思考題詳解之人教版《數學》三年級下冊：一共有多少個長方形
2019年1月31日星期四
題目是人教版《數學》三年級下冊“數學廣角——搭配”一章練習二十二的第5題，圖如下：
人教三數下冊104頁
整理如下：
“
下圖中一共有多少個長方形？
圖１
”
這道題如果“就題論題”，解答簡單，不值一提。我只是想到了其一般性的拓展，比如：
圖２
上圖中一共有多少個長方形？
為了防止陷入無謂的特例之爭，我們聲明“長方形”包含“正方形”，也就是說，在某個湊巧的地方，出現了一個正方形，也是算做長方形的。
顯然，這時“數的方法”應該叫停了。如果我們以“列×行”命名上述圖形的話，分別可以簡潔地表達為“2×2”、 “4×6”的圖形。第一個數字表示每一列有m格，第二個數字表示每一行有n格，或者說是“m行n列”。對於一般的“m×n”的圖形，您可以想到：m、n取值的任意性，以及當m、n取較大的非零整數時，我們更需要的是“計算的方法”。
（一）基礎題型
1.下圖中一共有多少條線段？
2.下圖中一共有多少個角？
3.下圖中一共有多少個長方形（含正方形）？
這些題型都是小學數學中常見的，當然具體表現也不止這些。它們的道理都是一樣的，計算方法都是：
1＋2＋3＋4＝10
粗糙地概括是：一共分成了幾小段（格、張口），就從1加到幾。
如果一共分成了100小段或100個小張口或100個小格，則一共有：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋……＋99＋100＝（1＋100）×100÷2＝5050
不錯，這就是高斯小時候發明的算法，其一般公式如下：
以及下文要用到的：
及更多的一般情況：
這些內容可參閱之前寫的圖文《數學活動“探索圖形”的解答和引申》。
（二）探究規律
以上面的圖1“2×2”、 圖2“4×6”拓展出一般的圖“m×n”，其列可看成是“一條截成了m小段的線段”， 其行可看成是“一條截成了n小段的線段”。隨意從列中取一線段作左右邊，從行中取一線段作上下邊，即得到一個任意的長方形。如圖：
列一共可以取出：
1＋2＋3＋4＋……＋m＝（1＋m）×m÷2
行一共可以取出：
1＋2＋3＋4＋……＋n＝（1＋n）×n÷2
m行n列的圖一共有：
個長方形。
（重要程度★★★★★）
於是，圖1一共有長方形：
2×2×（2＋1）×（2＋1）÷4＝9（個）
圖2一共有長方形：
4×6×（4＋1）×（6＋1）÷4＝210（個）
（三）變式練習
這個變式可以概括為“格子圖中數正方形”。格子圖的特點是每小格都是一樣大小的正方形，而且現在只數正方形，不數長方形。
上面4×4的格子圖中一共有多少個正方形？
這是一個極有趣的數列：
1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝4×（4＋1）×（2×4＋1）÷6＝30（個）
計算方法應用的就是上面的“公式2”。
道理是：
1×1表示：
2×2表示：
3×3表示：
4×4最簡單，用一個圖，不同顏色表示每一個格子：
想必，只此一例，您便對於“n×n”的格子圖中所有正方形的數量了然於胸了，這個結論就是公式2：
或許，您更期望解決一般的“m×n”格子圖中有多少個正方形？
設：
k＝min｛m，n｝，即取m、n中較小的一個值；
a＝|m－n|，其實就是m、n的差，取正值，因為我們不清楚m＜n或m＞n（m＝n的特殊情況上面已經討論）。實際討論中，可以只取一種情況，因為將m＜n的格子圖轉置一下，就可以由m行n列變為n行m列，二者實質上是同一種情況。
這時，您會得到一個有趣的數列：
1×（1＋a）＋2×（2＋a）＋3×（3＋a）＋……＋k×（k＋a）
＝（1×1＋2×2＋3×3＋……＋k×k）＋a×（1＋2＋3＋……＋k）
＝k（k＋1）（2k＋1）÷6＋a×k（k＋1）÷2
＝k（k＋1）（2k＋3a＋1）÷6
（重要程度★★★★★）
或許，您需要拿起紙筆好好驗算一下了。
以“4×7”的格子圖中一共有多少個正方形為例。
其中：
①1×1的正方形：
有：4×7＝4×（4＋3）＝28（個）
②2×2的正方形（田字格）：
有：3×6＝3×（3＋3）＝18（個）
③3×3的正方形：
有：2×5＝2×（2＋3）＝10（個）
④4×4的正方形：
有：1×4＝1×（1＋3）＝4（個）
一共有：28＋18＋10＋4＝60（個）
用公式驗證一下：
k＝min｛m，n｝＝min｛4，7｝＝4
a＝|m－n|＝|4－7|＝3
k（k＋1）（2k＋3a＋1）÷6＝4×（4＋1）×（2×4＋3×3＋1）÷6＝4×5×18÷6＝60（個）
結果一致。
是不是夠折騰，哈哈。
再會。
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