有趣的数学谬论，有几个导致了数学危机

在人们眼里，数学是一门严格、和谐 、精 确 的学科 ，但 是纵 观数学史 ，它的发展却不完全是直线前进式的。由于数学悖论的出现，数学体系曾显露出不严谨的一面，数学的理论也遭到过各种怀疑。

那么悖论到底是怎样的一个角色 呢? 简单地说 ，悖论是指自相矛盾的命题，这个命题中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。我们知道，严格性是数学的主要特点之一 ，因此数学中出现悖论 ，会使人们对数学的可靠性产 生怀 疑 ，导致 对数 学认识 的危机感 。按 照西方 的说法 ，迄 今为止 ，由悖论导致的“数学危机”，在数学发展 史上 出现过三次。

历史上出现过的数学悖论很多，以下是几个有趣的数学悖论：

1.毕达哥拉斯悖论

公元前 6 世纪，在古希腊学术界 占统治地位的是毕达哥拉斯学派，他们倡导 的是一种 被称 为“唯数论 ”的哲 学观点 ，认 为万 物 皆数 ，而数 只有两种 ，就是正整数 和可通约 的数 (即分数 )。然 而 ，毕 达哥拉斯学派 的学生希帕 索斯发现这个论 断存在 问题 。希 帕索斯提 出 了这样 一个 问题 ：边长 为 l 的 正方形 ，其对角线 长度是 多少? 他发现 这一长度 既不能用 整数表示 ，也 不能用 分数表示 ，这在当时的数学界掀起了一场 巨大的风波 ，直接动摇 了人们对毕达哥拉斯学派的信仰。实际上，这一发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对当时所有古希腊人的观念更是个极大的冲击。面对这一“荒谬”的问题 ，人们竟 然 毫无 办法 ，当时 的数 学 界思 想极 度混 乱 ，史 称 “第一 次数学 危机”．

第 一次数学危 机的影 响巨 大的 ， 已推动 了数学及 其相关学 科的发 展。首先，人们开始认识到。除了整数和分数外 ，还有其他的数存在。在许多数学家的研究及努力下 ，无理数诞生了，并且被给予了严格的定 义。同时，数学家们提出 一个包含有理数和无理数的新数类——实数，建立了完整的实数

理论 ，为数 学分析 的发展奠定 了基础 。

2.贝克莱悖论

在17世纪，牛顿和莱布尼兹各自都独立创立了微积分，但是两人对微积分中“无穷小量”的定义不明确，导致了后来的第二次数学危机。

到了1734年，英国大主教贝克莱驳斥微积分理论（本质是反科学），指出了著名的贝克莱悖论，该悖论把当时微积分中最大缺陷暴露了出来：

关于第二次数学危机的解决，直到19世纪后，由众多数学家，比如波尔查、柯西、阿贝尔和康托尔等等，建立了更严密的数学定义后，才得到彻底解决。

3.罗素悖论

大名鼎鼎的罗素悖论（也称理发师悖论），直接导致了第三次数学危机的出现。

19世纪末，第二次数学危机在集合论的完善下得到解决，数学家们“欢欣起舞”。在1900年国际数学家大会上，法国大数学家庞加莱甚至宣称：现在的数学，已经达到了绝对严密的程度！

没想到三年之后，英国数学家、逻辑学家和哲学家——罗素，提出著名的理发师悖论，震惊了整个数学界：

罗素悖论的通俗解释：城市中的所有人，都在一位技艺高超的理发师那刮脸，这位理发师说到：“我只为本城市中，不给自己刮脸的人刮脸”！于是，其他人对理发师说：那么你给自己刮脸吗？

分析：倘若他不给自己刮脸，那么他属于“不给自己刮脸的人”，按照他的说法他就要给自己刮脸；倘若他给自己刮脸，他又属于“给自己刮脸的人”，按照他的说法就不该给自己刮脸。

罗素悖论的出现，说明集合论本身是不完备的；直到1908年，数学家建立起了公理化系统，才让集合论从根本上避免了罗素悖论。

4． 说谎者悖论：

公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特岛的人所说的每一句话都是谎话。”
如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。

5.伽利略悖论

伽利略悖论:我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此DE和BC上的点一样多，也就是DE与BC一样长，与图矛盾。

6.预料不到悖论：

一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。你能说出为什么这场考试无法进行吗？

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