有些數學猜想看起來非常簡單，但至今仍懸而未決。與同樣很“簡單”的哥德巴赫猜想相比，接下來要介紹的四個猜想更具有趣味性，卻幾乎沒什麼“數學性”。
冰雹猜想
又叫角谷猜想，烏拉姆（Ulam)問題，卡蘭茲(CoIlatz)猜想。這個猜想很簡單：
對任意正整數N，按照以下的規律進行變換：
如果是個奇數，則下一步變成3N+1；
如果是個偶數，則下一步變成N/2。
那麼無論N是怎樣一個數字，最終都會得到1並陷入“1-4-2-1”循環。
本人比較喜歡“冰雹猜想”這個名字，因為“冰雹”非常形象地表現了這一過程：冰晶在雲層中上上下下，起起伏伏，但最後總是會變成冰雹落回大地。
冰雹的形成過程
這個猜想看起來非常簡單，到現在卻始終無法證明。主要在於其不可預知性。
有人說，這還不簡單，只要是偶數，一直除以2，不斷縮小，最後總會變成1的呀？問題是偶數除以2還可能是奇數，比如10/2=5，5是奇數，這時候就要乘以3再加1，變成16，相比於10而言是放大了。沒有辦法預知，一個偶數除以2之後得到的是偶數還是奇數。
舉個極端一些的例子：27
對數字27，總共需要進行112步上面的運算，才會變成數字1，隨後陷入“1-4-2-1”循環。這個過程如下:
進行到第76步的時候變成“9232”這麼大的一個數字，然後又迅速減小，再經過幾次起伏之後，才終於變成1。
根本沒辦法預測這樣的上下起伏，冰雹猜想也就一直懸而未決。
小編個人有一個想法：是不是可以反過來，如果能夠證明由“1”，“2”，”4“這四個數，通過逆向運算得到任意正整數，那麼冰雹猜想不就成立了嗎？不過一番嘗試以後也是無奈放棄。
著名天才數學家、菲爾茲獎的獲得者陶哲軒也研究過冰雹猜想，相關文章發表在他的個人博客上。感興趣的朋友可以打開下面的鏈接，看一看他的研究工作：
https://terrytao.wordpress.com/2011/08/25/the-collatz-conjecture-littlewood-offord-theory-and-powers-of-2-and-3/
迴文數猜想
首先介紹一下，所謂迴文數就是指這樣一類正整數，數字正過來和反過來一樣，比如919，12321,478874。
接下來我們做這樣一個遊戲：
任取一個正整數（注意，是任意正整數），然後把它和它的倒序數相加，得到新的數，再不斷進行這個過程，直到得出一個迴文數為止。
舉例：123
123+321=444（迴文數）
一步到位。
再比如：57
57+75=132
132+123=363（迴文數）
兩步到位。
再比如：69
69+96=165
165+561=726
726+627=1353
1353+3531=4884（迴文數）
四步到位。
迴文數猜想說的就是：
對任意一個正整數，是不是總能通過上面的過程得到一個迴文數呢？不限次數。
直覺來看，這個猜想似乎是對的，但皂滑弄人，偏偏有兩個數，人們通過超級計算機已經運算了上萬步，計算到數億位，仍然得不到一個迴文數，這就是
196和277386。人們既不能肯定運算下去永遠得不到迴文數，也不知道需要再運算多少步才能最終得到迴文數。
小編個人也有一個想法：迴文數猜想有可能是錯的。有人可能會想，自然數無窮無盡，人們也就才只找到兩個可能是”反例“的數字，怎麼看都覺得這個猜想是對的呀？其實不少人都忽略了一個事實：如果196不能生成迴文數，那麼196+691=887自然也生成不了迴文數。同理887+788=1675,1675+5761=7436，...他們都不能生成迴文數！每次倒序相加得到的數都比前面一個數大，這個計算可以一直進行下去，換言之，只要存在一個這樣的反例，那麼就存在無窮多個反例！
吉爾佈雷思（Gilbreath)猜想
從小到大依次列出所有的質數：
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …
求出相鄰兩項之
差的絕對值：1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …
再次求出相鄰兩項之差的絕對值：
1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, …
重複以上過程，可依次得到
1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 2, …
有一個很簡單的規律：
每行序列的第一個數都是 1。
某日，數學家 Norman L. Gilbreath 閒得無聊，在餐巾上不斷對質數序列求差，於是發現了上面這個規律。Gilbreath 的兩個學生對前 64 419 行序列進行了檢驗，發現這個規律始終成立。1958 年，Gilbreath 在一個數學交流會上提出了他的發現，Gilbreath 猜想由此誕生。
這個規律如此之強，很少有人認為猜想不成立。1993 年，Andrew Odlyzko對 10 000 000 000 000 以內的質數（也就是 346 065 536 839 行）進行了檢驗，也沒有發現反例。
這一看似簡單的問題，幾十年來也是沒人解決。
辛馬斯特（Singmaster）猜想
下面是一個楊輝三角
顯然，數字 1 出現了無窮多次。
現在問一個簡單的問題：
除了數字 1 以外，哪個數字出現的次數最多？最多出現多少次？
上圖中， 6 出現了 3 次。 此外，10 出現了 4 次， 120 出現了 6 次，這還不算多。
目前已知的出現次數最多的數是 3003 ，它同時等於 C(3003, 1) 、 C(78, 2) 、 C(15, 5) 、 C(14, 6) ，根據對稱性可知，3003在楊輝三角中一共出現了 8 次。
楊輝三角包含無限多的數，有沒有出現次數更多的數，目前仍然是一個未解之謎。
當然，Singmaster猜想要比上面的這個問題更深刻一些，但上面的問題作為其中的一部分，也具有不錯的思考價值。
1.Matrix67 千萬別學數學：最折磨人的數學未解之謎
2.《世界自然與科學未解之謎》
閱讀更多 談數論理 的文章
