在數學中，有一個領域被稱為代數幾何 （algebraic geometry），它解決的是關於抽象的幾何空間性質的基本問題。這些問題通常可以被闡釋得很簡單，但若想要解決它們，就需要非常精湛的技術。在眾多的研究者中，有一位年輕的數學家不僅完全掌握了這些技術，還擁有深刻的幾何直覺，使他超越技術成就，打破新的概念基礎。
他的名字叫做考切爾·比爾卡爾（Caucher Birkar），出生於伊朗庫爾德地區的一個農村，現任劍橋大學的數學教授。他因在對不同類型的多項式方程進行的分類所作出的傑出貢獻而獲得今年的菲爾茲獎。他證明了這類方程的無限多樣性，可以被分割成有限數量的類別，這在代數幾何領域中是重大的突破。
○ Caucher Birkar在英國劍橋附近的家中，正在演奏庫爾德曲。| 圖片來源：Philipp Ammon
代數幾何是兩種數學分支的融合，一端是代數——關於方程的研究，另一端是幾何——關於形狀的研究。這提供了看待同樣問題的兩種不同方式。代數幾何研究的基本對象名為代數簇（algebraic variety），也就是一組多項式方程解的集合。取決於等式中變量的範圍，方程的解集可以具有不同的形式。
以代數方程y= x+2為例，代表這個方程的幾何對象是一條直線，它的斜率為1，並與縱軸相交於點2。而如果想找到兩個線性方程共同的解，既可以通過代數方法聯立方程求解，也可以在座標平面上繪製代表兩個線性方程的直線，確定它們的交點。
○ （1）線性方程與平面上的直線；（2）一個代數族包括一系列具有共同特徵的方程。例如，通過原點的一系列線性方程可以用圓上的點作參數來標記。| 圖片來源：QuantaMagazine
代數方程x²+y²=1則表示座標平面上以原點(0, 0)為圓心，半徑為1的圓。在三維空間更可以考慮代數曲面，類似於二維空間的圓，方程x²+y²+z²=1表示三維空間中以原點(0, 0, 0)為球心，半徑為1的球面。
另外，方程中的變量還可以定義在不同的數域上。例如對等式 x² + y² = z²來說，如果 x、y、z在整數範圍內變化，則解集是畢達哥拉斯三元組的集合。如果 x、y、z在實數範圍內變化，則解集是三維空間中的一個錐形。如果 x、y、z 是複數，那麼解集不能直接可視化，它是從複數繼承了幾何結構的抽象空間。
還有許多更復雜的多項式方程。因此，數學家引入了代數簇的概念。存在無限數量的代數簇，每一個代數簇都有著獨特的幾何表示。代表線性方程的直線、圓、球面都是代數簇的例子，但是代數簇可以複雜得多，它們甚至可以存在於更高的維度。
代數簇具有高度的豐富性和靈活性，因此，數學家想要對代數簇進行分類。這種分類的衝動就像對自然中的生物進行分類一樣，通過分類，按照“界門綱目科屬種”來思考，而不是對著每一個生命體觀察與沉思，生物世界在我們的頭腦中會變得有規律可循，也更有意義。
雙有理幾何（Birational geometry）就是變換代數簇以對其進行分類的一種方法。這就像是一個割補的過程：從一個有著自己獨特形式的代數簇開始，切掉它凹凸不平的地方，讓一些褶皺變得平滑，最終得到一種更普遍的形狀。當然，對於如何割補有著嚴格的規則限制，以確保不會完全改變最初的形狀。經過一番割補，許多最初截然不同的代數簇將變得相同，這時候，我們說它們屬於同樣的雙有理等價類（birational equivalence class）。
○ 兩種雙有理變換的例子：（1）一個並未通過原點的曲線上的紐結（knot）可以被解開；（2）曲線上的一些褶皺變得平滑。| 圖片來源：QuantaMagazine
有三種雙有理等價類，也就是三種不同類型的代數簇：法諾簇（Fano variety）、卡拉比-丘簇（Calabi-Yau variety）、一般類型的簇（variety of general type）。這是代數簇的三種普遍形狀，就像“昆蟲”是對蝴蝶、蜘蛛、螞蟻等許多不同種類昆蟲的統稱一樣。數學家希望證明，通過雙有理變換（birational transformation），每一個代數簇都會轉化為三種類型中的一種。
比爾卡爾正是在雙有理幾何領域做出了巨大貢獻。為了將無限多樣的方程分為有限多的種類，極小模型綱領（Minimal Model Program，MMP）提出了一種方法來識別每個類中特殊的簇，在某種意義上，這些簇是最簡單的，並且提供了可以構建其他更復雜的簇的基礎材料。
1. 一維
雙有理分類（birational classification）的根源可以追溯到十九世紀偉大的幾何學家黎曼（Bernhard Riemann），他研究了一維復代數簇。對於每一個這樣的簇，都可以構想一個黎曼曲面，也就是具有從複數繼承而來的額外幾何結構的二維曲面。這樣的曲面有三種不同的類型：
