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緣 起
在新的課程背景之下，核心素養的提出客觀要求數學的學習需要提升思維能力。
如何提升自己的思維能力呢？一種客觀的看法是數學學習對思維能力的訓練有很大的幫助。因此，我們應該在學習數學的過程中注重思維能力的培養。這既是思維能力本身的要求，也是數學科目學習的要求。
長久以來，一直在思考的問題，就是如何幫助考生在進行壓軸試題解題訓練的同時，不僅讓他們學會對待這些所謂的“難題”的一般規律和標準程序，還要讓他們掌握對待所有“難題”的一種通性通法，讓他們在中考之後，還能留下一些潛移默化的思維模式或者說是數學化的科學的思維方式——畢竟，我們在壓軸試題的思維訓練上投入了大量的時間和精力，如果僅僅是追求中考的分數，似乎喪失了思維訓練的最佳窗口期，更是違背了“數學是思維訓練的體操”這樣一個基本常識。對於中學生而言，在初高中這六年，是一個極易受外界影響的成長階段，數學題的科學訓練，可能會培養出對智力思考的愛好，並對每一名學生的思想和性格留下終生的影響。
為了讓科學的思維訓練與應試的提分訓練同步進行、相得益彰，就需要全面重新認識“怎樣解題”這樣一個問題。值得慶幸的是，在數學教育界，有一種理論經久不衰並且歷久彌新，並且成為解題理論的光輝典範，那就是偉大的數學教育家波利亞的“解題表”——對於解題的分析，都是按照四個流程進行的：讀題、分析、解答、和反思。通過精挑細選的經典試題，以及對其深入的解析，可以幫助讀者學會一種對待問題的思維方式，並經過不斷地、刻意地訓練，內化到自己的認知模式中去，最終像數學家一樣進行思考。
正如人們評價波利亞的解題理論那樣——雖然它討論的是數學中發現和發明的方法和規律，但是對於在其他任何領域中怎樣進行正確思維都有明顯的指導作用。這樣的數學上的思維方法，可以有助於解決任何“推理”性問題——從建造一座橋到猜出一個字謎。一代又一代的讀者嚐到了這種解題理論的甜頭，他們在這樣的思維方式的指導下，學會了怎樣摒棄不相干的東西，直搗問題的心臟。
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知 行
目前中學生在解決數學問題時呈現出的“通病”就是根本不知道解決問題的“儀式”到底是怎樣的。表現出來的症狀大體上不外乎以下幾種，拿到題目之後，鑑於時間原因讀題過程草率迅速，思路分析信馬由韁，書寫作答毫無章法，解題之後的反思和總結更是無從談起。這種情況，不僅阻礙了分數的提高，也降低了做題的效率，喪失了思維能力訓練的最佳時機，必須要引起中學生的重視。
那麼，中學生在分析一道壓軸試題時，到底什麼才算是科學的解題流程呢？這個流程又具備哪些標準的步驟呢？所謂“解題”，正名定義，就是要解決一個問題。完整的解題過程，分為以下四個步驟：
第一，讀題。
首先要認真、細緻、全面的閱讀題目，在讀題的過程中，獲取已知條件，挖掘隱含信息，識別題目背景，確定解題方向。讀題過程中，可以藉助 “劃關鍵詞”、“條件上圖”、 “作出圖形”等基本的技巧，幫助我們迅速熟悉題目。
認真讀題，準確地理解題目的實質，能夠促使我們聯想到曾經做過的類似的題目或者以往學過的相關的知識，從而有助於我們找到題目中已知和結論之間的橋樑，迅速獲得解題的思路，正確、迅速的解答題目。
