作者簡介：羅懋康，中國數學會副理事長、國際模糊系統協會副主席、教育部長江學者特聘教授、國家傑出青年基金獲得者、四川大學教授。
我們不是要給大家講多麼高深的數學理論，而是像標題一樣，解答很多同學關心的數學是什麼的問題。
我們今天主要講6個方面的內容，首先是數學應該是什麼，知道了原因後呢，作為我們學數學的人來講就是學了數學幹什麼；要幹什麼就要知道她的優劣，她的長短；然後回到現在，我們目前怎麼學數學；最後，談談將來怎樣用數學。
一、數學應該是什麼？
第一個問題，為什麼不說數學是什麼，而說數學應該是什麼呢。大家思考一下，這兩個問題含義是不同的。如果是問題是"數學是什麼"，那我今天就要給大家一個定義。但問題是，沒有一個公認的數學的定義，也難以給出一個公認的定義。所以我們只能問"數學應該是什麼"，這裡"應該"就是一個主觀的概念，就是說從我們的角度，我們的需要來說，數學應該是什麼。所以我們從自己的需要出發，探尋數學應該是什麼，但不回答數學是什麼。
數學至少應該具有以下四個功用：她是知識，她是方法，她是藝術，她是樂趣。我們一一來看。
首先，她是知識。那什麼又是知識呢？我們可以這樣概括來說，知識，是對思維對象或行為對象的性質或規律的認識或經驗。當然對知識有一些要求，主要包括兩個方面。第一個方面，它描述某種思維框架的內涵。這個要求，它自身的唯一標準就是邏輯自洽，就是不要自相矛盾。典型的實例，純粹數學，智力遊戲，思維方式。第二個方面，是描述或作用某些客觀實際。這個方面的知識就比第一個方面多了一個要求，除了邏輯自洽，還要求符合實際。典型實例是工程技術，社會科學，軍事科技。在這些領域，說的通俗點，僅僅要求知識能自圓其說是不夠的，必須還要符合實際，否則要出問題，甚至是致命的後果。好了，由此就產生了一個問題，有沒有符合實際卻又不邏輯自洽的知識呢？有這樣一些例子，但這些例子從不同的層次來看，其本身仍然必須是邏輯自洽的。你比如說工程中對δ函數的定義和使用。δ函數是說在整個數軸上除一點以外，函數值都為0，在這一點函數值定義為無窮，而函數在整個數軸上的積分等於1。這個在邏輯上顯然不自洽，當工程中就這麼用它，就是符合實際。因此δ函數表面的邏輯不自洽只是因為我們站的層次還不夠，如果我們站在廣義函數的角度來看，或者說，我們從極限的角度來理解它，它又是自洽的。所以說任何知識首先的一個要求就是邏輯自洽，如果一種知識連自圓其說都做不到，恐怕下面的事情就比較難辦。原因又何在呢？就是因為邏輯是正確有效的進行理性思維的最基本的規則。如果不合邏輯就意味著你在某些方面一定會出問題。那這裡面就又有一個問題，所謂原因的原因，為什麼邏輯就對呢？邏輯的對就好像我們數學裡的公理一樣，是人類幾千年的實踐所證明了的。實際上，邏輯是人類幾千年符合實踐的經驗的總結，最終被亞里士多德提出。
那麼數學之於邏輯又是什麼關係呢？在數學當中邏輯最基本的表現就是公理，在形式邏輯中，形式邏輯的數學表達就是數理邏輯。在形式邏輯中，最基本的就是以下一些規律：同一律，矛盾率，排中率，充足理由率，以及充足理由率的反面，因果律。同一律的意義是說一個命題的性質在整個論證過程中必須保持穩定，不能開始是張三，後面變成李四了；矛盾率當然就是不能自相矛盾；排中率就是說性質或者範疇的劃分必須明確；充足理由率就是說前提必須成立，並且前提要包含結論，因果律呢，就是把這個反過來，每一個結論必須有一個前提。我們日常生活中有很多不確定性，而不確定性是對確定性的否定，確定性又是由這幾條規律構成的，因此對這幾條規律的否定就構成了不確定性。