我們基本上從初中開始就學習幾何，但主要學的是平面幾何，從高中開始，就開始學立體幾何，到大學就把幾何扔到一邊了，那我們學了這麼久的幾何，對幾何真的瞭解嗎？
超立方體
首先，給大多數人學的幾何定個性，就是在座的個位都只是學過歐幾里得幾何學，你如果不服氣，我們來講一下他的歷史。故名思義，這一整套理論都是由一個叫歐幾里得的人整理出來的，所以叫做“歐幾里得幾何學”，當年，明朝的徐光啟碰上了從西方來的傳教士－－利瑪竇，倆人談起《幾何原本》這本書，當時，徐光啟非常驚奇，於是，他就纏著利瑪竇，倆人一起翻譯這本書，話說，這本書為啥引起徐光啟這麼深厚的興趣呢？
因為這是一個用公理系統作為骨架，然後一步步推理出來的邏輯大廈，好幾百條的定理，都是由五條公理，或者叫公設更恰當，推理出來的。徐光啟知道，我國過去沒有這樣的思維模式，這樣的思維體系正是西方的精髓，也正因為有了這種方式，幾何才是一個嚴密的體系。那麼，這五條公設是啥呢？
1.任意兩個點可通過一條直線連接；
2.任意線段能無限延伸成一條直線；
3.給定任意線段，可以以其一個端點為圓心，該線段為半徑作一個圓；
4.所有直角都全等；
5.若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直接在這一邊必定相交。
第5條公設寫的很複雜，簡化一下，就是直線外一點，只做一條線與此線平行，這樣是不是感覺熟悉多了呢？也感覺都是公理，沒什麼好說的了？
但是數學家都是幹啥吃的呀，他們怎麼看第5條公設怎麼不順眼，其中就有著名的兩個人，一個就是羅巴切夫斯基，他就設定，過已知直線外一點，可以至少作兩條直線與已知直線平行，代替歐幾里得的第五公設，在這個前提下，他推導出了一整套的幾何學，沒有發現定理有矛盾的地方，於是在1826年，他發表了論文，當然受盡了冷嘲熱諷，數學王子高斯是他的好朋友，私下裡挑大拇指稱讚他，但在公開場合，一句鼓勵的話也沒有，直到去世的時候，都是景況淒涼，死後不久，意大利的數學家貝特拉米證明了，羅巴切夫斯基的幾何學是在彎曲的表面上實現的幾何學，與歐式幾何並不矛盾，彼此之間是可以互相轉換的，如果歐式幾何正確，那麼羅巴切夫斯基也是正確的，後來也就稱為羅式幾何了。
數學家之中，從來不缺乏唱反調的，於是就是有人說，別說作兩條平行線，一條也做不出來，不存在平行的情況，必定是要相交的， 這個人是誰呢？此人叫黎曼，是高斯的學生，他描述的是球面的情況，羅巴切夫斯基描述的是馬鞍面的狀況，歐幾里德描述的是平面的情況。
彎曲空間中的三角形（球面、馬鞍面、平面）
那麼黎曼幾何在生活中有沒有用呢?答案肯定是，比如，從上海飛往美國洛杉機的航線，為啥不是一條直線呢？而是像下圖所示的曲線？
上海-洛杉磯航線
這就是黎曼幾何中的“短程線”，過兩點之間球體上的大圓的劣弧弧長最短，當然，這裡面還需要考慮加油、補給等因素，而最終確定航線。