- 有正曲率，如球面；
- 有零曲率，如有著一個孔的甜甜圈（二維環面）；
- 有負曲率，如有著多個孔的甜甜圈。
孔的數目為一維簇的分類提供了一個自然的不變量。
○ 從左到右依次為球面、環面和多個孔的曲面。雙有理分類的主要目標是證明，任何一個簇都可以變換為三種基本類型的簇中的一種。| 圖片來源：ICM
2. 二維
二十世紀初，意大利代數幾何學家對二維簇進行了大量研究。他們廣泛使用了雙有理性（birationality）的概念：如果兩個簇是雙有理等價的，那麼，除了一些小的可以忽略的子集，它們本質上是相同的。
雙有理等價為分類簇提供了一個靈活的方法。這些意大利幾何學家發現，通過將一個點“放大（blow up）”，或者說擴展為一種被稱為(-1)-曲線的特殊曲線，可以使二維復代數簇更復雜。反過來，通過將(-1)-曲線“縮小（blow down）”，或者說收縮為一個點，也可以逆轉這個過程，並簡化二維簇。放大或者縮小一個簇會在相同的雙有理等價類（birational equivalence class）中產生一個新的簇。重複縮小過程儘可能多次，最終會產生一個極其簡單的簇。
正如一維情形那樣，這些簡單的二維簇也分為三類：
- 第一類被稱為森-法諾（Mori-Fano）纖維空間，是由法諾簇（Fano variety）構建的；法諾簇是黎曼球面的自然推廣，具有正的曲率。
- 第二類被稱為卡拉比-丘（Calabi-Yau）纖維空間，是由卡拉比-丘簇構建的；卡拉比-丘簇是二維環面的自然推廣，曲率為零。
- 第三類被稱為一般類型的簇，是負曲率黎曼曲面，也就是至少有兩個孔的曲面的自然推廣。
3. 三維
為解決二維簇而發展的方法不能解決三維情形的問題，我們需要一種新的方法。這種新方法在二十世紀七八十年代出現在森重文（Shigefumi Mori）的工作中。因為(-1)-曲線並不存在於三維空間，他需要發展一種全新的縮小的方法。這種新的方法會產生奇點，也就是簇上不光滑的點。
當時，這個關於奇點理論的新進展可解決某一些情況的問題，但是要解決另一些問題還需要使用一種被稱為翻轉（flip）的新工具。直觀地理解，在這個過程中，我們切割一個區域，將這個區域翻轉，然後重新拼接回去。森重文證明，在三維情況下存在翻轉，是將極小模型綱領作為分類簇的一種方法的關鍵。他的工作為他贏得了1990年的菲爾茲獎。
在粗糙的水平上，三維簇的分類與二維情形呈現出相同的主題，那就是，特別簡單的簇同樣分為三類：
- 森-法諾纖維空間；
- 卡拉比-丘纖維空間；
- 一般類型的簇。
然而，相比於二維情形，在三維情形下對每一類進行更為精細的分類要複雜得多，因為三維簇本質上就比二維簇複雜。按照極小模型綱領的術語，卡拉比-丘纖維空間中的簇和一般類型的簇被稱為“極小模型”。
○ Caucher Birkar認為，數學包括兩個階段。第一個階段是閱讀前人創造的的美麗的數學，就像是在一個美麗的小鎮觀光旅行。| 圖片來源：ICM
4. 超越三維
在二十世紀八九十年代，包括Vyacheslav V. Shokurov在內的幾個數學家發展出了極小模型綱領的一種推廣形式，並稱之為對數極小模型綱領 （log MMP），其中每個簇與低一個維度的一系列簇配對。事實證明，研究這些對增添了一種強大的靈活性，可以在很多證明中用到。儘管它涉及的技術挑戰令人望而生畏，但這些發展點燃了極小模型綱領可以被擴展到超過三維的希望。其中最困難的挑戰包括如何處理奇點，以及如何證明更高維度存在翻轉。後者成為代數幾何領域一個突出的開放性問題。
2003年，Shokurov的一篇論文帶來了一個主要的進展，他擴展了之前關於三維翻轉的工作以確立四維翻轉的存在。比這個具體的結果更重要的是，Shokurov為解決更高維度極小模型綱領問題勾勒出了新的理念。與森重文的具體的幾何方法不同，Shokurov的工作與代數更相關，從像上同調理論這樣高度抽象的數學分支汲取思想。
○ 第二個階段是在城市上空飛翔，可以清楚地看見事物之間的連接。在數學上，只有清楚看見不同概念之間的聯繫，才能有所創造。| 圖片來源：ICM
5. BCHM
作為Shokurov的博士生，比爾卡爾吸收並改進了這個新理念，同時也掌握了所需的強大技術。2006年，在完成博士學位兩年後，Birkar與其他三位數學家合作，取得了重大突破。他們寫的論文現在被普遍稱為BCHM，是比爾卡爾與其他三位作者Paolo Cascini、Christopher Hacon、James McKernan的姓氏首字母的縮寫。