單墫教授在《解題研究》中講到： “根據我的觀察，很多同學（尤其是考試時）沒有重視‘弄清題意’（也就是老師所說的‘讀題’）這一步，因而解不出題，或者雖然解出了，但是走了不少彎路。孔子告誡我們‘欲速則不達’，而這些同學解題時總是‘太匆匆，太匆匆’。”“讀題，讀題，反覆讀題，這是解題時首先要認真做的事，切莫忽視。”
第二，分析。
解題時的分析過程是一個人思維水平和能力高低的直接體現。所謂分析，其實就是將已知的題目信息、等待求解的問題，和自己的解題經驗、數學知識進行深入聯繫的思維過程。在尋找解題方法的同時，要注意從條件和結論兩個方面進行思考，既要考慮條件告訴我們什麼，還要考慮結論需要什麼，將兩個方面有機地結合起來，方能少走彎路，獲得條件和結論之間的有效連接。
一方面，分析過程是建立在讀題的基礎上，需要充分獲取已知信息，“沒看見”或“看錯了”，是最不應該的低級錯誤，卻也是考生經常掛在嘴邊的推托之詞。另一方面，還要求考生具備完整的知識結構和方法體系。比如，題幹中有“等腰三角形”，那麼與此對應，就要求考生能夠聯想到等腰三角形“等邊對等角”和“三線合一”的基本性質；又如，題目要求證明兩條線段相等，那麼就需要考生在自己的總結的方法中檢索一下證明線段相等的一系列的方法，並結合題目特點，進行嘗試思考——這當然要求考生在做題之前、在考試之前、在平時的學習和複習期間，就要持續不斷地進行知識的全面總結和方法的系統歸納。考試，只是檢驗一下你總結的行不行，這倒有些像是軍訓結束時，校長和老師對學生軍訓期間刻苦訓練的檢閱，不同的是，軍訓結束時檢閱表演的好與壞可能無關痛癢，而考試失利的後果卻猶如切膚之痛。你不能寄希望於檢閱過程中再注意動作是否合乎標準，同樣，你也不能等到考試時再去總結諸如“直角”、“中點”、“角分線”等常見的幾何概念涉及到的解題思路。所有的一切努力，都應在正式的考試之前全部完成，《孫子兵法》行篇中的“勝兵先勝而後求戰”，講得正是這個道理。
平時的努力，與其說是為了考試順利，倒不如說是為了考場上解決每一道題目時分析過程的順利，這樣的理解，更有助於考生重視日常訓練與解題分析的直接聯繫，在一定程度上，還有助於減少題海戰術的毒害。
第三，解答。
解答很好理解，就是書寫作答的過程，“答案應寫在答題卷的相應位置上”，答在答題區域之外無效。通常，對於書寫的要求是“嚴謹、簡潔、規範”，具體來講，就是計算準確、推理嚴格、作圖標準、詳略得當、整潔美觀，使人賞心悅目。華羅庚教授指出，學數學要“想得清楚、說得明白、寫得乾淨”，用於對作答書寫的要求，也恰如其分。
但是，書寫答案這一關，還是暴露出來不少令人遺憾的問題，比如：字跡潦草、筆誤、勾畫塗抹太多、邏輯混亂、表述想當然、答題空白利用不合理，為了獲取“辛苦分”故意堆砌條件、推理冗長，更有甚者，竟然企圖使用偽證這些小把戲“騙得”考試分數。
書寫是一個習慣問題，反映出的不僅僅是數學一個方面的問題，需要考生及早端正態度。因為書寫丟分也是很丟臉的。
第四，反思。
這個步驟，更是解題訓練的“重災區”。一方面，平時學習時間緊任務重，任何時候都在趕進度、趕作業、趕時間，根本來不及、停下來進行解題的深入反思和細緻總結，即使偶爾有之，也是或蜻蜓點水，或淺嘗輒止，或即使沒有上述情形，也是花了力氣和時間進行了系統總結，但是缺乏跟蹤反饋，導致學了後面的忘記前面的，諸如錯題本之類的總結也是“形象工程”，或是“銀樣鑞槍頭中看不中用”，白白浪費了時間；另一方面，市面上充斥著的各種輔導書籍，無論是彙編、專題還是秘籍，往往缺少“反思與總結”這樣的解題步驟，致使學生錯誤的認為，會與不會的題目，對過答案或是看了答案能理解，解題過程就算宣告結束。這些現象的存在，都對有意識的培養學生進行反思造成了不利的影響，反過來也要求我們應該重新審視這個問題，並付出精力尋找恰當的應試方法。