那麼，這幾條和起來構成確定性，所以只要否定其中的一條，就構成了某種不確定性。因此，我們有五種基本的不確定性，隨機性，模糊性，不穩定性，不完全性，不一致性，它們分別是因果律，排中率，同一律，充足理由率以及矛盾率的否定。由此我們看到邏輯以及邏輯中的數學表現看出，數學思維以及對於我們現實當中的需要進行理性思考的問題是如此紛繁複雜，所以數學上僅僅有了公理，邏輯上僅僅有了對於確定性認識的規律，那還是遠遠不夠的。因此，從數學這個角度，我們就從公理推出了浩瀚的數學結構。從一開始我們就講，對於我們來說，數學應該是什麼，那麼現在我們可以回答說，數學就是針對結構、關係及其變化細化後的邏輯。因此數學能給我們關於理性思維所必需的關於對象的結構、結構及其變化的最基本的知識--基本保障。這一條可以說是最重要的。除去少部分準備以數學研究作為終身事業的同學以外，絕大多數同學將來多多少少要接觸和用到數學以外的很多知識，而對於這些同學，數學知識本身還不是最重要的，數學的思維對大家大幫助會更大。這點我們稍後還會提到。不僅如此，很多問題中對結構、關係及其變化的把握不僅構成必要條件，也幾乎構成充分條件。這個大家將來會有越來越深的體會，數學的思維方法運用好了，可以放到其他領域，包括人文社科，工程技術，甚至包括處理人際關係。
接著看方法，方法和知識是兩個不同的範疇。我們來看數學能給我們提供哪些方法。我們希望這裡的方法能有一些自由度。如果這些方法可以用在數學裡面，當然它很有用，但倘若換到了其他領域，就沒有了用武之地，那效用總感覺沒有完全發揮。所以我們考慮方法的話，更多的還是考慮它的普適性，從這個角度入手。數學當然給我們提供了處理對象的結構、關係及其變化規律的方法，但還不僅如此，當我們進行理性思維時，提煉最主要的性質和關係，暫時排除冗餘信息，顯然是提高思維效率的必要方式。因為我們如果要考慮結構、關係及其變化，第一步就是提煉。比如問你2個蘋果加上2個梨子是幾個水果，一種方法就是背下來，哦，2個蘋果加上2個梨子是4個水果，另一種方法就是提煉，提煉的結果就是"加法"，提煉出來的東西是什麼，這就是關係。所以我們要利用數學中的思維方法的話，第一步就是提煉。同時，數學還給我們提供了提高理性思維效率的模式和方法。比如說，微積分給我們提供了這樣一個思維模式，他考慮的是局部和整體，有限和無限間的變化關係。我常給我的研究生說，當你拿到一個對立的問題，你能在兩個矛盾的對立面間自由轉換，從一個概念連續地、無限階可微地轉化到另一個概念，那你的思維靈活性就夠了。局部與整體，有限和無限就是這樣的範疇。再像抽象代數告訴我們的是個體之間結合對應等運算關係確定的結構。幾何呢，告訴我們曲率、度量、連通等內蘊性質確定的結構。
下面我們舉個例子，看看從數學思維可以推導出什麼樣的思維方法。比如我們免不了都要進行抽象，那抽象到什麼程度才算對呢。比如我們提出兩類抽象的準則。第一類是正確抽象準則：一個概念或對象對一類現實背景的抽象是正確的，如果該類現實背景總是可以（定性的或定量的）無限逼近改概念或模型。這個是正確的，那正確的又是不是完備的呢，也就是說是不是把該抽象的都包含在裡面了呢，這就是下面完備抽象準則：一個概念或模型對一類現實背景的抽象是完備的，如果該類現實對象的總體總是（定性的或者定量的）無限逼近該模型或概念。這就給咱們判斷一個抽象是否正確，是否完備的一個判別準則。那麼這個準則也就是咱們數學衍生出來的思想方法的實例之一。
