因式分解方法步驟:
①如果多項式的各項有公因式,那麼先提公因式;
②如果各項沒有公因式,那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解;
③如果用上述方法不能分解,那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解
④分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。
也可以用一句話來概括:“先看有無公因式,再看能否套公式。十字相乘試一試,分組分解要相對合適。”
十字相乘法
判定定理:若有式子ax2+bx+c,若b2-4ac為完全平方數,則此式可以被十字相乘法分解。
十字相乘法在解題時是一個很好用的方法,也很簡單。
這種方法有兩種情況。
①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是:二次項的係數是1;常數項是兩個數的積;一次項係數是常數項的兩個因數的和。
因此,可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解:
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .
例1:x2-2x-8=(x-4)(x+2)
②kx2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ab,n=cd,且有ad+bc=m時,那麼kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d).
例2:
分解7x^2-19x-6如下:
a=7 b=1 c=2 d=-3
因為 -3×7=-21,1×2=2,且-21+2=-19,所以,原式=(7x+2)(x-3).
與十字相乘法對應的還有雙十字相乘法,也可以學一學。
雙十字相乘法雙十字相乘法屬於因式分解的一類,類似於十字相乘法.
雙十字相乘法就是二元二次六項式,式子如下:
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f
x、y為未知數,其餘都是常數.
用一道例題來說明如何使用。
例:
分解因式:x^2+5xy+6y2+8x+18y+12.
分析:這是一個二次六項式,可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。
解:如圖,把所有的數字交叉相連即可
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6).
雙十字相乘法其步驟為:
①先用十字相乘法分解2次項,如十字相乘圖①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)
②先寫一個字母(如y)的一次係數分數常數項。如十字相乘圖②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)
③再按另一個字母(如x)的一次係數進行檢驗,如十字相乘圖③,這一步不能省,否則容易出錯。
④橫向相加,縱向相乘。
下面我們做幾道例題:
把下列各式分解因式:
(1)x ^4-7x^ 2+6;
(2)x^ 4-5x^ 2-36;
(3)4x ^4-65x^ 2y^ 2+16y^ 4;
(4)a^ 6-7a^ 3b^ 3-8b^ 6;
(5)6a^4-5a ^3-4a^ 2;
(6)4a^ 6-37a^ 4b^ 2+9a^ 2b^ 4.
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