數列的幾何意義
兩個簡單的中學問題：
1.從1到10十個數加起來等於多少？
高斯說等於55（這個梗，大家都知道就不普及了）
2.從0到10所有數加起來等於多少？
我聽過好多答案，無窮大，50，無解
幾何映射
在座標上作函數f(x)=x直線，也即45度斜線。
在x軸上，任意一個數a，對應y軸一個a值，對應一段長度為a的線段。這樣從0到10所有數值相加，等於函數f(x)與x軸在0到10之間所對應的線段之和，也即等於其組成的三角形面積。
高斯說從1到10之間，十個整數相加都55。
從0到10所有數字相加和居然為50。
這不是部分和大於整體和了？
先不要著急，接著往下走，數列的幾何意義。
數列幾何解法
在座標上作函數f(x)=x直線，也即45度斜線。在x軸上以自然數取值，在函數上取值，並在f(n)與f(n+1)作相應矩形。
本例中從1到10十個數相加等於10個矩形之和，也即等於大三角形與10個小三角形之和。
數列求和的一般幾何解法
作數列通項公式函數f(x) 圖像，以x軸自然數作矩形框，這樣數列每一項對應一個等效面積的矩形框。所有矩形方框的面積即為數列和。
假設通項公式a_n=f(x)，函數f(x)的積分函數為F(x)。函數前n項和實際上是黎曼積分的特殊形式
上述公式中b=n,a=0的特殊情況
根據通項公式函數積分求解數列和直接近視誤差太大，每一項差一個三角形面積。
第n項三角形面積
前n項三角形面積和
數列前n項和，等於通項公式函數與x軸圍成的面積與前n項三角形面積的和。
調和級數的幾何解法
調和級數
通項公式a_n=1/n，作對應函數f(x)=1/x (1≪x≪n+1),分別在x軸上找正整數1到n+1,間做寬度為1的矩形，如下圖。
那麼，矩形面積S_1=f(1)∗1=a_1 ，同理S_n=a_n。這樣調和級數s_n等於所有矩形框面積之和。同時調和級數s_n等於f(x)曲線與x軸圍成的面積與藍色小三角形面積之和。
那麼調和級數
由此可推出，歐拉常數γ等於藍色小三角面積之和，也即γ=s_∆
歐拉常數γ的幾何意義
歐拉常數γ等於下圖藍色小三角面積之和，也即γ=s_∆
單個藍色小三角形面積
小三角形面積最大s_∆1=1-ln(2)
作對應函數f(x)=1/(x-1) (2≪x≪n+1), 如上圖紅線。與矩形框圍成的紅色小三角形面積為s_∇單個紅色小三角形面積
任一組紅三角形面積與藍三角形面積之和 s_∆n+s_∇n=f(n)-f(n+1)=1/(n(n+1))
所有的紅三角形面積與藍三角形面積之和 s_∆+s_∇=1
紅三角形面積和 s_∇=1-γ
所以歐拉常數γ 實際上是，f(x)=1/x割矩形框高（f(n+1)-f(n)）*寬（1）的所有曲邊三角形面積和。
如果曲線割方面積有新的解法，歐拉常數γ會有新的更精確的公式解法。否則最精確的幾何解法還是
思考
1.為啥x軸取值不是0到n，而是1到n+1？
2.為啥不是ln(n)而是ln(n+1)?
感謝大家看完，希望有所啟發，歡迎大家積極留言。
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