再比如說極端性命題，在社會現實生活中，任何具有傾向性的言論或行為T（注意，這已經超出了數學的範疇），對於其傾向的極端P，均有P的領域U，使得T進入U之後，T的正確性不再成立。這樣說是為了嚴格，也是為了靠近數學的表達方式。其實很簡單的說，社會上一些言論、行為、思想，倘若到了極端的程度，你不用細分析它，它一定有問題。隨便哪個極端，無論是極左還是極右。由此也就有了極端性命題的推論，也就是適度性推論：現實社會中，任何具有傾向性的言論或行為的正確性只能在其正反極端之間一個範圍更小的區域中成立。有同學可能會聯想到中庸之道，注意，兩者的定位不同。這裡我們是把它作為一個方法來用，而中庸之道是作為一種行為準則。又比如說萬有性命題：社會現實中，對於任何具有傾向性的言論或行為或事件，對於與之相關的任何一方，都存在使之向於自己有利的方向解釋或發展的可操作、可實現方法。這個思想方法又能帶給我們什麼呢？有同學可能會想到代數大定理一樣，只是一個存在性定理，一元n次方程總有解，你又不告訴我解在哪。但是注意，有沒有解就能給你去尋找解的信心，不然連有沒有解都不知道很可能做到一半就沒有信心了。而確定了有解，則給了我們找到解的信心，從而去尋找並找到解。這些都是從數學的思想方法都到的。又比如絕對性定理：任何一個基於或對於個體人的社會屬性的全稱命題都不能絕對成立。
我舉個例子說，比如"人不為己，天誅地滅"，這裡的人是指基於一定社會屬性的人的全體，是全稱命題，那這個肯定有問題，又比如說類似的"人皆向善"，就一定也有問題。因此就有一個絕對性推論：任何一個基於或對於個體人的社會屬性的全稱命題都存在反例。那同學要問了，這個有什麼用呢？我舉個例子，你面對一個群體，現在要下一個判斷，這個判斷決定著你的決策。如果沒有這些思想方法，你從"人不為己，天誅地滅"這些觀點出發，推演你的結論，那你就等著倒黴吧。再像道德性命題：賦以道德品性序的社會成員個體的集合在任何時候都呈正態分佈。這個也是數學思想方法在現實中的應用，任何一個社會，在它的道德標準下進行量化排序後一定是正態分佈的。以及後面的利害性推論：全稱命題"人不為己，天誅地滅"、"人都是自私的"、"人為財死，鳥為食亡"、"人的行為都由其自身利益驅動"、"人性本惡"及其等價命題在任何時候都存在反例。我剛才已經說了，這些是存在性命題，它只告訴你存在反例，沒有告訴你怎要找反例，但是如果你不知道存在反例，而去做決策，那麼恐怕就要犯很大的錯誤。而有了這些命題，你就會知道對於具體問題，你會一個個人的具體分析，而不會一概而論。
數學第三方面的功用是藝術。先來看看什麼是藝術。這裡需要提醒的是，我在這個所做的很多定義其實都是根據數學思維進行的定義。通過這些定義也是來告訴大家怎樣廣泛而靈活的運用數學思維。倘若你之前沒有看過藝術的定義，那麼你能從邏輯或者說數學思維的角度自己給一個定義嗎？我們來看，所謂藝術，就是為人們所需（理性）或所悅（感性）的某一方面能力的具有獨創性、難以重複的極致表現。下面就舉幾個例子。
比如下面的西施，女媧，拉奧孔，米洛的維納斯等。還有比如戰爭，注意，戰爭也是一門藝術。比如長勺之戰，赤壁之戰，淝水之戰。其中淝水很有意思，它給我們提供了三個成語：投鞭斷流，草木皆兵，風聲鶴唳。又比如說毛澤東主席的四渡赤水，淮海戰役。注意，各個國家的軍事教科書中，淮海戰役都是被列為以少勝多的經典戰役。還有朝鮮戰爭第二次戰役。我不清楚大家對這段歷史熟不熟悉。順便說一下，近年來有一股風氣，就是對過去的一切東西，都進行詆譭式的攻擊。我不敢肯定這個是有組織的，但至少是有害的。我們來看看數據，這個可不是我說的，是美國自己的朝鮮戰爭紀念碑上刻的，就在華盛頓。
