有趣的數學謬論，有幾個導致了數學危機

在人們眼裡，數學是一門嚴格、和諧 、精 確 的學科 ，但 是縱 觀數學史 ，它的發展卻不完全是直線前進式的。由於數學悖論的出現，數學體系曾顯露出不嚴謹的一面，數學的理論也遭到過各種懷疑。

那麼悖論到底是怎樣的一個角色 呢? 簡單地說 ，悖論是指自相矛盾的命題，這個命題中隱含著兩個對立的結論，而這兩個結論都能自圓其說。我們知道，嚴格性是數學的主要特點之一 ，因此數學中出現悖論 ，會使人們對數學的可靠性產 生懷 疑 ，導致 對數 學認識 的危機感 。按 照西方 的說法 ，迄 今為止 ，由悖論導致的“數學危機”，在數學發展 史上 出現過三次。

歷史上出現過的數學悖論很多，以下是幾個有趣的數學悖論：

1.畢達哥拉斯悖論

公元前 6 世紀，在古希臘學術界 佔統治地位的是畢達哥拉斯學派，他們倡導 的是一種 被稱 為“唯數論 ”的哲 學觀點 ，認 為萬 物 皆數 ，而數 只有兩種 ，就是正整數 和可通約 的數 (即分數 )。然 而 ，畢 達哥拉斯學派 的學生希帕 索斯發現這個論 斷存在 問題 。希 帕索斯提 出 了這樣 一個 問題 ：邊長 為 l 的 正方形 ，其對角線 長度是 多少? 他發現 這一長度 既不能用 整數表示 ，也 不能用 分數表示 ，這在當時的數學界掀起了一場 巨大的風波 ，直接動搖 了人們對畢達哥拉斯學派的信仰。實際上，這一發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊，對當時所有古希臘人的觀念更是個極大的衝擊。面對這一“荒謬”的問題 ，人們竟 然 毫無 辦法 ，當時 的數 學 界思 想極 度混 亂 ，史 稱 “第一 次數學 危機”．

第 一次數學危 機的影 響巨 大的 ， 已推動 了數學及 其相關學 科的發 展。首先，人們開始認識到。除了整數和分數外 ，還有其他的數存在。在許多數學家的研究及努力下 ，無理數誕生了，並且被給予了嚴格的定 義。同時，數學家們提出 一個包含有理數和無理數的新數類——實數，建立了完整的實數

理論 ，為數 學分析 的發展奠定 了基礎 。

2.貝克萊悖論

在17世紀，牛頓和萊布尼茲各自都獨立創立了微積分，但是兩人對微積分中“無窮小量”的定義不明確，導致了後來的第二次數學危機。

到了1734年，英國大主教貝克萊駁斥微積分理論（本質是反科學），指出了著名的貝克萊悖論，該悖論把當時微積分中最大缺陷暴露了出來：

關於第二次數學危機的解決，直到19世紀後，由眾多數學家，比如波爾查、柯西、阿貝爾和康托爾等等，建立了更嚴密的數學定義後，才得到徹底解決。

3.羅素悖論

大名鼎鼎的羅素悖論（也稱理髮師悖論），直接導致了第三次數學危機的出現。

19世紀末，第二次數學危機在集合論的完善下得到解決，數學家們“歡欣起舞”。在1900年國際數學家大會上，法國大數學家龐加萊甚至宣稱：現在的數學，已經達到了絕對嚴密的程度！

沒想到三年之後，英國數學家、邏輯學家和哲學家——羅素，提出著名的理髮師悖論，震驚了整個數學界：

羅素悖論的通俗解釋：城市中的所有人，都在一位技藝高超的理髮師那刮臉，這位理髮師說到：“我只為本城市中，不給自己刮臉的人刮臉”！於是，其他人對理髮師說：那麼你給自己刮臉嗎？

分析：倘若他不給自己刮臉，那麼他屬於“不給自己刮臉的人”，按照他的說法他就要給自己刮臉；倘若他給自己刮臉，他又屬於“給自己刮臉的人”，按照他的說法就不該給自己刮臉。

羅素悖論的出現，說明集合論本身是不完備的；直到1908年，數學家建立起了公理化系統，才讓集合論從根本上避免了羅素悖論。

4． 說謊者悖論：

公元前6世紀，古希臘克里特島的哲學家伊壁門尼德斯有如此斷言：“所有克里特島的人所說的每一句話都是謊話。”
如果這句話是真的，那麼也就是說，克里特人伊壁門尼德斯說了一句真話，但是卻與他的真話——所有克里特人所說的每一句話都是謊話——相悖；如果這句話不是真的，也就是說克里特人伊壁門尼德斯說了一句謊話，則真話應是：所有克里特人所說的每一句話都是真話，兩者又相悖。

5.伽利略悖論

伽利略悖論:我們都知道整體大於部分。由線段BC上的點往頂點A連線，每一條線都會與線段DE(D點在AB上,E點在AC上)相交，因此DE和BC上的點一樣多，也就是DE與BC一樣長，與圖矛盾。

6.預料不到悖論：

一位老師宣佈說，在下一星期的五天內（星期一到星期五）的某一天將進行一場考試，但他又告訴班上的同學：“你們無法知道是哪一天，只有到了考試那天的早上八點鐘才通知你們下午一點鐘考。你能說出為什麼這場考試無法進行嗎？

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關鍵字: 集合論 歷史