【老Z講數學】解決此類問題數形結合思想是關鍵.
【例】（2018秋•海淀區校級期中）如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓，有一個公共點與數軸上的原點重合，兩圓在數軸上做無滑動的滾動，小圓的運動速度為每秒π個單位，大圓的運動速度為每秒2π個單位，
（1）若小圓不動，大圓沿數軸來回滾動，規定大圓向右滾動的時間記為正數，向左滾動時間即為負數，依次滾動的情況錄如下（單位：秒）：
﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6
①第 次滾動後，大圓與數軸的公共點到原點的距離最遠；
②當大圓結束運動時，大圓運動的路程共有多少？此時兩圓與數軸重合的點之間的距離是多少？（結果保留π）
（2）若兩圓同時在數軸上各自沿著某一方向連續滾動，滾動一段時間後兩圓與數軸重合的點之間相距9π，求此時兩圓與數軸重合的點所表示的數．
【老Z講數學】（1）①算出每次滾動後大圓與數軸的公共點到原點的距離，然後比較大小即可；
②總路程與方向無關把每次的移動的距離相加即可；
（2）分同向和反相兩種情況討論，同向路程之差為9π，反向路程之和為9π，然後求出相應時間，再根據不同方向確定兩圓與數軸重合的點所表示的數
【解答】解：（1）①：
第1次滾動後，大圓與數軸的公共點到原點的距離：
|﹣1×2π|＝2π
第2次滾動後，大圓與數軸的公共點到原點的距離：
|﹣1×2π+2×2π|＝2π
第3次滾動後，大圓與數軸的公共點到原點的距離：
|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π|＝6π
第4次滾動後，大圓與數軸的公共點到原點的距離：
|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π|＝10π
第5次滾動後，大圓與數軸的公共點到原點的距離：
|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π|＝4π
第6次滾動後，大圓與數軸的公共點到原點的距離：
|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π
所以第四次滾動後大圓與數軸的公共點到原點的距離最遠．
故答案為4；
【變式1】（2018秋•江岸區校級月考）如圖，數軸上A，B兩點對應的數分別﹣4，8．有一動點P從點A出發第一次向左運動1個單位長度；然後在新的位置第二次運動，向右運動2個單位長度；在此位置第三次運動，向左運動3個單位長度，…按照如此規律不斷地左右運動
（1）當運動到第2018次時，求點P所對應的有理數．
（2）點P會不會在某次運動時恰好到達某一個位置，使點P到點B的距離是點P到點A的距離的3倍？若可能請求出此時點P的位置，若不可能請說明理由．
【老Z講數學】（1）根據題意可以發現點P運動後對應的點的規律，從而可以解答本題；
（2）根據題意分兩種情況：①當P點在A點的左邊時；②當P點在AB之間時；可以求得點P對應的有理數．
【解答】解：（1）﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣…﹣2017+2018
＝﹣4+1009
＝1005．
故點P所對應的有理數是1005．
（2）①當P點在A點的左邊時，
∵PB＝3PA，
∴AB＝2PA，
∴PA＝6，
∴P點對應的數為﹣10，
﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8﹣9+10﹣11＝﹣10，
∴可以；
②當P點在AB之間時，
∵PB＝3PA，
∴AB＝4PA，
∴PA＝3，
∴P點對應的數為﹣1，﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6＝﹣1，
∴可以．
∴點P對應的數為﹣10或﹣1．
【老Z講數學】本題考查數軸，解答本題的關鍵是明確數軸的特點，利用分類思想、數形結合的思想解答．
【變式2】（2018秋•淮陰區期中）已知在紙面上有一數軸（如圖1），摺疊紙面．
（1）若1表示的點與﹣1表示的點重合，則﹣4表示的點與 表示的點重合；
（2）若﹣2表示的點與8表示的點重合，回答以下問題：
①16表示的點與 表示的點重合；
②如圖2，若數軸上A、B兩點之間的距離為2018（A在B的左側），且A、B兩點經摺疊後重合，則A、B兩點表示的數分別是 、 ．
（3）如圖3，若m和n表示的點C和點D經摺疊後重合，（m＞n＞0），現數軸上P、Q兩點之間的距離為a（P在Q的左側），且P、Q兩點經摺疊後重合，求P、Q兩點表示的數分別是多少？（用含m，n，a的代數式表示）
【老Z講數學】（1）由表示1與﹣1的兩點重合，利用對稱性即可得到結果；
（2）由﹣2表示的點與8表示的點重合，確定出3為對稱點，得出兩項的結果即可；
（3）根據（2）的計算方法進行解答．
【老Z講數學】本題考查了數軸的運用．關鍵是利用數軸，數形結合求出答案，注意不要漏解．
【變式3】（2018秋•海淀區校級期中）下面材料：已知點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，A、B兩點之間的距離表示為|AB|．
當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，
如圖1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|
當A、B兩點都不在原點時，
（1）如圖2，點A、B都在原點的右邊，
|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|
（2）如圖3，點A、B都在原點的左邊，
|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|
（3）如圖4，點A、B在原點的兩邊，
|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|
綜上，數軸上A、B兩點的距離|AB|＝|a﹣b|
回答下列問題：
（1）數軸上表示﹣2和﹣5兩點之間的距離是 ；
（2）數軸上表示x和﹣1的兩點A、B之間的距離是|x+1|，如果|AB|＝2，那麼x為 ；
（3）當代數式|x+1|+|x﹣2|取最小值時，相應的x的取值範圍是 ．
【老Z講數學】本題應從絕對值在數軸上的定義（絕對值定義是座標軸上的點到原點的距離）下手，分別解出答案．
【解答】解：（1）﹣2﹣（﹣5）＝﹣2+5＝3；所以﹣2與﹣5兩點之間的距離是3；
（2）因為|x+1|＝2，所以x＝1或﹣3；
（3）根據絕對值的定義，|x+1|+|x﹣2|可表示為x到﹣1與2兩點距離的和，根據絕對值的幾何意義知，當x在﹣1與2之間時，|x+1|+|x﹣2|有最小值3．
故答案為：（1）3 （2）1或﹣3 （3）﹣1≤x≤2
【老Z講數學】本題考查了絕對值的集合意義．讀懂並理解題目材料，會利用絕對值的幾何意義是解決本題的關鍵．
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