微專題："阿氏圓"問題原創： 金火中學汪振方 金火微數學

具體的描述為：一動點P到兩定點A、B的距離之比等於定比m:n，則P點的軌跡是以定比m:n內分和外分定線段AB的兩個分點的連線為直徑的圓．

具體的描述為：一動點P到兩定點A、B的距離之比等於定比m:n，則P點的軌跡是以定比m:n內分和外分定線段AB的兩個分點的連線為直徑的圓．

通俗地說：如圖，在△PAB中，PD平分∠APB交AB於點D，PC平分△PAB的外角∠APE交BA的延長線於點C，以線段CD長為直徑的圓就是阿氏圓．

當k＝1時，PA＝PB，那麼點P到線段AB的兩端點的距離相等，它的軌跡就是線段AB的垂直平分線．

【數學定理】

1、三角形內角平分線定理：三角形任意兩邊之比等於它們夾角的平分線內分對邊之比.

如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，則AB:AC＝BD:CD

.2、三角形外角平分線定理：三角形任意兩邊之比等於它們夾角的外角平分線外分對邊之比.

如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，則AB:AC＝BD:CD.

【模型探究】

如圖，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上的動點，已知r=k·OB，連結PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？

【問題解決】

問題解決的關鍵在於如何確定“k·PB”的大小，如圖，在線段OB上截取OC，使OC=k·r，則可證明△BPO∽△PCO，即可得k·PB=PC．

本題求“PA+k·PB”的最小值就轉化為求“PA+PC”的最小值，其中點A、C為定點，點P為動點，如圖：

如圖，當點A、P、C三點共線時，

“PA+PC”的值最小，問題得解

．【破解步驟】

（母子型相似：△PCO∽△BPO）

1、將係數不為1的線段兩端點分別與圓心O相連，即連結OB、OP；

2、計算出線段OP、OB的長以及線段比OP:OB＝k的值，

3、在OB或OB的延長線上取點C，使得OC:OP＝OP:OB＝k；（關鍵步驟）

4、連結AC，與⊙O的交點即為點P.

【模型實例】

圖文解析

觀察動態演示：

【解析】

1、如圖，將係數不為1的線段AP的兩端點分別與圓心C相連，即連結CA、CP；

4、如圖，連結BD，與圓C的交點即為點P.

變式：條件不變，求AP＋0.5BP的最小值.

（答案：根號37）

【牛刀小試】

1、已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，點P是弧CD上的一點，則2AP＋BP的最小值是 ．

2、如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，⊙C的半徑為2，點D是⊙C上的動點，點E在BC上，CE＝1，連結AD、DE，求0.5AD＋2DE的最小值．

【答案】1、13 2、根號17

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關鍵字: 數學 軌跡 阿波羅

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