和差倍問題
和差問題
和倍問題
差倍問題
已知條件
幾個數的和與差
幾個數的和與倍數
幾個數的差與倍數
公式適用範圍
已知兩個數的和，差，倍數關係
公式
①(和－差)÷2=較小數
較小數＋差=較大數
和－較小數=較大數
②(和＋差)÷2=較大數
較大數－差=較小數
和－較大數=較小數
和÷(倍數＋1)=小數
小數×倍數=大數
和－小數=大數
差÷(倍數-1)=小數
小數×倍數=大數
小數＋差=大數
關鍵問題
求出同一條件下的
和與差
和與倍數
差與倍數
年齡問題的三個基本特徵：
①兩個人的年齡差是不變的；
②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；
③兩個人的年齡的倍數是發生變化的；
歸一問題的基本特點：
問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。
關鍵問題：根據題目中的條件確定並求出單一量；
植樹問題
基本類型
在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹
在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹
在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹
封閉曲線上植樹
基本公式
棵數=段數＋1
棵距×段數=總長
棵數=段數－1
棵距×段數=總長
棵數=段數
棵距×段數=總長
關鍵問題
確定所屬類型，從而確定棵數與段數的關係
雞兔同籠問題
基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來；
基本思路：
①假設，即假設某種現象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：
②假設後，發生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；
③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現這個差的原因；
④再根據這兩個差作適當的調整，消去出現的差。
基本公式：
①把所有雞假設成兔子：雞數＝（兔腳數×總頭數－總腳數）÷（兔腳數－雞腳數）
②把所有兔子假設成雞：兔數＝（總腳數一雞腳數×總頭數）÷（兔腳數一雞腳數）
關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。
盈虧問題
基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產生一種結果：按照另一種標準分組，又產生一種結果，由於
分組的標準不同，造成結果的差異，由它們的關係求對象分組的組數或對象的總量．
基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由於標準的差異造成結果的變化，根據這個關係求出參加分配的總份數，然後根據題意求出對象的總量．
基本題型：
①一次有餘數，另一次不足；
基本公式：總份數＝（餘數＋不足數）÷兩次每份數的差
②當兩次都有餘數；
基本公式：總份數＝（較大餘數一較小余數）÷兩次每份數的差
③當兩次都不足；
基本公式：總份數＝（較大不足數一較小不足數）÷兩次每份數的差
基本特點：對象總量和總的組數是不變的。
牛吃草問題
基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1”份，根據兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。
基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；
關鍵問題：確定兩個不變的量。
基本公式：設定1頭牛1天吃草量為1份。
（1）草每天的生長速度=（對應的牛頭數×吃的較多天數-相應的牛頭數×吃的較少天數）÷（吃的較多天數-吃的較少天數）；
（2）草的原有量=（牛頭數-草每天的生長量）×吃的天數；
（3）吃的天數=原有草量÷（牛頭數一草每天的生長速度）；
（4）牛頭數=原有草量÷吃的天數+草每天的生長速度。
平均數
基本公式：①平均數=總數量÷總份數
總數量=平均數×總份數
總份數=總數量÷平均數
②平均數=基準數＋每一個數與基準數差的和÷總份數
基本算法：
①求出總數量以及總份數，利用基本公式①進行計算.
②基準數法：根據給出的數之間的關係，確定一個基準數；一般選與所有數比較接近的數或者中間數為基準數；以基準數為標準，求所有給出數與基準數的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數；最後求這個差的平均數和基準數的和，就是所求的平均數，具體關係見基本公式②
抽屜原理
抽屜原則一：如果把（n+1）個物體放在n個抽屜裡，那麼必有一個抽屜中至少放有2個物體。
例：把4個物體放在3個抽屜裡，也就是把4分解成三個整數的和，那麼就有以下四種情況：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
觀察上面四种放物體的方式，我們會發現一個共同特點：總有那麼一個抽屜裡有2個或多於2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。
抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜裡，其中n>m，那麼必有一個抽屜至少有:
①k=[n/m ]+1個物體：當n不能被m整除時。
②k=n/m個物體：當n能被m整除時。
理解知識點：[X]表示不超過X的最大整數。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
關鍵問題：構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而後依據抽屜原則進行運算。
定義新運算
基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。
基本思路：嚴格按照新定義的運算規則，把已知的數代入，轉化為加減乘除的運算，然後按照基本運算過程、規律進行運算。
關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。
注意事項：①新的運算不一定符合運算規律，特別注意運算順序。
②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。
數列求和
等差數列：在一列數中，任意相鄰兩個數的差是一定的，這樣的一列數，就叫做等差數列。
基本概念：首項：等差數列的第一個數，一般用a1表示；
項數：等差數列的所有數的個數，一般用n表示；
公差：數列中任意相鄰兩個數的差，一般用d表示；
通項：表示數列中每一個數的公式，一般用an表示；
數列的和：這一數列全部數字的和，一般用Sn表示．
基本思路：等差數列中涉及五個量：a1 ,an, d, n, sn,,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。
基本公式：通項公式：an = a1+（n－1）d；
通項＝首項＋（項數一1) ×公差；
數列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；
數列和＝（首項＋末項）×項數÷2；
項數公式：n= (an+ a1)÷d＋1；
項數=（末項-首項）÷公差＋1；
公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；
公差=（末項－首項）÷（項數－1）；
關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；
加法乘法原理和幾何計數
