多元视角
一、完全平方数的概念
完全平方数是这样的一种数，它可以写成一个正整数的平方。例如36等于6×6，25等于5×5，121等于11×11。
二、完全平方数的性质
性质1：从1开始的n个奇数的和是一个完全平方数。
应用等差数列之事即可证明。
性质2：每一个完全平方数的末位数是0、1、4、5、6或9。
这其实是显而易见的。末位数也就是个位数，我们只需要计算个位数的乘积即可。
性质3：每一个完全平方数，要么能被3整除，要么减1能被3整除。
先观察下面这些数字。
1、2、3；4、5、6；7、8、9；10、11、12；因为讨论的是与3有关的整除性质，我们把正整数分为3个类型分别进行讨论。性质4：每一个完全平方数，要么能被4整除，要么减1能被4整除。
这条性质也不难证明。一个正整数，要么是奇数，要么就是偶数。对于两个相同的偶数相乘，乘积必然能被4整除；下面考虑奇数的情况。
性质5：每一个完全平方数，要么能被5整除，要么加1或减1能被5整除。
仿照证明性质3的方法进行分类讨论。
多元视角
作为一类比较特殊的整数，完全平方数还是有很多神奇之处的。之前写过一遍文章，详细介绍了完全平方数的性质。今天再系统地梳理一下。我是王老师，致力于小学数学的精品问答！欢迎关注王老师头条号和其他问答，学习更多好玩的数学干货知识。
完全平方数定义
指两个相同数相乘所得的数，例如：16=4×4，16就是一个完全平方数(或称平方数)，还可以理解为一个数如果是另一个整数的平方，那么这个数就是完全平方数。表达式为：A=a²。
1～1000内的完全平方数
完全平方数的性质
① 完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9；不可能出现 2，3，7，8
在数论的各种问题中，确定末位数字十分重要。
② 完全平方数的因数个数为奇数。这个可以通过因数个数公式来推理证明。
③ 完全平方数除以5的余数只能是0，1，4，可以通过性质①来证明。
④ 完全平方数除以3的余数只能是0，1。证明如下。
⑤ 凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；
尾数只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；
⑥ 奇数的平方的个位数字为奇数，而十位数字为偶数；
⑦ 如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数；
⑧ 完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9；（多位数）
⑨ 在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数；
⑩ 任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个完全平方数。
