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今天给大家讲一讲正弦、余弦交变电流的电动势推导。
上节课我们知道线圈abcd在磁场中转动会产生感应电动势，产生的感应电动势如何？我们一起来分析一下。
线圈在磁场中转动
从切割角度看， ad边、bc边没有切割磁感线，ab边、cd边切割磁感线，因此线圈产生的电动势可以转化为求ab边、cd边的电动势，根据右手定则，可以判断ab边、cd边产生的电动势总是同向的，故线圈的电动势就等于ab边或cd边电动势的两倍。
为了研究问题的方便，我们先将这个立体图转化成平面图，怎么转化呢？我们从红色箭头方向看过去，可以画出线圈的正视图，这个时候我们只能看见ad边，整个线圈是第二个图这个样子。
图1 红色箭头为视角
图2 正视图
假设线圈在作匀速圆周运动，转动角速度为ω，ab边长为L，bc 边长为x吧。
下面我们以ab边为例，求解它的电动势。
图3 线圈从中性面开始转动
第一种情形，线圈从中性面开始转动，我们知道中性面即线圈与磁场垂直的位置，也就是图3虚线的位置，t时间转过的圆心角为ωt ,，ab边的电动势怎么计算呢？我们可以根据法拉第电磁感应定律列一下式子：E=BLV？这样对吗？很明显不对，哪里不对？有同学说是L错了，应该是二分之一的x；也有同学说v应该取平均速度。对吗？也不对，我们看一下立体图就知道知道ab整条导体棒都在切割磁感线产生感应电动势，因此它的有效长度是L没错！而ab边任一点的线速度大小都是一样的，也没错的。空间立体不好的同学可以把这个情形想象成一个圆柱体（图4），ab边就是这个圆柱体的高。
图4 立体图
那问题错在哪呢？我们知道E=BLV这条公式的前提条件是BLV三者要两两垂直，线圈转动过程中，对ab边而言，B总与L垂直，L也总与V垂直，但v并没有时刻与B垂直。如果不垂直，我们就要找到v垂直B、L的分量，我们把速度沿垂直B方向和平行B方向分解，可以得到Vy，这就是我们想要的速度。
根据几何关系，这个速度大小等于vsinωt 。那么 ，而v=wr=ωx/2 ,因此
那个整个线圈的电动势再乘以二，
S是矩形线框的面积，从这个式子，我们发现感应电动势与时间是正弦函数关系,这就是正弦交变电流，而我们物理习惯上用小写字母表示电动势的瞬时值，那么式子就写成了
这是线圈从中性面开始转动得到的表达式。
如果线圈从垂直中性面开始转动呢？垂直中性面即线圈平面与B平行的位置，转化成平面图就是线圈处于图5虚线位置。
图5 线圈处于垂直中性面位置
同样的，我们发现B与V不能时刻保持垂直，继续分解V,如图6，
图6 线圈从垂直中性面开始转动
我们得到的Vy等于Vsin(90°—ωt)= Vcosωt,速度求解出来后，同理可得整个线圈的电动势表达式
我们发现此时感应电动势与时间是余弦函数关系，这就是余弦交变电流。
如果线圈不是从这两个位置开始转动呢？比如图示位置如图7
图7
此时电动势的表达式是怎样的？我们可以套用第一种情况，找到速度与磁场方向的夹角即中性面与ad边的夹角，此时为φ+ωt，那么速度的分量Vy为Vsin(φ+ωt) ，整个线圈的电动势表达式就变成了
式子中的 φ，表示线圈在零时刻的ad边与中性面的夹角。
以上讨论的是线圈匝数为一匝的情形，如果匝数为N，根据右手定则，我们知道总电动势应该等于各个边的电动势相加，即在一个线圈的电动势基础上乘以N。
综上，我们可以得到下面常用的结论：
线圈从不同的位置开始转动产生的电动势的表达式是不同的，线圈在转动过程中电动势每时每刻都在变化。
1. 当线圈从中性面开始转动，产生的感应电动势
2. 当线圈从垂直中性面开始转动，产生的感应电动势
好了，这一期，我们就聊到这里
注意：如果线圈是其他形状，S还是指线圈面积，公式依旧适用，推导过程需要用到积分思想，高中不做要求。