美國的朝鮮戰爭紀念碑：
美軍＋聯軍（不含美軍）：死亡、失蹤－1,161,523
美軍＋聯軍（不含美軍）：負傷－1,167,737
美軍＋聯軍（不含美軍）：戰鬥損失－2,329,260
他上面寫的是死亡和失蹤，但大家想想在朝鮮那個地方仗打完了，人找不到，基本上就等同於死亡。在這些人員損失中，聯合國軍方面承認由志願軍造成的損失將近2/3；因此，志願軍以39萬餘人的總損失，對敵人造成的60餘萬人的死亡、失蹤損失，總計殲敵則在140萬人以上！）。我們回頭再來定義戰爭的勝負，單從人員的傷亡情況看，誰贏誰輸已經很清楚了。我們現在來定義戰爭的勝利，如果一方的戰爭目的在他可以接受的代價下達到了，那就叫取得了戰爭的勝利。美國的目的是打掉金日成，而我們最開始沒想到能打到三八線。只是希望能在鴨綠江邊給朝鮮留塊地方，實在不行就退到中國建立流亡政府。而下面這句是美國人自己說的，志願軍的戰鬥始與鴨綠江，止與三八線，誰勝誰負大家心裡很明白。在比如說馬拉松戰役，大家應該看過《斯巴達的三百勇士》，至少盜版嘛。還有坎尼之戰（公元前3世紀布匿戰爭，漢尼拔，迦太基，全殲羅馬軍團，羅馬統帥、執政官瓦羅率370人逃脫，7萬人被殺；10萬士兵，翻越比利牛斯山脈，深入羅馬境內作戰13年！"費邊主義")。以及著名的奧斯特里茨戰役（拿破崙大破俄奧聯軍）。
數學作為藝術，是指其對人類抽象思維能力的具有獨創性、難以重複的極致表現。比如大家都非常熟悉的Fermat大定理。 多麼漂亮，但是整整358年，它耗盡了全世界無數專業和業餘數學家畢生的心血。還有像龐卡萊猜想：單連通3維閉流形同胚於3維球面。也是前年才完成證明。還有四色定理：1852，倫敦的大學生Francis Guthrie向老師Morgen提出。1976，美國伊利諾斯大學Kenneth Appel和Wolfgang Haken用電子計算機證明"四色問題"。將四色問題轉化為2000個特殊圖形的四色問題，然後在電子計算機上計算1200個小時，完成上百億次判斷。這些大家都是比較熟悉的。數學的第四個功用是樂趣。數學（主要是純數學）作為幾乎完全依賴於純粹的抽象思維的體系（更為抽象的哲學尚有部分"符合實際"的要求），有著非常純粹的結構美--像黎曼ζ函數——將無窮乘積和無窮和進行轉換，這樣的一種結構美。此外，人都希望自己聰明；而數學這種思維的純粹很符合人們心目中"檢驗、提高聰明程度"的印象，因此，思考數學問題也是一種樂趣。我能思考你不能，這樣有一種滿足感。
二、學了數學幹什麼？
這是一個很實際的問題。因為大家將來要就業啊，所以我們看看學了數學可以幹什麼。
1. 認識理性思維與客觀世界在結構、關係及其變化層次上的規律，歸結起來就是增長知識。
有同學會問，數學作為知識，為什麼獨獨不需要實際的檢驗？如此，數學豈不就是數學家心靈的自由創造物了嗎？可與此矛盾的是，已有的無數事實證明了數學對科學技術的重大推動，對自然規律的深刻揭示。這裡的原因何在呢？其實無論數學的結構如何令人頭暈目眩，都是建立在邏輯的基礎上。而邏輯是人類數千年曆史中已無數次驗證過的對客觀世界進行思考的正確方法和理論，反映了客觀世界最基本的關係、最本質的內在結構。數學建立在這一客觀現實意義非常明顯的規則基礎上，由此進行演繹，其過程無論多麼抽象深奧，其結果與現實需要的距離無論多麼遙遠，但由於實際上這一切都是包含在最初的規則之中的，因而也仍然是某種客觀存在(儘管可能是某種非常抽象的存在)的形式反映。數學所反映的並不一定是什麼具體的物理性質，化學性質，但她反映出的是結構、關係、變化。這樣，數學實際上也就在本質上具有了客觀性。