加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那麼完成這件任務共有：m1+ m2....... +mn種不同的方法。
關鍵問題：確定工作的分類方法。
基本特徵：每一種方法都可完成任務。
乘法原理：如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那麼完成這件任務共有：m1×m2....... ×mn種不同的方法。
關鍵問題：確定工作的完成步驟。
基本特徵：每一步只能完成任務的一部分。
直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。
直線特點：沒有端點，沒有長度。
線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。
線段特點：有兩個端點，有長度。
射線：把直線的一端無限延長。
射線特點：只有一個端點；沒有長度。
①數線段規律：總數＝1+2+3+…+（點數一1）；
②數角規律=1+2+3+…+（射線數一1）；
③數長方形規律：個數=長的線段數×寬的線段數：
④數長方形規律：個數=1×1+2×2+3×3+…+行數×列數
數的整除
一、基本概念和符號：
1、整除：如果一個整數a，除以一個自然數b，得到一個整數商c，而且沒有餘數，那麼叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。
2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“”；因為符號“∵”，所以的符號“∴”；
二、整除判斷方法：
能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。
能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。
能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。
能被3、9整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。
能被7整除：
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。
②逐次去掉最後一位數字並減去末位數字的2倍後能被7整除。
能被11整除：
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。
②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。
③逐次去掉最後一位數字並減去末位數字後能被11整除。
能被13整除：
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。
②逐次去掉最後一位數字並減去末位數字的9倍後能被13整除。
三、整除的性質：
如果a、b能被c整除，那麼（a+b）與（a-b）也能被c整除。
如果a能被b整除，c是整數，那麼a乘以c也能被b整除。
如果a能被b整除，b又能被c整除，那麼a也能被c整除。
如果a能被b、c整除，那麼a也能被b和c的最小公倍數整除。
綜合行程
基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關係.
基本公式：路程=速度×時間；路程÷時間=速度；路程÷速度=時間
關鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。
相遇問題：速度和×相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）
追及問題：追及時間＝路程差÷速度差（寫出其他公式）
流水問題：順水行程=（船速+水速）×順水時間
逆水行程=（船速-水速）×逆水時間
順水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
靜水速度=（順水速度+逆水速度）÷2
水 速=（順水速度-逆水速度）÷2
流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。
過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。
主要方法：畫線段圖法
基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個量，求第三個量。
工程問題
基本公式：
①工作總量=工作效率×工作時間
②工作效率=工作總量÷工作時間
③工作時間=工作總量÷工作效率
基本思路：
①假設工作總量為“1”（和總工作量無關）；
②假設一個方便的數為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數），利用上述三個基本關係，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.
關鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關係。
經驗簡評：合久必分，分久必合。
邏輯推理
基本方法簡介：
①條件分析—假設法：假設可能情況中的一種成立，然後按照這個假設去判斷，如果有與題設條件矛盾的情況，說明該假設情況是不成立的，那麼與他的相反情況是成立的。例如，假設a是偶數成立，在判斷過程中出現了矛盾，那麼a一定是奇數。
②條件分析—列表法：當題設條件比較多，需要多次假設才能完成時，就需要進行列表來輔助分析。列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格內的題設情況，運用邏輯規律進行判斷。
③條件分析——圖表法：當兩個對象之間只有兩種關係時，就可用連線表示兩個對象之間的關係，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態，沒有連線則表示否定的狀態。例如A和B兩人之間有認識或不認識兩種狀態，有連線表示認識，沒有表示不認識。
④邏輯計算：在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應的計算，根據計算的結果為推理提供一個新的判斷篩選條件。
⑤簡單歸納與推理：根據題目提供的特徵和數據，分析其中存在的規律和方法，並從特殊情況推廣到一般情況，並遞推出相關的關係式，從而得到問題的解決。
簡單方程
代數式：用運算符號（加減乘除）連接起來的字母或者數字。
方程：含有未知數的等式叫方程。
列方程：把兩個或幾個相等的代數式用等號連起來。
列方程關鍵問題：用兩個以上的不同代數式表示同一個數。
等式性質：等式兩邊同時加上或減去一個數，等式不變；等式兩邊同時乘以或除以一個數（除0），等式不變。
移項：把數或式子改變符號後從方程等號的一邊移到另一邊；
移項規則：先移加減，後變乘除；先去大括號，再去中括號，最後去小括號。
加去括號規則：在只有加減運算的算式裡，如果括號前面是“+”號，則添、去括號，括號裡面的運算符號都不變；如果括號前面是“－”號，添、去括號，括號裡面的運算符號都要改變；括號裡面的數前沒有“+”或“－”的，都按有“+”處理。
移項關鍵問題：運用等式的性質，移項規則，加、去括號規則。
乘法分配率：a(b+c)=ab+ac
解方程步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合併同類項；⑤求解；
方程組：幾個二元一次方程組成的一組方程。
解方程組的步驟：①消元；②按一元一次方程步驟。
消元的方法：①加減消元；②代入消元。
以上就是為大家分享的內容，如果您的孩子在學習上還有問題，如，沒有好的學習方法，或者是偏科，需要資料等，那麼，都可通過下面方法獲取：
更多好方法，好的教育理念，我也都會為大家一一分享。有任何問題也都可以點擊我的頭條號，私信問我。
閱讀更多 草莓舞者 的文章