BCHM的主要結果之一是標準叢（canonical bundle），標準叢是一種構造，處於雙有理幾何的核心。標準叢在一個簇的任意點上都有定義，它以一種特別有用的方式，封裝了關於簇的大量幾何信息。通過取規範叢的部分及其指數冪，會得到一個被稱為標準環（canonical ring）的幾何對象。BCHM肯定地回答了一個長久以來懸而未決的問題——標準環是否是有限生成的。
BCHM也證明了這個結果的一個局部版本，這使得他們能夠在超過二維的所有維度上確立翻轉的存在性。然後，他們就能夠證明一般類型簇的極小模型的存在性。
BCHM改變了雙有理幾何的研究圖景，打開了之前被認為是無法進入的領域。這篇文章中引入的工具和觀點已經被廣泛應用，併產生了巨大影響。儘管如此，許多謎團仍然存在，特別是關於一般類型以外的簇。
因此，2016年，數學界以極大的熱情迎接比爾卡爾的兩篇論文，它們主要研究法諾簇的情形。這個傑作的頂峰是Birkar對於Borisov-Alexeev-Borisov猜想的證明，這個猜想預測，在合理的假定下，法諾簇形成一個有界族（bounded family）。更具體地說就是，Birkar證明了，在任何確定的維度下，具有輕微奇點的法諾簇都能夠用有限數量的參數來標記。
○ （1）許多不同的形狀；（2）雙有理變換；（3）變換後的形狀曲率都為正，這是定義法諾簇的一個特徵；（4）法諾簇會形成有序的族，就像一系列通過原點的直線。| 圖片來源：QuantaMagazine
比爾卡爾的論文還包含另一個令人驚歎的進展——它解決了出現在極小模型綱領中的特定類型奇點的問題。不久之後，這項工作將有望引導雙有理幾何領域很多突出問題的解決。數學家在世界各地舉辦研討會和講習班，以研究比爾卡爾的工作，並希望從中有所借鑑。
極小模型綱領尚未完全建立在所有維度上。特別是預測的以卡拉比-丘纖維空間為極小模型的高維簇的情況，仍然神秘莫測。比爾卡爾的工作必將指引並激發新的發展。
6. 特徵為p的域上的雙有理分類
迄今為止所討論的極小模型綱領都屬於這樣一類簇，即定義多項式中的變量在複數範圍內。一個新的前沿是變量屬於其他數集的情況。例如，給定集合{0, 1, 2, 3, …, p−1}，其中p是質數，我們可以定義算術運算為加上和乘以模p（類似於“時鐘算術”，13點也就是下午1點，因為13模12的結果是1，等於13/12的餘數）。這個集合與定義其上的這些運算一起被稱為
特徵為p的域（field of characteristic p）。給定一個多項式的集合，我們可以允許變量在特徵為p的域上變化。
○ 在時鐘算術中，13點也就是下午1點，因為13模12的結果是1，等於13/12的餘數。| 圖片來源：Wikipedia
特徵為p的簇非常吸引人是因為，它們與數論有很多聯繫，所以它們的雙有理分類會非常有用。特徵為p的域上的分類預計會與複數上的分類有一定的相似性。然而，很多為複數情況開發的工具卻並不能應用到特徵為p的域上，所以需要一種全新的方法。
Birkar對這個蓬勃發展的領域進行了深入研究，並作出了一些重大貢獻。特別是，在Christopher Hacon和許晨陽的工作基礎上，Birkar證明了當p > 5時，對於特徵為p的域上的三維簇，對數翻轉和對數極小模型的存在。
○ Caucher Birkar出生於伊朗庫爾德地區一個農場家庭，成長在戰亂的年代。中學階段，他的哥哥教給他微積分知識，之後，他考入德黑蘭大學，並在英國諾丁漢大學獲得博士學位，現在他是劍橋大學純數學系的教授。他希望自己獲獎的消息會為自己的同胞帶來些許慰藉。| 圖片來源：ICM
因為對於處在代數幾何核心的深刻而基本的問題有著良好的直覺，比爾卡爾已經成為這個領域新的領導者。他不僅對這個高度技術性學科的許多前沿的最新工具有著很好的技巧，也創造了一些最強有力的創新。他為自己的作品注入一種強烈的幾何直覺，以及處理長期懸而未決的困難問題的無所畏懼。Caucher Birkar必將在數學領域做出更突出的貢獻。
編譯：烏鴉少年
https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2018/birkar-final.pdf
https://www.quantamagazine.org/caucher-birkar-who-fled-war-and-found-asylum-wins-fields-medal-20180801/
https://plus.maths.org/content/test-1-0
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