開普勒是德國物理學家和數理天文學家。1595年7月19日的天文課上，開普勒突發異想：發現一個正三角形內切圓半徑與外接圓半徑之比，大致等同於哥白尼《天體運行論》中木星與土星均輪半徑之比，頓悟到其中的"奧秘和天意"。他提出的開普勒行星運動定律，使得千古之謎得以真相大白，人類的理性文明突飛猛進，三角形是最簡單的封閉圖形，是研究幾何的基礎，是從簡單到複雜的典範。
開普勒經過18年的不斷探索，終於發現了以他的名字命名的行星三大運動定律，在1619年出版的《宇宙和諧論》中正式公佈了這一用數學形式描述的結果，並指出："對外部世界進行研究的主要目的在於發現上帝賦予它的合理次序與和諧，而這些正是上帝用數學語言透露給我們的。"開普勒的墓碑上刻著他自己寫的墓誌銘：
"我曾觀測蒼穹，今又度量大地,靈魂邀遊太空，身軀化為塵埃。"
麻雀雖小，五臟俱全。 三角形涉及一些重要的點，分別是重心、垂心、外心、內心，簡稱三角形的"四心"，最早的發現和應用可追溯到古巴比倫人。
三角形三個內角的平分線的交點叫三角形的內心，內心也是三角形內切圓的圓心。
從一般到特殊，從三角形內心出發，可探尋更多的結論。
例1.面積為定值m的△ABC中，其內切圓切AB於點D，切AC於點E，切BC於點F，證明下述三個命題彼此等價：
（1）AC▪BC取最小值；
（2）△ABC為直角三角形；
（3）AD▪BD=m。
證明如圖，有切線長定理可設
變式1.我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數書九章》中提出了"三斜求積術"，三斜即指三角形的三條邊長，可以用該方法求三角形面積．若改用現代數學語言表示，其形式為：設a，b，c為三角形三邊，S為面積，則
這是中國古代數學的瑰寶之一．
而在文明古國古希臘，也有一個數學家海倫給出了求三角形面積的另一個公式，
（1）嘗試驗證．這兩個公式在表面上形式很不一致，請你用以5，7，8為三邊構成的三角形，分別驗證它們的面積值；
（2）問題探究．經過驗證，你發現公式①和②等價嗎？若等價，請給出一個一般性推導過程（可以從①⇒②或者②⇒①）；
（3）問題引申．三角形的面積是數學中非常重要的一個幾何度量值，很多數學家給出了不同形式的計算公式．請你證明如下這個公式：如圖，△ABC的內切圓半徑為r，三角形三邊長為a，b，c，
變式2．（2020•浙江自主招生）已知如圖，Rt△ABC中，內切圓O的半徑r＝1．
變式3．如圖，△ABC中，AC＝8，∠A＝30°，∠B＝50°，點P為AB邊上任意一點，（P不與點B、C重合），I為△BPC的內心則：
（1）CP的最小值＝_____ ；
（2）∠CIB的取值範圍是_____-．
【解答】：（1）根據垂線段最短可知：當CP⊥AB時，PC的值最小，
∵此時∠APC＝90°，∠A＝30°，
∴PC＝1/2AC＝4，故答案為4．
（2）∵I為△BPC的內心，
∴∠IBC＝1/2∠PBC，∠ICB＝1/2∠PCB，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣1/2（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣1/2（180°﹣∠BPC）＝90°+1/2∠BPC，
∵30°＜∠BPC＜130°，∴105°＜∠BIC＜155°，故答案為105°＜∠BIC＜155°．
勾股容圓,不晚於東漢前期, 金朝數學家李冶的《測圓海鏡》通過勾股容圓圖式的十五個勾股形和直徑的關係，建立了系統的天元術，推導出692條關於勾股形的各邊公式，其中用到了多組勾股數作為例子。
