世界七大數學難題有哪些？

轉載：還記得被譽為“皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜嗎？這困擾了人類200多年的數學謎題，另無數數學家為之瘋狂。另外，龐加萊猜想這個被稱為21世紀七大數學難題之一，最後由兩位來自中國的數學家完成了最後的攻堅。這是中國人對數學界的重大貢獻之一。前有陳景潤攻堅哥德巴赫猜想、後有朱熹平、曹懷東破解龐加萊猜想。但在此之外，諸如

世界七大數學難題，它們就像一道道亮麗的風景，吸引著世界各國的數學家的注意。那麼，世界七大數學難題究竟有哪些呢？

世界七大數學難題相關介紹

1、世界七大數學難題有哪些

這七個“世界難題”是：NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊·米爾斯理論、納衛爾-斯托可方程、BSD猜想。這七個問題都被懸賞一百萬美元。

2、23個數學難題

數學大師大衛·希爾伯特在1900年8月8日於巴黎召開的第二屆世界數學家大會上的著名演講中提出了23個數學難題。希爾伯特問題在過去百年中激發數學家的智慧，指引數學前進的方向，其對數學發展的影響和推動是巨大的，無法估量的。

20世紀是數學大發展的一個世紀。數學的許多重大難題得到完滿解決， 如費馬大定理的證明，有限單群分類工作的完成等， 從而使數學的基本理論得到空前發展。

2000年初美國克雷數學研究所的科學顧問委員會選定了七個“千年大獎問題”，克雷數學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個“千年大獎問題”的解決都可獲得一百萬美元的獎勵。

克雷數學研究所“千年大獎問題”的選定，其目的不是為了形成新世紀數學發展的新方向， 而是集中在對數學發展具有中心意義、數學家們夢寐以求而期待解決的重大難題。

3、世界七大數學難題的由來

2000年5月24日，千年數學會議在著名的法蘭西學院舉行。會上，97年菲爾茲獎獲得者伽沃斯以“數學的重要性”為題作了演講，其後，塔特和阿啼亞公佈和介紹了這七個“千年大獎問題”。克雷數學研究所還邀請有關研究領域的專家對每一個問題進行了較詳細的詳述。克雷數學研究所對“千年大獎問題”的解決與獲獎作了嚴格規定。每一個“千年大獎問題”獲得解決並不能立即得獎。任何解決答案必須在具有世界聲譽的數學雜誌上發表兩年後且得到數學界的認可，才有可能由克雷數學研究所的科學顧問委員會審查決定是否值得獲得百萬美元大獎。

其中有一個已被解決(龐加萊猜想，由俄羅斯數學家格里戈裡·佩雷爾曼破解)，還剩六個。

世界七大數學難題：NP完全問題

1、NP完全問題簡介

NP就是Non-deterministic Polynomial的問題，也即是多項式複雜程度的非確定性問題。

假設P ≠ NP的圖解。若P = NP則三類相同。

假設P ≠ NP的圖解。若P = NP則三類相同。

而如果任何一個NP問題都能通過一個多項式時間算法轉換為某個NP問題，那麼這個NP問題就稱為NP完全問題（Non-deterministic Polynomial complete problem）。NP完全問題也叫做NPC問題。

2、NP完全問題的描述

例：在一個週六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由於感到侷促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。宴會的主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那裡掃視，並且發現宴會的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。

生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數13717421可以寫成兩個較小的數的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以分解為3607乘上3803，那麼你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。

人們發現，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算，人們於是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性算法，可以在多項式時間內，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一。它是斯蒂文·考克於1971年陳述的。

3、NP完全問題的解決

人們發現，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算，人們於是就猜想，是否這類問題存在一個確定性算法，可以在多項式時間內直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。解決這個猜想，無非兩種可能，一種是找到一個這樣的算法，只要針對某個特定NP完全問題找到一個算法，所有這類問題都可以迎刃而解了，因為他們可以轉化為同一個問題。另外的一種可能，就是這樣的算法是不存在的。那麼就要從數學理論上證明它為什麼不存在。

4、NP完全問題最新情況

2010年8月6日，HP LAB的 Vinay Deolalikar 教授宣佈證明了P!=NP，證明文章已經發送到該問題各相關領域專家手中，等待檢驗，在他的主頁上，證明過程已經公佈（PDF格式共103頁），但在8月15日，人們關於論文的看法——即證明不能成立——已經趨於穩定（當然這不能排除大家都同時犯了錯誤的可能性），隨後的發言越來越多地集中於更抽象的層面，並且至今仍在繼續。

世界七大數學難題：霍奇猜想

1、霍奇猜想簡介

霍奇猜想是代數幾何的一個重大的懸而未決的問題。它是關於非奇異復代數簇的代數拓撲和它由定義子簇的多項式方程所表述的幾何的關聯的猜想。它在霍奇的著述的一個結果中出現，他在1930至1940年間通過包含額外的結構豐富了德拉姆上同調的表述，這種結構出現於代數簇的情況（但不僅限於這種情況）。

