關於45°的處理策略在前面的文章中著重介紹了構造等腰直角三角形或構造“K”字型。本期將繼續複習鞏固上述策略,並在此基礎上簡單介紹“12345”模型。
一、複習鞏固
【例1】如圖,在四邊形ABCD中,∠BAD=90°,∠C=45°,AB=AD,AE⊥BC於E,求證:BC=2AE.
解法一:構造”K“字型.
作DH⊥BC,AF⊥DH,BG⊥AF
易證△ABG≌△ADF
∴GB=AF,AG=FD
又∵四邊形GBEA,四邊形AEHF均為矩形
∴GB=AE=AF=EH=FH
∵FH=FD+DH=GA+HC=BE+HC
∴BC=BE+HC+EH=AE+AE=2AE
解法二:構造變異”K“字型
作DH⊥BC,DF⊥AE
易證AE=FD=EH,BE=AF,FE=DH=HC
∵AE=AF+FE=BE+HC
∴BC=BE+HC+EH=AE+AE=2AE
顯然構造變異的”K“字型比構造"K”字型更為簡潔。但這兩種解法本質相同,下面再介紹另一種截然不同的解法。
解法三:構造中位線
分析:構造△BCD的中位線FH,則BC=2FH,這樣只需證△AEH≌△HDF.
證明:作△DBC的中位線HF,連接AH
∵AB=AD,H為BD中點,∠BAD=90°
∴AH⊥BD,AH=DH
∵AE⊥BC
∴A,B,E,H四點在以AB為直徑的圓上
∴∠1=∠2,∠ABH=∠AEH
∵HF∥BC
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
又∵∠ABH=∠C=45°,∠C=DFH
∴∠AEH=∠DFH
∴△AEH≌△HDF
∴AE=HF
∵BC=2HF
∴BC=2AE
【例2】如圖,在平面直角座標系中A(0,4),B(0,-6),P(m,0)(m>0),∠APB=45°,求m的值。
解法一:構造變異的“K"字型或構造”K“字型
作CA⊥AP,交PB的延長線於點C,作CF⊥AB,作AE平行x軸,PE⊥AE。
易證△APE≌△ACF,得AO=PE=CF=4,PO=AE=AF=m,
由△BOP∽△BFC
OB:OF=OP:CF
解法二:在x軸上分別取一點E、F,使OA=OE,OB=OF,連接AE,BF
∵∠1+∠3=45°,∠1+∠2=45°
∴∠2=∠3
同理,∠1=∠4
∴△AEP∽△PFB
如此巧妙地構造相似,為研題者們提供了一種嶄新的思路。
二、模型介紹
【定義】狹義的12345模型:
根據高中的兩角和誘導公式,對於上述三個式子,滿足任意兩個式子,可推出第三個式子(α、β為銳角),即:①②→③,①③→②,②③→①。
這裡的1/2,1/3,45°簡稱為12345.。
【原理】下面的兩幅圖解可助初中生了解該模型原理。
如圖1,已知tanα=1/2,∠PAE=45°,可得tanβ=1/3
如圖2,已知tanα=1/2,tanβ=1/3,可得△APE為等腰直角三角形,進而推出α+β=45°
模型應用:
【例1】(2015湖北十堰中考題)如圖,正方形ABCD的邊長為6,點E,F分別在AB,AD上若CE=3√5,且∠ECF=45°,則CF的長為____.
解法一:12345模型
∵tanα=1/2,α+β=45°,
∴tanβ=1/3
(注意:不可直接用此結論做中考解答題!)
∴DF=2,CF=2√10
解法二:構造”K“字型或變異”K“字型
如圖,構造”K“字型全等及8字型相似,有CF:FG=2:1可得CF=2√10
解法三:構造”半角“模型
如圖,構造旋轉式全等及軸對稱式全等,由勾股定理可計算出x。
【解題感悟】
四十五度有訣竅,
等腰直角少不了。
K字模型及變異,
還有12345與半角。
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