那麼，如何進行反思呢？應該反思什麼內容呢？需要花費筆墨著重說一下。我們可以按照解題的流程給出相應的反思內容，包含但絕不侷限於以下內容：
1.讀題過程是否順利？有沒有視而不見或者理解錯誤的情形發生？已知條件獲取的是否充分？能否根據已知條件作出符合要求的圖形？題目有沒有難以理解的數學符號或者代數表達式？
2.分析過程是否順利？是否根據已知條件迅速找到了對應的數學模型？比如，看到“直角”、“中點”、“角分線”、“等腰三角形”、“正方形”等關鍵詞，是否能夠迅速結合題意找到對應的幾何特徵或者相關的輔助圖形？題目沒有思路時，是否能夠回到題目中去或者回到“定義”上來？是否出現了多種的解題“苗頭”，自己是如何從中選優的？有沒有暴露出自己總結過的相關的知識結構或解題方法上的漏洞？計算過程是否出現錯誤？思路鏈條較長，過程中遇到阻礙時，又是如何利用已知條件或者解題經驗進行突破的（比如證明三角形全等時，需要進行角度推導獲得全等條件，有時這會是一個分析的難點）？
3.書寫過程和答案比較是否顯得囉嗦？答題紙的空白是否進行了合理的佈局利用？是否有勾畫塗抹，是否利於老師閱讀？書寫是否利於檢查核對？在時間不夠的情況下，是否能夠對答題要點進行簡明扼要的謄寫？
4.解答完畢之後，是否有反思總結的意識？是否可以採取不同方法解決問題？不同方法之間是否有優劣之分？正在解答的問題和之前做過的某道題目有哪些相似與區別？能否對不同的問題進行歸類？是否有信心在下次考試時能夠在有限的時間內解決類似的題目？如果不能，將採取何種措施？如果是幾何題，要思考本題用到了哪些幾何變換以及構造了哪些基本圖形；如果是函數題目，要重新體會和琢磨題目涉及到的分類討論和數形結合等數學思想；如果是新定義類型的綜合題，更應該從數學思想方面進行分析和類比。
反思的內容說了那麼多，可以歸納為要有反思的意識，“總結不足”、“一題多解”和“多題一解”。
蘇聯數學教育家弗裡德曼說：解題不單單是為了找到答案，應當學會這樣一種對待習題的態度，即：把習題看作是精密研究的對象，而把解答習題看作是設計和發明的目標。學解題“不開竅”的一個基本原因是，“獲得答案”之後沒有繼續暴露數學解題的思維過程。
波利亞在《怎樣解題》中說：即使相當好的學生，當他得到問題的解答，並且很乾淨利落地寫下結論後，就會合上書本，找點背的事情來做，這樣，他們就錯過了解題的一個重要而有益的方面：通過反思與總結剛剛完成的解答，通過重新考慮和重新檢查這個結果和得出這個結果的路子，學生們可以鞏固他們的只是和發展他們解題的能力。
“掌握數學就意味著善於解題”。要提高解題能力，牢固掌握基礎知識、基本技能和基本的數學思想是前提，適量的解題訓練是途徑，只有經過刻意的、規範化的訓練，才能夠在解題活動中積累解題經驗、完善數學的認知結構。
“真傳一句話，假傳萬卷書”。大道至簡，解題的理論歸結為一句話，就是“讀題、分析、解答、反思”。考生如果能夠在初中階段就注重科學規範的解題習慣和思維模式，不僅可以提升解題能力和應試能力，更重要的是還可以鍛鍊自己的意志品質。
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心 性
