何小亞肖像畫。
本欄目畫家張武昌繪
圖二
數學是什麼？要真正回答好並不容易，數學家對此也有爭論。筆者無意介入，只是從科普的角度闡釋一下，數學玩什麼，如何看待數學，其價值何在。
數學玩數量關係、玩空間形式、玩模式。追根溯源，代數系統的產生基於數系的發展，而數的來源，中國道家認為，道生一，一生二，二生三，三生萬物。一是單點集合的標誌，一生於道，而道即玄，即深奧、神妙。幾何系統最基本的元素是點，點動成線，線動成面，面動成體。幾何中的點是抽象的，可以標明位置，但沒有大小、範圍。“一”和“點”在真實世界裡是不存在的，由它倆演繹出來的代數和幾何在真實世界裡也是不存在的。數學世界是人類思維的存在。
我認為，數學追求的是精確、嚴謹、簡潔、概括、統一。這是數學獨有的、有別於其他學科的特點。
離開數學的精確，無法真正定義“多”“少”“遠”“近”。人眼最多能分辨0.1毫米的差異，數學的精確可以使我們超越感知器官的侷限，更好地認識微觀世界。如果將短線段上的點與長線段上的點建立一一對應關係，那麼它們上面的點的數量就是相同的，儘管這看起來如此不可思議。
數學本質上是從定義、公理、公設出發，按照邏輯推理規則，得出的一套演繹系統。數學的嚴謹表現在兩方面：一是舉反例的思維方式，這是數學不同於社會科學和實驗科學的一大特點；二是其邏輯性，包括形式邏輯和辯證邏輯。在形式邏輯方面，要求概念和判斷必須保持一致，判斷要有充分根據，不自相矛盾，不模稜兩可。在辯證邏輯方面，要求抓住數學中各式各樣的矛盾(已知與未知、常量與變量、有限與無限、一般與特殊、直與曲……)進行分析轉化。轉化的策略一般有：化陌生為熟悉、化繁為簡、順推與逆推之結合、動與靜之轉化、數形結合、一般與特殊之互化…….
追求簡單化是數學的靈魂，從一定意義上來說，數學是因為人類追求簡單而誕生的。為節約時間和人力物力，人類在樹幹上刻痕計數，用0，1-9數字、進位制以及小數點，就可以表示超大的數，無限接近0的數；加法就是計數的簡化；乘法就是複雜加法的簡化。比如，寫出10000個2相加。若寫10000個2，9999個加號，麻煩無比，怎麼辦？簡化它，寫一個2，把加號旋轉45度，取名為乘號，於是“10000個2相加”就簡化為“2×10000”，這就是乘法，太簡潔了。對初中生來說，乘方不是新運算，小學時就學過。乘方就是對複雜乘法的簡化。比如，寫出“10000個2相乘”。若寫10000個2，9999個乘號，麻煩無比，怎麼辦？簡化它，寫一個2，乘號也不用了，在2的右上角寫上“10000”。這就是乘方，太簡潔了。有了乘方，知道冪和指數，求底數就是開方；知道冪和底數，求指數就是求對數。
數學追求至簡的另一個典型是自然數的立方和公式：(見圖二)
對於加法運算次數，公式兩邊都一樣。但對於乘法，左邊要算2n次，而右邊卻簡化為只算一次。想象一下，如果n=1億億億，那麼左邊要算2億億億次乘法，那要佔據多少內存，要花多少時間和算力，而右邊就只需算一次。真是大道至簡!
數學最精彩的是概括性，即以一個有限的模式駕馭無窮的具體，讓人歎服。請看平面向量基本定理：想象一下平面上有多少個向量？向量有長有短，長至十萬八千里，短至1納米，還有無窮無盡的方向，這麼多無窮無盡的向量如何掌控，太複雜了。不過，所有向量都逃不出數學的手心。對於平面上的任意一個非零向量，在這個平面上隨意選定兩個不共線的向量i和j，分別過起點A和終點B作直線a平行於i，直線b平行於j，因為i和j不共線，所以直線a、b必然交於一點，根據向量的三角形法則和數乘向量就可得出AB=mi nj。這麼多無窮無盡的向量居然可以只用兩個不共線的已知向量i和j線性表示。為了更簡單，可以取i和j為正交的單位向量。平面向量基本定理就是這樣簡單、強大，強大到以一個有限的模式駕馭無窮的具體。平面向量基本定理就是數乘向量的推廣，而且還可以推廣到三維空間，其方法、結果形式幾乎是一樣的。數學是聯繫的、統一的，代數中的統一，幾何中的統一，代數與幾何的統一。
數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具，為其它科學提供了語言、思想和方法，是一切重大技術發展的基礎。有馬克斯韋爾方程，才有電池波理論和現代通訊技術；有黎曼幾何，才有廣義相對論；有納維-斯托克斯方程，才有流體力學、航空學；有牛頓萬有引力定律，才有天文學、物理學。首位諾貝爾物理學獎得主者倫琴在被記者問到他需要什麼時回答說：“第一是數學，第二是數學，第三是數學。”
數學是思維的體操，在提高推理能力、想象力和創造力等方面有獨特作用。數學的內容、思想、方法和語言是現代文明的重要組成部分，它教育人們尊重事實，服從真理；使人縝密、精力集中、認真負責；它使人表達有條理、辦事有條不紊；使人堅韌、腳踏實地、勇敢進取。
英國思想家培根說：“讀史使人明智，讀詩使人靈秀，演算使人精密。”美國數學家莫里斯·克萊因認為，音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心絃，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，而數學能給予以上的一切。對數學的價值，科學史上的大家伽利略、開普勒等都給予高度評價。
數學是現代科技產業的重要基礎，當今引人注目的5G技術和產業就源於十多年前一位土耳其教授的一篇數學論文。數學能力不僅關乎思維能力、產業發展、國家競爭力，而且與個人收入密切相關。哈佛大學教授約書亞·古德曼的一項研究發現，數學越好的人收入越高，接受數學教育的時間每多一年，畢業後的工資會多出10%。這表明：“數學就是財富!”
(作者為華南師範大學數學科學學院教授，教育部“國培計劃”專家庫首批20位數學專家，全國數學教育研究會常務理事兼副秘書長，《數學教育學報》編委，教育部本科國家級教材《中學數學教學設計》的主編。)
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