我們再仔細分析一下。數學要告訴我們的是"若如何，則如何"，也就是if……then……向我們保證在前提符合要求的情況下，一定會有怎樣的結果發生。這種保證的客觀正確性由邏輯的客觀正確性保證。但請注意，這裡並沒有保證前提的存在性，也正因為如此，數學才有了可以不聯繫實際的可能。這種保證的客觀正確性由邏輯的客觀正確性保證。至於前提是否現實存在，不屬數學的關心職責，那是物理學家，工程師的責任，是生命學家，醫學家的責任；數學只負責保證（儘量窮盡）所有這種結構、關係及其變化方面的因果關係。因此，數學告訴我們的是一種客觀規律，儘管可能不是已經在現實中表現出來，而只是已經先驗地存在、但隨時可能以某種現實的形式實現的客觀規律。這也就是為什麼數學家的工作不能叫發明、只能叫發現的原因。這也就是為什麼數學具有別的學科都不具有的一個非常特殊的性質：任何結果只要被自己證明，便永遠正確。當然我們這裡不包括證錯了的情況。
2. 研究、發展數學這門學科本身--基礎數學與應用數學研究。
數學的這種用途毋庸多言；這既是一種理想、一種事業，你要吃飯，當然也是一種職業。只是，鑑於應用數學研究脫離應用實際的情況，仍然有必要重申。這裡說明一下，隨時代的不同情況也不同。解放初期，那是非常聯繫實際以至到了一個極端。一方面是排斥基礎理論的研究，一個方面就是應用的庸俗化，有的走向了極端。比如說我每天倒垃圾之前要考慮一下怎麼倒最好。但我馬上就要用數學思維把這個反過來，假如我是一個專門倒垃圾的工人，那我就要考慮怎麼倒效率最高。
經過文革，人們思想一震盪，結果走向了另一個極端，"萬般皆下品，唯有理論高"，搞理論研究的揚眉吐氣，你要是一搞應用的，你都不好意思跟人打招呼。北航的副校長曾說，中國沒有應用數學，倒不是說應用數學裡沒有數學，主要是沒有應用。國家基金委曾開會討論過應用數學到底是文獻驅動還是問題驅動，我當時也參加了，也作了報告。文革後，國內主要是文獻驅動，查各種文獻，看哪還有遺留的問題，補充完整，哪的證明還不夠清楚，幫著寫清楚。其實，搞應用數學的，應該是問題驅動，從實際中來，回到實際中去。與基礎數學（純粹數學）不同，應用數學的職責主要是關注應用實際中產生的數學問題，並最終必須回到應用實際中。
3. 運用數學解決各種具體的實際問題--工程技術、經濟金融、商業貿易、軍事科技……
這個方面也不會有什麼疑問，誰都知道數學作為工具與方法有及其廣泛的應用。你去菜場買菜其實都在應用數學。
但是，需要注意的是：單靠數學本身，不能保證你在應用領域一定擁有優勢，它提供給你的僅僅是擁有優勢的可能性，這種可能性還須依靠你對該領域主要所需知識和思維能力有不弱於其非數學專業人員的掌握，才能成為現實性。
4. 基於數學發展自己更廣泛的思維能力--數學化的邏輯思維。
這一點在前面"數學的'方法'功用"和"'知識'功用"中已有敘述；這裡再作示例。
比如我們來定義什麼是"思維"。定義的方式有什麼種，比如從內涵外延角度等，這裡我們用用數學化邏輯方法來定義。首先思維是系統的過程，思維是建立關係的系統過程，思維是建立並不現成的關係的系統過程，思維是建立並不現成的從已有信息或激勵到所作結論或反應之間的關係的系統過程。這就是利用數學邏輯來定義思維，就像一句成語講得，條分縷析。
三、數學之長是什麼？
既然已知數學的特點就是自洽的抽象邏輯思維，那麼數學之長也就已經可以推知：