下面這些話，主要是對那麼“自命不凡”的資優生講的。這類學生深得上天眷顧，天資聰穎，敏而好學，在攻克壓軸試題方面信心爆棚，不遺餘力，他們的數學目標是中考分數大於99分，100分的試卷，一分都不能少！
摻雜著近些年的壓軸試題的教學和研究體會，以及從眾多學生挑戰壓軸題的學習過程總結出來的經驗和教訓，想和中考的考生談一談以下兩個方面的內容。
第一個方面，中考數學的備考過程不僅是知識結構和方法體系的建立過程，同時也是考生能夠熟練利用已知方法解決問題的學習過程，前者與老師的引導方式以及專業水平有關，體現的是知識和方法上的完整性；後者與考生的複習策略以及領悟能力有關，體現的是內化和運用的靈活性。因此，考生首先需要通過系統做題、全面總結，確保知識結構和方法體系是完整的，這當然需要刻意的練習與全面的總結；其次，考生還需要能夠熟練運用，如果僅僅是總結的很全面，這些知識還都是“死的”，還達不到“活用”的目的，自己若不能熟練應用，不僅浪費了之前所花費的時間，信心也會受損，學習熱情自然也會逐漸降低。這就對學習提出了更高的要求——要能有計劃、有針對性的進行一系列的反饋訓練，不僅能夠“攻城拔寨”，還要能夠對城池進行“有效管理”。
第二個方面，一定要重視情緒和意志的作用。有些考生，他們的數學可能就差最後兩道壓軸試題的最後一問需要突破，在這樣“難啃的硬骨頭”面前，在屢屢挑戰失敗之後，不能始終如一的保持旺盛的戰鬥力，在出現異常情況時更是不能及時地調整情緒走出低谷，此時學習上的“信心”儼然成為沉重的思想負擔，幾番回合下來，自然會“懷疑人生”。希望這部分學生，一定要沉著應對，在不斷犯錯、不斷總結的過程中，在刻意練習、深入思考的過程中，培養自己的悟性和韌性，持續付出不亞於任何人的努力，實現量變到質變的突破。
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序 章
一轉眼，《北京中考數學壓軸題解題方法突破》已經是第五版了，第一版曾在噹噹網新書暢銷榜中考數學類圖書中排名第一。一路走來，感謝眾讀者的支持和肯定，以及哈爾濱工業大學劉培傑數學工作室的編輯同仁等的辛苦付出。
2019年北京中考數學難度很大，無論是幾何綜合題、新定義綜合題，還是一次函數綜合題，都超越連續多年的試題難度，其中幾何綜合題的解題“思維方式”更是有根本性的變化。
第五版在保持以往版本的特色的基礎上，對2019年解答題中的高難度試題幾何綜合題、新定義綜合題、二次函數綜合題和一次函數綜合題等，都進行了深度解析。同時，結合北京中考試題中選擇題和填空題的特色，從北京高考真題及各城區高三模擬試題彙總精選了部分試題，並進行了解析，幫助考生從更高的角度體會命題專家的選題角度和分析方式 。
本書對於精選例題的解析，都是嚴格按照“讀題—分析—解答—反思”四個環節展開；注重構建充滿聯繫的知識結構，探究問題背後的本質規律，總結解決問題的基本策略，反思解題方法的缺陷不足，捕捉奇思妙想的靈感閃現，講深、講透、講徹底；對於幾何綜合題的解析注重“一題多解”和“多解歸一”，對於新定義綜合題的解析，注重“通性通法”。
“向來枉費推移力，此日中游自在行”。希望通過本書的學習，幫助考生熟悉中考壓軸試題的常見形式、理解基本概念和核心模型的考察特點，提高數學基本技能，感悟數學思想方法，積累解題的基本經驗，不僅僅注重中考數學壓軸題的方法突破，更希望幫助考生形成自己的解決問題的思維模式從而受益終身。
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