02.27 我們怎麼解方程之三——終極答案在群論裡

解方程的理論，發展到伽羅瓦這裡，歷經兩百五十多年的難題才被徹底解決，不但這個難題被解決，群論這一偉大的工具也逐漸在數學乃至各個領域內普及開來，群論也成為近代數學的一個堅實的基礎。

曠世天才 伽羅瓦

寫這篇文章之前，我諮詢過不少專業數學界的人士，他們有的是重點高校的數學系研究生，當我問到他們對於群論的看法，他們無一不對群論保持著深深的敬畏，這是一門偉大的學問，也是一門太艱深的理論。當我又試探性地問到他們對於群論瞭解多少時，他們的反應又出奇一致，他們的回答是僅僅是知道而已，因為要想深入瞭解群論，你必須做好各種各樣的理論儲備。線性空間，線性變換，歐幾里得空間，酉空間，辛空間等，要對抽象代數有一定的瞭解才可以窺探其一點點的精義。對於我這樣一個不是數學系出身的人，去詳細完整地描述群論自然就是一個不可能完成的任務了。於是，我決定簡單介紹一下五次方程沒有根式解的解決路線。

先來看一下二次方程的根式解公式有什麼特點。

二次方程根式解法

有人說，用這個公式太麻煩了，有些二次方程明明就可以通過因式分解的方式來搞定的。說的不錯，但是也僅限於一些根式有理數的情況，那要是這樣的二次方程呢？

恐怕就不是那麼顯而易見了吧。我們也能看出來，如果根是有理數，那麼我們只要通過對係數的加減乘除就可以得到最後的答案，如果根是無理數，顯然只做加減乘除的話，就達不到目的了。因為公式裡的那個大大的根號，一不小心就會產生一個二次開方後的無理數。因此，我們必須對根式的範圍，也叫域，進行擴充，我們把二次開方之後的無理數加進去，有的人說，那萬一這個判別式小於0怎麼辦？那不是沒有解了麼，說的很對，我們最後還要加一個虛數單位i才行，只有這樣，在任何情況下，二次方程都是有解的。

三次方程根式解法

那麼再看三次方程的根，如果還執迷於二次開方的無理數那也就滿不了需求了，我們必須又要開拓一次數域，我們引入三次根式。依次類推，我們在四次方程裡同樣採取了這樣的方式也獲得了成功。四次方程根式解法實在太過恐怖，篇幅長到難以想象，這裡就不列了。可能正是由於次數每增加一次，根式解法的複雜性都要增加上百倍，所以到了五次方程這裡，上帝覺得太麻煩了，乾脆就不給五次方程根式解法了。呵呵，算是我的想象力吧。。。

每一次方程次數的提高，對應的都是域的擴充，如果這樣的擴展能夠與方程次數做到一一對應，那麼我們就可以用根式來表示最後的解。於是，如果五次方程可以通過開方擴大的範圍，不在五次方程根的域內，也就意味著五次方程沒有求根公式。

計算機求五次方程的根近似值

鑑於人們之前獲得了那麼多成功的案例，自然也希望在五次方程上獲得一樣滿意的答案。伽羅瓦卻告訴我們，往往這是根本做不到的。

伽羅瓦建立的理論中，最核心的部分是把域和群對應起來，當我們研究域的問題時，可以轉而研究對應的群，二者之間可以來回切換，使得這兩門優美的數學語言之間等價。

群構造

前面分析了，人們可以一步一步去擴大的域的範圍，那麼也就是一點點改變了群的內容，隨著次數的提高，我們可以想象群之間總會出現父子之間的關係，就相當於前一種群變換完全包含了後一種。假如五次方程有根式解，那麼就會出現下面的正規子群鏈：

G₁=S₁←G₂←G₃←G₄←G₅，S₁是一階子群，類似於數域裡的單位1.

而實際上，S₅至多可以寫成：G₁=S₁←A₅←S₅,,也就是說，五次方程根所在的域是不能通過根式擴展的方式得到，於是五次方程就不存在根式和加減乘除組合的解法了。

在數學上很多問題人們苦思已久卻還是得不到解答的時候，有些人便不再執著於之前的野蠻方法了，他們會另闢蹊徑，從另外一個角度去考慮問題。就像五次方程解法的研究歷程一樣，人們很久都得不到解法。不是說人們的方法有問題，而是本來這個解法就是不存在的，於是乎，人們轉而開始證明不存在解法的過程中來，並最終圓滿地解決了這個問題。

相對論的數學基礎之一——群論

20世紀初，愛因斯坦在群論裡為廣義相對論找到了數學基礎，懷爾斯當年為了證明費馬大定理，花費了整個十八個月時間來熟悉群論的相關內容！伽羅瓦的理論是如此閃耀，即使在現代數學高度豐富的時代，也都是高深莫測的數學工具，更別說在19世紀初了，難怪這套驚世理論沒有能在那個時代就發揚光大。畢竟這套理論超越那個時代太久了，為什麼柯西，高斯，傅里葉都連續錯過了伽羅瓦的論文，真的很有可能就是縱然以上數學大師也都是看不明白的，他們都看不明白，自然也就意識不到論文的價值。

費馬大定理的終結者 懷爾斯

群也是數學上最重要的概念之一，極為抽象的表達卻蘊含著無窮無盡的奧妙。人們總是能在各個領域去找到應用的場景。