數值模擬的核心就是控制方程。對於每一個做數值模擬的研究生而言，特別害怕老闆提問的就是：你研究問題的控制方程是什麼啊？
而這個時候學生的內心往往是這樣的：老師，我用軟件算的,知道那些亂七八糟的有啥用啊？
難道各位老闆不明白：雖然我們都學過高數，但是早就已經忘光了，那些複雜的偏微分方程，哪那麼容易就能理解！
好在帕坦卡被折磨了數年之後，總算還是大致摸清了方程背後的意義！
常見方程
首先，我們看看那些常見的方程都有什麼特點？
流體力學的連續性方程和Navier-Stokes方程
傳熱學的能量守恆方程
電磁學的麥克斯韋方程組
仔細觀察後可以發現，符號“▽”的出鏡率簡直出奇得高！
準確來說，符號“▽”的意義有三種，這完全取決於它後面跟著的東西是什麼。
不過別緊張，我們耐心看一下 ，這三種情況分別是什麼。
梯度
梯度的本意是一個矢量，表示某一函數在該點處的方向導數沿著該方向取得最大值，即函數在該點處沿著梯度的方向變化最快，變化率最大（為該梯度的模）。
好吧，我知道你沒看懂！
首先，學過微積分的我們都知道，如果f是x的函數，那麼f沿x軸的變化率就是df/dx。
可是進一步，如果f是x和y的函數呢？
顯然，這個時候f沿平面內每個方向都存在變化率。
最簡單的，f沿x方向的變化率是∂f/∂x，而f沿y方向的變化率是∂f/∂y。
如果是其它一般的方向（比如說沿s方向）呢？
只需將x和y方向的變化率疊加一下就可以了（其實有點像力的疊加）。
其中（cosα，cosβ）沿s方向的單位向量。
下面引入符號“▽”，令
則有
顯然，當s方向與▽f相同時，∂f/∂s取得最大值，而二者方向相反時，∂f/∂s取得最小值，即函數f沿▽f方向具有最大的變化率。
既然▽f的方向如此特殊，數學家便給它取了個名字，叫做“梯度”。
所以說，函數沿梯度方向具有最大的變化率。
以上主要針對二維情況，按相同的邏輯，我們也可以得到三維梯度的表達式
可以看到，梯度操作的對象是標量（只有大小沒有方向），而得到的結果則是矢量（既有大小也有方向），該矢量表示了標量變化最快的方向。
散度
在開始散度之前，我們先來看看這樣一個問題：如何計算水通過某一個平面的流量？
先看最簡單的情況，假設水流速度v和麵積為S的平面垂直，因為速度v和麵積S都是矢量，所以我們分別用|v|和|S|來表示v和S的大小，那麼，通過這個平面的流量Φ就可以簡單表示為
進一步，如果速度v和麵積S的方向不垂直，而是存在一個夾角θ，顯然通過平面AB的流量Φ減小了。面雖然還是那個面，但是水真正流過的平面變成了AB沿流動方向的投影BC。而通過這個平面的流量Φ就變成了
有了以上結果，我們就可以很方便地得到水通過一個閉合曲面的流量。
如上圖所示，如果我們把這個曲面分割成無窮多份，並將每一份的面積記為dS，那麼水通過每一小份的流量dΦ就等於
對所有的流量dΦ進行求和，就可以得到水通過這一閉合曲面的總流量
但是，這個曲面積分計算起來的難度仍然比較大。
幸運的是，這個難題已經被“數學小王子”高斯解決了。
約翰·卡爾·弗里德里希·高斯
這怎麼看著更復雜了呢？
其實，數學家也這麼覺得，於是引入了“散度”的定義。
最終就變成了
其中
就叫做速度v的散度。
也就是說，水穿過任意閉合曲面的流量就等於水流速度的散度對閉合曲面所包圍的體積的積分。
散度描述的就是某個物理量在某一點的單位體積流量。
顯然，流量是物理學中非常重要的研究對象，這也是散度頻繁出現在各種物理學公式中的原因。
此外，與梯度不同，散度的操作的對象是矢量，得到的結果則是一個標量。
旋度
旋度的引入與散度有些類似，為了理解其真正的物理含義，我們也來先看這樣一個問題：
如何計算力對某一個物體做的功？
顯然，對於圖（a）而言，力對物體做的功就是
同樣地，因為力F和物體移動的距離s都是矢量，所以我們分別用|F|和|s|來表示F和s的大小。
而對於圖（b）而言，由於力與物體移動的方向存在夾角α，因此實際做功的力的大小變成了|F|cosα，力對物體做的功變成了
據此可以得到，力沿一條曲線s的做功為
如果該曲線是閉合的，那麼力沿曲線s的做功就變成了
斯托克斯
同樣地，這個曲線積分計算起來也有一定難度，於是斯托克斯給出了下面的計算公式
其中
就叫做力F的旋度。
也就是說，任意矢量沿閉合曲線的積分就等於其旋度對曲線包圍的曲面的積分。
因為它描述的是矢量沿一條曲線旋轉一圈的積分，因此被稱作旋度。
旋度與梯度和散度都不同，旋度的操作的對象是矢量，得到的結果還是一個矢量。
總結
分析了半天，好像還是用了一大堆公式！
如果上面的分析你還是沒看懂，為了方便大家比較，帕坦卡最後對三種數學運算進行了總結和對比，希望能對大家有所啟發。
好了，瞭解了梯度、散度和旋度，最後問一句，流體力學裡面的連續性方程和Navier-Stokes方程，你明白了嗎？
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