“以實代虛”數學解題方法第二課學習，小學非常實用的數學方法
大家好我是小梁老師，這節課我們繼續來學習“以實代虛”這一解題方法，還沒有學會的同學，儘快學起來。本節課內容接上一課。
【例6】下圖中陰影部分面積佔正方形面積的幾分之幾(A、B位於所在邊的三等分點上)?
解題分析：為了推算方便，我們假定正方形的邊長為6釐米(也可以假定為其他數)，中間陰影部分的面積就可以從正方形面積中減去周圍三個空白三角形的面積。列式如下：
1.陰影面積：
6×6－6×2÷2－4×2÷2－6×4÷2
＝36－6－4－12
＝14(平方釐米)
2.正方形面積：
6×6＝36(平方釐米)
3.佔幾分之幾?
14÷36=7/18
答：陰影面積佔正方形的7/18。
【例7】甲、乙兩所小學，甲校的人數相當於乙校的40％，甲校有女生30％，乙校有男生42％。求甲乙兩校的女生佔兩校總人數的百分之幾?
解題分析：在這道題目中有甲、乙兩所學校，各校又分別有男生和女生。題目雖然給了三個百分數，但這三個百分數互不相連，便使問題變得更加抽象、複雜。解答這道抽象問題的一個巧妙方法就是假定具體人數。
由“甲校的人數相當於乙校的40％”，我們假定乙校的學生數為100人，甲校的學生數則為40人(100×40％)。然後依據這兩個“具體人數”去逐一推算當然就不困難了：
1.甲校的女生人數：
40×30％＝12(人)
2.乙校的女生人數：
100×(1-42％)＝58(人)
3.兩校女生一共多少人?
12+58＝70(人)
4.兩校女生共佔百分之幾?
70÷(100+40)=50%
答：兩校女生佔總人數的50％。
(請同學們想一想，如果改動一下假定的數據：假定乙校有200人或500人等，會不會影響最後的答案呢?請大家試一試。)
【例8】足球賽門票15元一張，降價後觀眾增加了一半，收入增加了五分之ー。算一算門票降價多少元?
解題分析：假定原來的觀眾是100人，總收入剛為1500元(15×100)。降價後“觀眾增加了ー半”，則為150人(100+100×1/2)；總收入“增加了五分之一”，則為1500+1500×1/5＝1800(元)。
有了以上這些具體的數據再來推算門票，“降價多少元”就毫不困難了。列式為：
先算新的門票價：
1800÷150＝12(元)
再求降價多少：
15－12＝3(元)
【例9】有兩包糖，每包糖內都有奶糖、水果糖和巧克力糖。
A.第一包糖的粒數是第二包糖的2/3；
B.第一包糖中的奶糖佔25％，第二包糖中的水果糖佔50％；
C.巧克力糖在第一包糖中所佔的百分比是在第二包糖中所佔百分比的兩倍；當將這兩包糖合在一起時，巧克力糖佔28％，那麼，水果糖所佔的百分比是多少呢?
解題分析：假定第一包糖是20粒，第二包糖則為30粒(依據題目中的第一個條件)；進而利用這兩個具體數推算出：
第一包糖中有奶糖20x25％＝5(粒)；
第二包糖中有水果糖30×50％＝15(粒)；
兩包糖中共有巧克力：(20+30)×28％＝14(粒)。
再回過頭去思考題目中的第三個條件，即如何把“14粒巧克力”分配給這兩包糖果，使“在第一包糖中所佔的百分比是在第二包糖中所佔百分比的兩倍”。通過幾次“粗略”的“估算”，可知，第一包糖分8粒，第二包糖分6粒。
即：8÷20＝40％
6÷30＝20％。
這時就可以算出第一包糖中水果糖的粒數：
20－5－8＝7(粒)
將兩包糖合在一起，總粒數為20+30＝50(粒)，水果糖一共有15+7＝22(粒)。
水果糖所佔的百分比為：
22÷50＝44％。
答：水果糖一共佔44％。
【例10】在一個面積為32平方釐米的正方形內畫一個儘可能大的圓，這個圓的面積是多少平方釐米?
解題分析：根據題意作圖如下：
一般說來，計算圓的面積需要用上半徑，圖中這個圓的半徑恰好為正方形邊長的一半。但是正方形的邊怎麼求呢?這對我們小學生來說，的確是一個無法逾越的障礙。因此，解答這道題目就應另闢蹊徑了：
解法一：擴大法。
把正方形的面積擴大2倍，得64平方釐米，其邊長為8釐米。由此推算圓的面積(注意，最後還要縮小2倍回到原題)：
3.14×(8÷2)²÷2＝25.12(平方釐米)
解法二：縮小法。
把正方形的面積縮小2倍，得16平方釐米，其邊長為4釐米。由此推算圓的面積，最後同樣應擴大2倍回到原題：
3.14×(4÷2)²×2＝25.12(平方釐米)
解法三：假設法。
假設正方形的邊長為“2釐米”，圓的半徑則為“1釐米”。由此算出圓面積與正方形面積的比：
(3.14×1²)：(2×2)
＝3.14：4
＝157：200
回到原題，設正方形內那個圓的面積為x平方釐米，列方程：
x：32=157：200
x=32×157÷200
x=25.12
原來這麼一道十分抽象的題目，解法卻這樣靈活、豐富。以上解法的共同之處是利用具體數據去推算。
這節課的內容就這麼多，以後還會給大家講解更多有用的數學方法，我是小梁老師，下節課見！
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