一.模型名稱由來
【模型背景】“PA+k·PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點更是難點。當k值為1時，即可轉化為“PA+PB”之和最短問題，就可用我們常見的“飲馬問題”模型來處理，即可以轉化為軸對稱問題來處理。而當k取任意不為1的正數時，若再以常規的軸對稱思想來解決問題，則無法進行，因此必須轉換思路。此類問題的處理通常以動點P所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究。即點P在直線上運動和點P在圓上運動。其中點P在直線上運動的類型稱之為“胡不歸”問題；點P在圓周上運動的類型稱之為“阿氏圓”問題。
【模型由來】“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點A、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱“阿氏圓”。
二.模型建立
如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB，連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？
模型解讀：最早見“PA+PB”型問題應該是在“將軍飲馬”問題中，而本題多了一個“k”，故如何確定“k·PB”的大小是關鍵，如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點,P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小。如圖3
三.“阿氏圓”模型破解策略
【破解策略詳細步驟解析】
第一步：連接動點於圓心O（一般將含有k的線段兩端點分別與圓心O相連），即連接OB、OP；
第二步：計算出線段OP與OB及OP與OA的線段比，找到線段比為k的情況，如例子中的OP/OB=k;
第三步：在OB上取點C，使得OC/OP=OP/OB(核心關鍵步驟）
第四步：連接AC，與⊙O的交點即為點P.
【核心步驟另單獨解析】
回顧圖2，在OB上取點C構建,OC/OP=OP/OB的目的是為了形成“母子型相似模型”，“母子型相似”的構建是“阿氏圓”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圓”直接破解。
將圖2中△BPO單獨提取出，如圖4，上色渲染的△PCO∽△BPO，就是“母子型相似模型”，“母子型相似模型”的特點如圖4，△PCO與△BPO有公共角∠O，且OC/OP=OP/OB（在某些角度處理策略題中，“母子型相似”的主要特徵是∠0=∠O、∠B=∠OPC）
（構造出△PCO∽△BPO後可以得到OC/OP=OP/OB，進而推出OP^2=OB·OC,即“半徑的平方=原有線段×構造線段”，確定C的位置後，連接AC，求出AC長度“阿氏圓”即可破解）
四.“阿氏圓”典型例題講解
例1：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點，連接AP、BP，求AP+0.5BP的最小值.
例 2：已知扇形 COD 中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，點 P 是弧 CD 上一點，求
2PA+PB 的最小值.
例 3：如圖 1，已知 AC=6，BC=8，AB=10，⊙C 的半徑為 4，點 D 是⊙C 上的動點，連接
AD、BD，則 AD+0.5BD的最小值為？
五.“阿氏圓”實戰訓練
學會方法要加強練習，這樣才能變成自己的知識，希望此文對同學們有所幫助。
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