下面是一道2017年陝西中考數學的壓軸大題，滿分12分，共三問，前兩問相對簡單一點，第三問綜合性較強，要想拿到滿分還是很不容易的，不妨來試試你能拿到多少分呢？
問題提出
（1）如圖①，△ABC是等邊三角形，AB=12，若點O是△ABC的內心，則OA的長為（ ）；
問題探究
（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果點P是AD邊上一點，且AP=3，那麼BC邊上是否存在一點Q，使得線段PQ將矩形ABCD的面積平分？若存在，求出PQ的長；若不存在，請說明理由．
問題解決
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和絃AB與其所對的劣弧圍成的草地組成，如圖③所示．管理員王師傅在M處的水管上安裝了一噴灌龍頭，以後，他想只用噴灌龍頭來給這塊草坪澆水，並且在用噴灌龍頭澆水時，既要能確保草坪的每個角落都能澆上水，又能節約用水，於是，他讓噴灌龍頭的轉角正好等於∠AMB（即每次噴灌時噴灌龍頭由MA轉到MB，然後再轉回，這樣往復噴灌．）同時，再合理設計好噴灌龍頭噴水的射程就可以了．
如圖③，已測出AB=24m，MB=10m，△AMB的面積為96m2；過弦AB的中點D作DE⊥AB交於點E，又測得DE=8m．
請你根據以上信息，幫助王師傅計算噴灌龍頭的射程至少多少米時，才能實現他的想法？為什麼？（結果保留根號或精確到0.01米）
【分析】（1）構建Rt△AOD中，利用cos∠OAD=cos30°，可得OA的長；
（2）經過矩形對角線交點的直線將矩形面積平分，根據此結論作出PQ，利用勾股定理進行計算即可；
（3）如圖3，作輔助線，先確定圓心和半徑，根據勾股定理計算半徑：
在Rt△AOD中，r²=12²+（r﹣8）²，解得：r=13根據三角形面積計算高MN的長，證明△ADC∽△ANM，列比例式求DC的長，確定點O在△AMB內部，利用勾股定理計算OM，則最大距離FM的長可利用相加得出結論．
【解答】解：（1）如圖1，過O作OD⊥AC於D，則AD=1/2AC=1/2×12=6，
∵O是內心，△ABC是等邊三角形，
∴∠OAD=1/2∠BAC=1/2×60°=30°，
在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°=AD/OA，
∴OA=4√3，
故答案為：4√3；
（2）存在，如圖2，連接AC、BD交於點O，連接PO並延長交BC於Q，則線段PQ將矩形ABCD的面積平分，
∵點O為矩形ABCD的對稱中心，
∴CQ=AP=3，
過P作PM⊥BC於點，則PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，
由勾股定理得：PQ=12√2；
（3）如圖3，作射線ED交AM於點C
∵AD=DB，ED⊥AB，弧AB是劣弧，
∴弧
B所在圓的圓心在射線DC上，
假設圓心為O，半徑為r，連接OA，則OA=r，OD=r﹣8，AD=1/2AB=12，
在Rt△AOD中，r²=12²+（r﹣8）²，
解得：r=13，
∴OD=5，
過點M作MN⊥AB，垂足為N，
∵S△ABM=96，AB=24，
∴1/2AB•MN=96，
1/2×24×MN=96，
∴MN=8，NB=6，AN=18，
∵CD∥MN，
∴△ADC∽△ANM，
∴DC:MN=AD:AN，
∴DC=16/3，
∴OD＜CD，
∴點O在△AMB內部，
∴連接MO並延長交AB弧於點F，則MF為草坪上的點到M點的最大距離，
∵在AB弧上任取一點異於點F的點G，連接GO，GM，
∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，
即MF＞MG，
過O作OH⊥MN，垂足為H，則OH=DN=6，MH=3，
∴OM=√（MH²+OH²）=3√5，
∴MF=OM+r=3√5+13≈19.71（米），
答：噴灌龍頭的射程至少為19.71米．
本題是圓的綜合題，綜合性非常強，考查了三角形相似的性質和判定、勾股定理、等邊三角形的性質及內心的定義、特殊的三角函數值、矩形的性質等知識，明確在特殊的四邊形中將面積平分的直線一定過對角線的交點，本題的第三問比較複雜，輔助線的作出是關鍵，根據三角形的三角關係確定其最大射程為MF．
閱讀更多 巧學數學 的文章
