【數學定義】
已知平面上兩定點A、B，則所有滿足PA:PB＝k（或PA＝k·PB）且k≠1的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，所以該圓就稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．
具體的描述為：一動點P到兩定點A、B的距離之比等於定比m:n，則P點的軌跡是以定比m:n內分和外分定線段AB的兩個分點的連線為直徑的圓．
具體的描述為：一動點P到兩定點A、B的距離之比等於定比m:n，則P點的軌跡是以定比m:n內分和外分定線段AB的兩個分點的連線為直徑的圓．
通俗地說：如圖，在△PAB中，PD平分∠APB交AB於點D，PC平分△PAB的外角∠APE交BA的延長線於點C，以線段CD長為直徑的圓就是阿氏圓．
當k＝1時，PA＝PB，那麼點P到線段AB的兩端點的距離相等，它的軌跡就是線段AB的垂直平分線．
【數學定理】
1、三角形內角平分線定理：三角形任意兩邊之比等於它們夾角的平分線內分對邊之比.
如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，則AB:AC＝BD:CD
.2、三角形外角平分線定理：三角形任意兩邊之比等於它們夾角的外角平分線外分對邊之比.
如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，則AB:AC＝BD:CD.
【模型探究】
如圖，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上的動點，已知r=k·OB，連結PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？
【問題解決】
問題解決的關鍵在於如何確定“k·PB”的大小，如圖，在線段OB上截取OC，使OC=k·r，則可證明△BPO∽△PCO，即可得k·PB=PC．
本題求“PA+k·PB”的最小值就轉化為求“PA+PC”的最小值，其中點A、C為定點，點P為動點，如圖：
如圖，當點A、P、C三點共線時，
“PA+PC”的值最小，問題得解
．【破解步驟】
（母子型相似：△PCO∽△BPO）
1、將係數不為1的線段兩端點分別與圓心O相連，即連結OB、OP；
2、計算出線段OP、OB的長以及線段比OP:OB＝k的值，
3、在OB或OB的延長線上取點C，使得OC:OP＝OP:OB＝k；（關鍵步驟）
4、連結AC，與⊙O的交點即為點P.
【模型實例】
圖文解析
觀察動態演示：
【解析】
1、如圖，將係數不為1的線段AP的兩端點分別與圓心C相連，即連結CA、CP；
4、如圖，連結BD，與圓C的交點即為點P.
變式：條件不變，求AP＋0.5BP的最小值.
（答案：根號37）
【牛刀小試】
1、已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，點P是弧CD上的一點，則2AP＋BP的最小值是 ．
2、如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，⊙C的半徑為2，點D是⊙C上的動點，點E在BC上，CE＝1，連結AD、DE，求0.5AD＋2DE的最小值．
【答案】1、13 2、根號17
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