數學有助於理性的、抽象的、嚴密的、邏輯的思維，有助於摒棄冗餘的信息、把握問題的本質，能最大程度地保證在分析、演繹的"過程"階段不出錯誤，有助於提煉觀點、結論、思路和方法。注意，數學僅僅保證過程不出錯，不保證起點和終點。和此相關的是動機，手段，目的，數學不能保證你的動機和目的是否正確，她只是提供正確的手段。
經過合格的數學訓練，思路容易清晰化、條理化、嚴密化，在各種邏輯可能能夠窮盡的情況下做到"算無遺策"。
四、數學之短是什麼？
剛才給大家鼓舞了信心，現在再來打擊一下。嚴格地說，這裡要討論的"短"並非"數學之短"，而是"學了數學的人易有之短"。一個技能和掌握這個技能的人是有區別的。好比一個人練少林拳輸給了一個練八卦掌的，你不能說少林拳不如八卦掌，你只能說這個練少林拳的人不如那個練八卦掌的人。因為，這些方面非數學所應負責。
實際情況中所需要的思維特性，除了嚴密、精確、深入外，同樣需要靈活、容差、廣泛；而這些，是數學（經典數學）本身並不能直接提供給我們的。例如：工程技術，經濟貿易，軍事對抗（戰場反應、作戰指揮），政治決策，行政領導……這些方面都需要靈活、容差、廣泛，而這是數學不能直接提供的。
這些方面，最好是同時具有兩種類型的思維能力：嚴密、精確、深入；靈活、容差、廣泛。有的同學說，這也太強人所難了吧。如果不能，靈活、容差、廣泛的思維在這些方面往往更為重要。學了數學的人，有時容易陷入一個思維誤區：感覺其他需要思維的事情也都可以用數學般嚴密的邏輯分析解決，原因就在於沒注意到：無論是"思維"本身還是實際情況對"思維"的要求，都並不限於"邏輯思維"，更不限於"嚴密思維"、"深入思維"！也就是說數學遠遠不能包打天下。
五、現在怎樣學數學？
相信這是大家現在最為關心的問題。
這個問題的回答首先需要確定自己的目標。確定目標這又是一個思想方法。大體上說，我們日常生活中有兩種思維方式，一是從現有條件出發，推導達到的目標；一是反過來從目標出發，倒推需要的條件。不能說孰優孰劣，但在以靈活、容差、廣泛為主的現實生活中，後者往往效率更高。
我們現在就來確定一下目標：
1. 研究數學本身；
2.以數學為工具、方法研究其他學科；
3.以數學為工具、方法解決實際問題；
4.以數學為基礎、為手段，提高自己全面的、一般性的思維能力。
本來，邏輯上還應有"享受數學"這一可能性，不過，猜想大家現在還不會將它作為目標選項，至少這種可能性還實在太小。
1.研究數學本身
對於這個目標，學習階段要做到：多作練習，這是起碼的；換位思考，做到就是良好，就像看到一個定理，可以聯想到作者為什麼要寫這個定理；強制提煉，這個就是優秀了，就是說除了書上的方法，你可以發現更好的；橫向聯繫，到了這一步，就不再侷限在數學本身，而是可能理工文各項綜合聯繫，屬於傑出範疇了。
純數學是最純粹的科學理論研究（姑且如此歸類），因此，這方面學習對思維的要求也很純粹：初期階段：技能熟練，理解透徹；後期階段：把握本質，洞察深遠。
2.以數學為工具、方法研究其他學科
這個目標主要是指進行其他科學、技術學科的理論性方面的研究。
由於科學、技術學科的理論性方面的研究對思維的要求仍然首重邏輯嚴密，因此，對於前面的數學學科之間的"橫向聯繫"與思維的"洞察深遠"的要求，可以適度降低，以節省出來的精力加強"提煉本質"的能力。這裡，提煉顯得尤為重要，它可以使你認清本質，少走彎路，而不是隻見樹木，不見森林。
3.以數學為工具、方法解決實際問題
