大家好，今天繼續為大家分享。今天給大家分享一道難度適中的題目，重點是通過這道題來複習一下正方形的有關知識，正方形的定義、性質以及判定方法，在好多時候我們都需要用到正方形的性質和判定方法。下面先看題目：
如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE=AC，AE與CD相交於F，求證：CE=CF。
這道題是正方形和等腰三角形放一塊來出的題，整體難度中等。把△ADE順時針旋轉90°得到△ABG，從而可得B、G、D三點在同一條直線上，然後可以證明△AGB與△CGB全等，根據全等三角形對應邊相等可得AG=CG，所以△AGC為等邊三角形，根據等邊三角形的性質可以推出∠CEF=∠CFE=75°，從而得證。下面來看具體過程：
證明：如圖所示，順時針旋轉△ADE90°得到△ABG，連接CG。
∵∠ABG=∠ADE=90°+45°=135°，
∴B，G，D在一條直線上，
∴∠ABG=∠CBG=180°-45°=135°，
在△AGB與△CGB中，AB=BC，∠ABG=∠CBG，BG=BG
∴△AGB≌△CGB（SAS），
∴AG=AC=GC=AE，
∴△AGC為等邊三角形，
∵AC⊥BD（正方形的對角線互相垂直），
∴∠AGB=30°，
∴∠EAC=30°，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE=（180°-30°）/2=75°，
又∵∠EFC=∠DFA=45°+30°=75°，
∴CE=CF。
這道題綜合考查了正方形的性質，全等三角形的判定，以及旋轉變換的性質，根據旋轉變換構造出圖形是解題的關鍵。我們在這裡藉助這道題來回顧下正方形的有關知識：
（1）正方形的定義：
有一組鄰邊相等並且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。特殊的長方形。四條邊都相等且四個角都是直角的四邊形叫做正方形。有一組鄰邊相等的矩形是正方形。有一個角為直角的菱形是正方形。對角線平分且相等，並且對角線互相垂直的四邊形為正方形。對角線相等的菱形是正方形。
（2）正方形的性質：
1、邊：兩組對邊分別平行；四條邊都相等；相鄰邊互相垂直；
2、內角：四個角都是90°；
3、對角線：對角線互相垂直；對角線相等且互相平分；每條對角線平分一組對角；
4、對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（有四條對稱軸）；
5、正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質；
6、特殊性質：正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；
正方形的判定：
判定一個四邊形為正方形的一般順序如下：先證明它是平行四邊形，再證明它是菱形（或矩形），最後證明它是矩形（或菱形）。
1：對角線相等的菱形是正方形。
2：有一個角為直角的菱形是正方形。
3：對角線互相垂直的矩形是正方形。
4：一組鄰邊相等的矩形是正方形。
5：一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。
6：對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形。
7：對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形。
8：一組鄰邊相等，有三個角是直角的四邊形是正方形。
9：既是菱形又是矩形的四邊形是正方形。
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