[遇見數學創作小組] 作者: 心如止水(Java程序員。善於把複雜的數學知識，簡潔易懂地表達出來)
一個簡單的小題，先別看答案，來試試看：
所以「當 A 真時 B 一定假」，所以 T⇒ F 是
請判斷以下列命題的真假：
2≠3 ⇒ 1.5 是有理數 (1)
2≠3 ⇒ 1 是質數 (2)
2=3 ⇒ 1.5 是有理數 (3)
2=3 ⇒ 1 是質數 (4)
只有第二個是假，其他的都是真(我是認真的)。你做對了幾個？
這是挺反直覺的，第 3 個和第 4 個絕對不可能是對的啊！前提是假的，為什麼命題還能是真的呢？難道胡說八道就可以證明數學命題了嗎？
數學是嚴謹的，它的用語和自然語言和是有區別的：「⇒」的並不是「推出」，而是「蘊含」(條件)，「A ⇒ B」表示「A為B的充分條件」，而不是「因為A所以B」(「A ├ B」)。1
在「蘊涵」中，前件為「假」，後件無論為「真」還是為「假」，命題都是「真」。
「A ⇒ B」表示「A 是 B 的充分條件」。
所以「當 A 真 時 B 假」(T⇒ F) 這個命題是不成立的。
但這也就是唯一的「命題為假」的情況了，因為「充分條件」不滿足時，A 對 B 沒有約束力(A 不是 B 的必要條件)2，前件為假時，後件無論真假，都是可以的。
就拿 「2=3 ⇒ 1.5 是有理數 (3) 」來說吧，「2=3」 是 「1.5 是有理數 」的充分條件，那麼 「2=3」(F) 和 「1.5 是有理數」(T) 這兩個命題是可以先後發生並同時存在的，因為 「2=3為 F」 這個事實，並不會對後者造成任何干擾。
用一句諺語來說就是「條條大路通羅馬」。
舉一個生活中的例子：新藥上市前要做「雙盲對照實驗」，「對照組」的病人吃的是假藥，但是其中也不乏康復者，這就是 F ⇒ T 的典型案例，是符合邏輯的。
不過這和數學又有什麼關係呢？平常做題的時候會用得到嗎？
蘊含和推出
數學上很多東西就是這樣，看似無用，其實用處大著呢。
翻開一本高等數學的教科書，經常會看到書中把「⇒」叫做「推出」，這麼說也是沒錯的，「├」就是在「⇒」的基礎上加上了「因果」。
「因為 A 所以 B」，A 至少是「充分條件」，所以「⇒」的道理在「├」中完全適用。
「⇒」是比「├」更基本的道理，它和「∨」、「∧」以及「¬」構成了邏輯的地基，支撐了整個數學大廈。
「2=3 ⇒ 1.5 是有理數」為真，挺反常識的，但「2=3 ∨ 1.5 是有理數」大家就都懂了，其實「⇒」與「∧」都是邏輯運算，不包含任何因果的判斷。
計算機裡有「與門」、「或門」和「非門」，同樣的也可以用電路生成「蘊含門」，但是不能用電路生成「推出門」，如果真的能做到，數學家都可以下崗了。
借用一句數學名言：「邏輯運算」是上帝創造的，其餘的都是人工作。
「反證法」是常用的證明技術，它之所以行得通，那要仰仗於「⇒」：想證明 ϕ 為 T，假設 ¬ϕ 為 T，再得到 ¬ϕ ⇒ F，就證明了 ¬ϕ 其實為 F，那麼 ϕ 為T。
喏，這就是「反證法」了。
「⇒」保證了「反證法」是真理，但無法保證你的 「反證」 是真理，那是你的工作。
數學的本質
這東西也能叫數學嗎？！沒錯，這就是數學，數學早就不只是「計算」了：住店的時候，讓服務生給騰個房是數學，那是「希爾伯特旅館」；去格尼斯堡旅遊，不想走冤枉路是數學，那是「格尼斯堡七橋問題」；搬家的時候想選一個沙發，還是數學，你需要知道「沙發常數」。
一種特定的研究之所以被歸類為數學，並不是基於什麼被研究，反倒是基於它如何被研究。
什麼是數學？這基於研究的方法論：
數學是研究模式的科學（science of patterns）。 3
圖自維基
最初，「數學」關注的是「計算」：數學是量的科學 —— 亞里士多德。後來，數學也是關於「幾何」的學問：數學是一門研究現實世界的空間形式和數量關係的科學 —— 恩格斯。
而「希爾伯特旅館」是關於「無窮」和「集合論」的模式，人們發現數學並不只是形狀和數量，還是「A屬於B」這種基本的模式。
在科學中，「實踐是檢驗真理的唯一標準」，而數學卻超脫於科學之上，作為「科學的語言」的數學本身就是「真理」，並不需要實驗來檢驗。
大道至簡，世界是五彩斑斕的圖畫，數學就是背後的素描骨架，寥寥數筆卻決定了世界的形狀。
佛說「色即是空」，永恆不變的東西才是真，數學就是這樣真的東西。對數學家投去尊敬的目光吧，他們研究的是宇宙最基本的真理。
想看透這世間紛紛擾擾，讀數學吧，「如果有人不相信數學是簡單的，那是因為他們沒有意識到人生有多複雜。—— 馮諾依曼」。
想有「真」本事，來學數學吧，翻開上世紀的教科書，科學已滿是謬誤，而數學的真理卻依舊閃耀。
▌註釋
[1] → 、⇒ 、⊃ 經常被混用，在數理邏輯等數學中常用 ⇒ 和 →，非數學邏輯學家(哲學家)常用 → 和 ⊃ ，這篇文章中他們指的都是「實質蘊含」(條件)。至於╞ 和 ├ 還要區分用法，感覺上那都是哲學家的事情。
[2] 如果A 是 B 的 「必要條件」，那麼就意味著，沒了A， B 是真不了的，所以當 「A為假」時對「B」就有約束力了，真值表就要變了。
[3] 提出者是阿爾弗雷德 · 諾斯 · 懷特海（Alfred North Whitehead,1861-1947 年），英裔美籍數學家、哲學家，因其數理邏輯、科學哲學和形而上學方面的成就而聞名於世。這人是伯特蘭 · 羅素的老師。
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