探討各類一階方程的解法，並由此導致了方程的分類。18世紀，歐拉解決了全微分方程和“歐拉方程”(一類高階變係數線性微分方程)，提出了通解和特解的概念，指出了n階線性方程通解的結構。其後，泰勒得到了方程的奇解；拉格朗日推導了非齊次線性方程的常數交易法。
對於微分方程組的研究，始於達朗貝爾。19世紀前半葉，柯西開始研究解的存在性和唯一性。19世紀後半葉，數學家們開始利用群論來研究微分方程，由此建立連續群和李群的新理論。龐加萊引入了極限環的概念，李雅普諾夫引入了微分方程組解的穩定性概念。他們的方法都不必直接求解，稱為定性理論。1927年，畢爾霍夫建立了“動力系統”的一段定性理論。
一階偏微分方程的研究首先是從幾何學問題開始的。拉格朗日指出，解一階線性偏微分方程的技巧，在於把它們化為常微分方程。一階非線性偏微分方程的研究，始於歐拉和拉格朗日，蒙日為偏微分方程的幾何理論奠定了基礎。到18世紀末葉，在引入奇解、通解、全積分、通積分、特積分等概念之後，偏微分方程已形成一門獨立的學科。
二階偏微分方程的研究，始於18世紀的弦振動理論。通常見的二階偏微分方程均來自物理或力學的實際問題，它們構成了這門學科中一個獨立的系統—數學物理方程。
積分方程源於阿貝爾1826年的工作，但是直到1888年杜·波阿·雷蒙的著作中，才正式提出了積分方程這個名詞。1896年開始，伏特拉給出了兩類積分方程的一般理論；不久，弗雷德荷姆大體上完成了一類重要的線性積分方程理論。由於這類積分方程常出現在一些物理問題中，因此積分方程論常被包含在數學物理方程內。
現代科學技術，如空間技術、現代物理學、力學等，都有許多問題需要用微分方程來求解，甚至在化學、生物學、醫藥學、經濟學等方面，微分方程的應用也越來越多。
3.微分幾何
微分幾何這門分支學科主要研究三維歐氏空間中曲線和曲面的內在性質，所謂內在性質就是同幾何對象在空間中的位置無關的性質。它以微積分、微分方程這些分支學科的理論為研究工具。或簡單地說，微分幾何就是用分析方法研究幾何性質。
微分幾何的發端可見於1731年克萊洛的著作中。蒙日1809年的著作包含了這一學科的雛型；歐拉研究了曲面的一般理論；高斯1827年的《關於曲面的一般研究》一書，論述了曲面理論，創立了內蘊幾何學，奠定了曲面微分幾何的基礎。1887～1896年，達布的《曲面一般理論的講義》集曲線和曲面微分幾何之大成。
變換理論對於微分幾何的影響，產生了射影微分幾何、仿射微分幾何等分支。二十世紀初，出現了對非充分光滑曲線和曲面以及曲線曲面的整體問題的研究，形成現代微分幾何。1923年，嘉當提出了一般聯絡的理論。1945年，陳省身建立了代數拓撲和微分幾何的聯繫，他又是纖維叢概念的創建人之一。
4.函數論
函數論包括複變函數論和實變函數論，但有時也單指複變函數論(或複分析)而言。
複數概念出現於16世紀，但對它的全面掌握和廣泛運用，卻遲至18世紀。自變量是複數的函數，叫做複變函數。如果複變函數在某一區域內除了可能有有限個例外點之外，處處有導數，那麼這個伏辯函數叫做在這個區域內的解析函數；例外點叫做奇點。複變函數論主要研究解析函數的性質。
複變函數的研究是從18世紀開始的。30～40年代，歐拉利用冪級數詳細討論了初等複變函數的性質。達朗貝爾於1752年得出複變函數可微的必要條件(即“柯西—黎曼條件”)。拉普拉斯也考慮過複變函數的積分。
複變函數的全面發展是在19世紀。1825年，柯西討論了虛限定積分，1831年他實質上推出了柯西積分公式，並在此基礎上建立了一整套複變函數微分和積分的理論。黎曼1851年的博士論文《複變函數論的基礎》，奠定了複變函數論的基礎。他推廣了單位解析函數到多位解析函數；引入了“黎曼曲面”的重要概念，確立了復變因數的幾何理論基礎；證明了保角映射基本定理。威爾斯特拉斯完全擺脫了幾何直觀，以冪級數為工具，用嚴密的純解析推理展開了函數論。定義解析函數是可以展開為冪級數的函數，圍繞著奇點研究函數的性質。近幾十年來，複變函數論又有很大的推進。
複變函數論是解決工程技術問題的有力工具，飛機飛行理論、熱運動理論、流體力學理論、電場和彈性理論等中的很多問題。
實變函數的發展較晚，其中積分論是它的重要組成部分。容度和測度是線段長度概念的推廣，是為了推廣積分的概念而建立起來的。1893年，約當給出了“約當容度”的概念，並用於討論積分。1894年，斯提捷首先推廣了積分概念，得到了“斯提捷積分”。1898年，波萊爾改進了容度的概念，他稱之為‘測度”。下一步決定性的進展是1902年勒貝格改進了測度理論，建立了“勒貝格測度”、“勒貝格積分”等概念。1904年，他完全解決了黎曼可積性的問題。後來，數學家們對積分的概念又作了種種推廣和探索。
實變函數的另一個領域是函數構造論。1885年，威爾斯特拉斯證明：連續函數必可表示為一致收斂的多項式級數。這一結果和切比雪夫斯基最佳逼近論，是函數構造論的開端。近年來，這個方向的研究十分活躍。
5.泛函分析
本世紀初，出現了一個廣闊的新領域——泛函分析，它是古典分析觀點的推廣。近幾十年來，由於分析學中許多新分支的形成，從而發現在代數、幾何、分析中不同領域之間的某些方面的類似。其次，幾何與集合論的結合產生了抽象空間的理論，將函數看成函數空間中的點。再加上實變函數論以及近世代數的感念和方法的影響，就產生了泛函分析。它綜合函數論，幾何和代數的觀點，研究無窮維向量空間上的函數、算子和極限理論。
19世紀末，弗爾太拉和二十世紀初阿達瑪的著作中已出現泛函分析的萌芽。隨後希爾伯特、海令哲開創了“希爾伯將空間”的研究，黎斯、馮·諾伊曼等人在這方面都有重要的建樹。
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