2、霍奇猜想的描述

二十世紀的數學家們發現了研究複雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導致一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的

空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。

3、霍金猜想的解決

黎曼假設、龐加萊猜想、霍奇猜想、貝赫和斯維訥通－戴爾猜想、納維葉―斯托克斯方程、楊―米爾理論、P問題對NP問題被稱為21世紀七大數學難題。2000年5月，美國的克萊數學研究所為每道題懸賞百萬美元求解。目前，這一難題仍沒有被破解。

對於(1,1)類的霍奇猜想已經在霍奇本人提出本猜想前的1924年由 Lefschetz證明。換句話說，霍奇猜想對於H^2成立。實際上，這是霍奇提出其猜想的動機之一。除此以外，還成立以下定理：如果霍奇猜想對於度數p的霍奇類成立，其中p

世界七大數學難題：龐加萊猜想

1、龐加萊猜想簡介

如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮鬥。

2、龐加萊猜想的證明

在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數學家格里戈裡·佩雷爾曼在發表了三篇論文預印本，並聲稱證明了幾何化猜想。

在佩雷爾曼之後，先後有2組研究者發表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節。這包括密西根大學的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學的約翰·摩根和麻省理工學院的田剛。原文地址：http://www.ufo-1.cn/article/201605/979.html

2006年8月，第25屆國際數學家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎。數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。

3、龐加萊猜想比喻

我們想象這樣一個房子，這個空間是一個球。或者，想象一隻巨大的足球，裡面充滿了氣，我們鑽到裡面看，這就是一個球形的房子。我們不妨假設這個球形的房子牆壁是用鋼做的，非常結實，沒有窗戶沒有門，我們在這樣的球形房子裡。拿一個氣球來，帶到這個球形的房子裡。隨便什麼氣球都可以（其實對這個氣球是有要求的）。

這個氣球並不是癟的，而是已經吹成某一個形狀，什麼形狀都可以（對形狀也有一定要求）。但是這個氣球，我們還可以繼續吹大它，而且假設氣球的皮特別結實，肯定不會被吹破。還要假設，這個氣球的皮是無限薄的。好，接著我們繼續吹大這個氣球，一直吹。吹到最後會怎麼樣呢？龐加萊先生猜想，吹到最後，一定是氣球表面和整個球形房子的牆壁表面緊緊地貼住，中間沒有縫隙。

我們還可以換一種方法想想：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。

看起來這是不是很容易想清楚？但數學可不是“隨便想想”就能證明一個猜想的，這需要嚴密的數學推理和邏輯推理。一個多世紀以來，無數的科學家為了證明它，絞盡腦汁甚至傾其一生還是無果而終。

世界七大數學難題：黎曼假設

1、黎曼假設簡介

有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2、3、5、7……等等。這樣的數稱為素數；它們在純數學及其應用中都起著重要作用。在所有自然數中，這種素數的分佈並不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼zeta函數ζ(s)的性態。著名的黎曼假設斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對於每一個有意義的解都成立將為圍繞素數分佈的許多奧秘帶來光明。

2、黎假設的背景

黎曼猜想是關於黎曼ζ函數ζ(s)的零點分佈的猜想，由數學家黎曼於1859年提出。希爾伯特在第二屆國際數學家大會上提出了20世紀數學家應當努力解決的23個數學問題，被認為是20世紀數學的制高點，其中便包括黎曼假設。現今克雷數學研究所懸賞的世界七大數學難題中也包括黎曼猜想。

3、黎曼猜想的描述

與費爾馬猜想時隔三個半世紀以上才被解決，哥德巴赫猜想歷經兩個半世紀以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一個半世紀的紀錄還差得很遠，但它在數學上的重要性要遠遠超過這兩個大眾知名度更高的猜想。黎曼猜想是當今數學界最重要的數學難題。目前有消息指尼日利亞教授奧派耶米伊諾克(OpeyemiEnoch)成功解決黎曼猜想，然而克雷數學研究所既不證實也不否認伊諾克博士正式解決了這一問題。

歷史上關於黎曼猜想被證實的鬧劇時常傳出，近日所謂黎曼猜想被尼日利亞籍教授證明的網文中並沒有說明克雷數學研究所已經承認並授予獎金，克雷數學研究所官網目前並無任何表態，而學界專業評價趨於消極。

4、黎曼猜想的解決

據英國《每日郵報》11月17日報道，近日，尼日利亞教授奧派耶米 伊諾克(Opeyemi Enoch)成功解決已存在156年的數學難題——黎曼猜想，獲得100萬美元(約合人民幣630萬元)的獎金。黎曼猜想由德國數學家黎曼(Bernard)於1859年提出，其中涉及了素數的分佈，被認為是世界上最困難的數學題之一。2000年，美國克萊數學研究所(Clay Mathematics Institute)將黎曼猜想列為七大千年數學難題之一。