《歌詞古體算題》記載了中國古代的一道在數學史上名揚中外的"勾股容圓"名題，其歌詞為：
十五為股八步勾，內容圓徑怎生求？有人算得如斯妙，算學方為第一籌．
當中提出的數學問題是這樣的：已知直角三角形的兩直角邊邊長分別為15步，8步，試求其內切圓的直徑．
我們可以這樣解答如下：如圖，∵∠B＝90°，AB＝15步，BC＝8步，∴AC＝17步，設⊙O的半徑為r，則四邊形BDOE為正方形，∴AD＝AF＝15﹣r，CE＝CF＝8﹣r，∴15﹣r+8﹣r＝17，解得r＝3，∴內切圓的直徑＝6．
例2.如圖，⊙O是等邊△ABC的內切圓，與AB，AC兩邊分別切於D，E兩點，連接DE。點P是劣弧DE上的一個動點（不與D，E重合），過點P作PM⊥AB於點M，PN⊥ AC於點N，PK⊥BC於點K，PK交DE於點L。
解析：本例條件簡明，結論優美，等邊三角形、圓的性質及對稱性結合在一起，有條件得（1）PM+PN+PK是一個定值；（2）DE為等邊△ABC的中位線，這兩個結論是簡化證明的有力支撐，對於（2），通過平方脫去根號，再尋求線段之間的數量關係。
（1） 連接PE，PD，
迭代法,顧名思義，迭代法即指不停地代入計算，也有循環執行、反覆執行的意思，其實質是提供一個可重複的算法。送代總與遞歸聯繫在一起，可反映事物的動態發展過程。
例3.如圖，取一個任意△A０B0C0，作它的內切圓，三個切點確定一個新的△A₁B₁C₁，然後對後者做同樣的事。這個過程稱為選代。如果我們一次一次不停地迭代下去，就得到一個迭代三角形的序列。很顯然，它的尺寸越來越小，迭代三角形最終趨向於一點，但我們的問題是：這些三角形的形狀最終會是怎樣呢？
解析：解決問題的關鍵是能否找到這個迭代過程的一般規律，即下一次的迭代三角形和目前的迭代三角形的關係。
當n趨向無窮大時，x總是趨向於60°，與x0無關。於是得：任給一個初始三角形，由內切圓確定的迭代三角形，其形狀越來越趨向於一個等邊三角形。
變式1.如圖 ，把Rt△OAB置於平面直角座標系中，點A的座標為（0，4），點B的座標為（3，0），點P₁是Rt△OAB內切圓的圓心．將Rt△OAB沿x軸的正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合，滾動一次後，圓心為P₂，再滾動一次，圓心為P₃…，依此規律滾動，Rt△OAB內切圓的圓心P2019的座標是_______．
【解答】：∵點A的座標為（0，4），點B的座標為（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，
∴Rt△OAB內切圓的半徑（3+4-5）/2=1，∴P₁的座標為（1，1），
∵將Rt△OAB沿x軸的正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動後圓心為P₂，第二次滾動後圓心為P₃，第三次滾動後圓心為P4，…，
∴P4（3+5+4+1，1），即（13，1），每滾動3次一個循環，
∵2019÷3＝673，∴第2019次滾動後，Rt△OAB內切圓的圓心P2020的橫座標是673×（3+5+4）＝8077，即P2019的橫座標是8077﹣2＝8075，
∴P2019的座標是（8075，1）．故答案為：（8075，1）．
三角形的內心和旁心, 如圖，與三角形的三邊都內切的圓是唯一的，與三角形的一邊外切、與另兩邊的延長線內切的圓有三個，該三角形的三條內角平分線和三條外角平分線形成一個大三角形及其三條高，它們的交點是這些圓的圓心。
數學是一座美麗的花園，一片深邃的海洋，一個奇妙的世界。正如楊振寧教授所言："任何科學領域都存在美，只要你能用心發現它的美，你就能攀登到科學的頂峰。"