這個目標對數學深入性的要求可以更低一些；但若希望成就突出，對"強制提煉"和"把握本質"的要求仍不能降低，因為，這兩方面素質是保證你勝過你要進入的其他專業領域的專業人員的必要條件。如果一個人在一個領域呆的太久，往往容易陷入一些瑣碎的細節。
不僅如此，還需要同時有意識加強自己思維的靈活性、容錯性和廣泛性的鍛鍊，這是保證"不負於"他們的必要條件。如果可能，最好還涉獵一些相關的知識、技能，熟悉一下相關的思維方式。如此，可以做到"後發先至"、"事半功倍"。做到這些，你就會發現數學使你具有了在非數學專業領域勝過專業人員的良好可能性。
4.以數學為基礎、為手段，提高自己全面的、一般性的思維能力
對於這樣的目標，相信擁有者不會太多。主要是管理者和專門研究思維方法的人。
不過，如果目標是這樣，對數學的學習就只須有"邏輯嚴密"、"提煉本質"這兩條了，而把節省下來的時間、精力用於全面提高自己知識、技能和靈活、廣泛的思維能力，特別注意加強歸納、概括、綜合、提煉的能力，最好還經常進行"細化"、"實現"的訓練。
我們再舉個例子。比如說學科：針對某一類對象，研究其性質、規律及其應用。
純粹數學與其他學科的差別：純粹數學是唯一其要求僅為"邏輯自洽"的學科，其他學科除了"邏輯自洽"外，均還有"符合實際"的要求。典型對比：純粹數學與工程技術。純粹數學要求的是發現而且是要求所有各步形式上完全正確的對已經先驗存在的過程的發現, 是通過找路達到終點, 各步必須是串聯的關係。工程技術要求的是創造而且是要求最後一步實質上基本正確的對尚未現實存在的結果的創造, 是通過修路達到終點, 各步可以是混聯的關係。這個差別決定了： 純粹數學只能"嚴密、深入地發現過程"， 工程技術則可"靈活、廣泛地創造結果"。
由此，類似可有思想方法上的差別：中西方習慣性思想蘊涵的方法論，及其在研究工作中的應用：
前者 - 提綱挈領（關鍵）， 後者 - 洞燭幽微（細節）；
前者 - 究其大略（整體）， 後者 - 條理分明（清晰）；前者 - 隨機應變（靈活）， 後者 - 按部就班（規範）。
前者 － 目標導向構成的系統 － 衝激響應 － 關係總和 － 行為決定,
後者 － 過程導向構成的系統 － 運行機制 － 對象剖分 － 內因決定；
前者：多從戰略層面考慮目標，然後為此不加任何任何先決約束靈活多變地尋找條件、創造條件、運用條件指向目標；多由目標確定條件；方法、過程往往巧妙，但也往往缺乏普適性，難以複製；
後者：多從戰術層面考慮目標，然後為此儘可能從物質力量和技術力量方面尋找條件、創造條件、運用條件指向目標；多由條件確定目標；方法、過程往往繁雜，但也往往更具普適性，便於複製。
六、將來怎樣學數學？
事實上，關於這一點，通過前面的討論，應該已經可以有結論。數學專業的就是前面所說的。非數學專業：以自己數學知識、特別是數學思維之長，補自己非數學知識、非數學思維之短，並以之勝過其他非數學專業人員。要麼同樣讀書學習，和別人學的一樣多，再者就是利用思維方法優勢。前提條件：相關主要知識、技能不能弱於他人。
基於相應領域主要知識和思維方式，學了數學後將為你帶來直接優勢的工作領域：計算機，信息安全，通信，雷達，電子，光電，電氣，機械，物理，哲學，經濟，金融，商貿，社會學，管理……
帶來間接優勢的工作領域：化學，材料，教育，心理，法學（廣義），歷史，語言……
帶來潛在優勢的工作領域：政治，軍事，行政，新聞，文學，美術，音樂……
最後想告訴大家，無論你將來從事什麼，數學，將給你獲勝的優勢！
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