自從費馬大定理於20世紀90年代得以解決後，黎曼問題便成為數學界最著名、最受爭議的問題。該問題中最簡單的部分在於其中所有質數的分佈並不遵循規律。伊諾克博士在尼日利亞某大學任教。他表示，自己在2010年取得關鍵性突破，這為後來能夠解決這一千年難題奠定了基礎。他說，自己之所以決定解決這一著名的數學難題不是為了獎金，而是因為自己的學生。正是因為學生們相信自己，他才開始嘗試解決這一數學難題。

然而，克萊數學研究所既不證實也不否認伊諾克博士正式解決了這一問題，只是簡單表示對這些千年數學難題的解決辦法不予評論。

世界七大數學難題：黎曼假設之否認

其實雖然因素數分佈而起，但是卻是一個歧途，因為偽素數及素數的普遍公式告訴我們，素數與偽素數由它們的變量集決定的。

世界七大數學難題：楊－米爾斯存在性和質量缺口

1、楊－米爾斯存在性和質量缺口介紹

量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關係。基於楊－米爾斯方程的預言已經在如下的全世界範圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和駐波。儘管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於“夸克”的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。

2、趙庸民介紹

2013年4月17日，韓國建國大學宣佈，該校趙庸民教授數學（物理學）研究組破解出了世界七大數學難題中的“楊－米爾斯存在性和質量缺口假設（Yang-Mills and Mass Gap）”（楊－米爾斯理論）一題。趙庸民教授是粒子物理學理論、

宇宙論以及統一場領域的理論物理學家。

世界七大數學難題：納衛爾-斯托可方程的存在性與光滑性

1、納衛爾-斯托可方程的意義

它們是最有用的一組方程之一，因為它們描述了大量對學術和經濟有用的現象的物理過程。它們可以用於建模天氣，洋流，管道中的水流，星系中

恆星的運動，翼型周圍的氣流。它們也可以用於飛行器和車輛的設計，血液循環的研究，電站的設計，汙染效應的分析，等等。

方程建立了流體的粒子動量的改變率(加速度)和作用在液體內部的壓力的變化和耗散粘滯力(類似於摩擦力)以及重力之間的關係。這些粘滯力產生於分子的相互作用，能告訴我們液體有多粘。這樣，納維-斯托克斯方程描述作用於液體任意給定區域的力的動態平衡，這在流體力學中有十分重要的意義。

2、納衛爾-斯托可方程的奧秘

起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在於對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。

3、納衛爾-斯托可方程的描述

納維-斯托克斯方程依賴微分方程來描述流體的運動。這些方程，和代數方程不同，

不尋求建立所研究的變量（譬如速度和壓力）的關係，而是建立這些量的變化率或通量之間的關係。用數學術語來講，這些變化率對應於變量的導數。這樣，最簡單情況的0粘滯度的理想流體的納維-斯托克斯方程表明加速度（速度的導數，或者說變化率）是和內部壓力的導數成正比的。 這表示對於給定的物理問題的納維-斯托克斯方程的解必須用微積分的幫助才能取得。實用上，只有最簡單的情況才能用這種方法解答，而它們的確切答案是已知的。這些情況通常設計穩定態（流場不隨時間變化）的非湍流，其中流體的粘滯係數很大或者其速度很小（小的雷諾數）。

對於更復雜的情形，例如厄爾尼諾這樣的全球性氣象系統或機翼的升力，納維?斯托克斯方程的解必須藉助計算機。這本身是一個科學領域，稱為計算流體力學。雖然湍流是日常經驗中就可以遇到的，但這類問題極難求解。一個$1,000,000的大獎由克雷數學學院於2000年5月設立，獎給對於能夠幫助理解這一現象的數學理論作出實質性進展的任何人。

世界七大數學難題：BSD猜想

1、BSD猜想陳述

數學家總是被諸如 那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對於更為複雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方程是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。特別是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等於0,那麼存在無限多個有理點(解)。相反，如果z(1)不等於0。那麼只存在著有限多個這樣的點。

2、BSD猜想

給定一個整體域上的阿貝爾簇，猜想它的莫代爾群的秩等於它的L函數在1處的零點階數，且它的L函數在1處的泰勒展開的首項係數與莫代爾群的有限部分大小、自由部分體積、所有素位的週期以及沙群有精確的等式關係。前半部分通常稱為弱BSD猜想。BSD猜想是分圓域的類數公式的推廣。格羅斯提出了一個細化的BSD猜想。布洛克和加藤提出了更一般的對於motif的Bloch-Kato猜想。

2、BSD猜想推論

由BSD猜想可以推出奇偶性猜想、西爾維斯特等很多猜想。其中最著名的是與同餘數問題的關係，從BSD猜想可以推出模8餘5，6，7的平方自由的正整數一定可以成為某個有理邊長直角三角形的面積。

結語：以上就是數學界千年謎題，這些問題公佈以來一直都被人廣泛關注，尤其是全球的數學家們。數學界重大問題的突破，每次也會給社會其他科學帶來突破。對於數學界的這種世紀難題的研究已經成為一種文化交流，不少國家的數學家正在組織聯合攻關，希望中國的數學家也可以奉獻自己的一份力量。