長樂兮未央
提問的同學首先你要理解數學上的無限是什麼意思。
一個圓，假如指定了半徑大小，那麼這個圓的面積也就確定了。即S=πR²，這個面積計算公式裡有圓周率π。我們都知道π是一個不同尋常的數字，它無限不循環，也就是說，你永遠算不完圓周率，即使用最先進的超級計算機永遠也算不到最後一位。這是圓周率無限的由來，但是同時圓周率又是有界的。
小學生都知道π在3.1415926和3.1415927之間。這個結論最先是由我國古代傑出數學家祖沖之得到的，他使用劉徽創立的割圓術，內外逼近，內接正多邊形是下界，外接正多邊形是上界。就這樣，一直計算到12288邊形，終於得到了這個在當時精確無比的數字。
數學上的無限一般指的都是發散，比如調和級數的和就是發散的，雖然看起來每一項都在逐漸減小，但是你指定一個值，這個級數的和總會加到那個值，雖然調和級數的增加速度非常緩慢。
很多人不理解為什麼圓的面積明明是確定的，計算圓面積的π卻可以是一個無限不循環小數，難道這裡不衝突嗎？
這裡的π只是一個表示圓周率的符號，它和根號2，根號3沒有什麼區別，你在平時計算中可以保留根號2，根號3，那為什麼就不可以保留π呢？根號2和π同樣也是無限不循環小數啊。
假如我們需要具體的計算數值呢？那就根據你的精度要求取多少位來，這一點根本不用擔心，現在人類已經把圓周率計算到小數點後31.4萬億位了。隨便取，不著急！
事實上有人計算過，假如我們把整個太陽系作為一個圓來計算其面積，取π小數點後35位有效數字，就可以把太陽系的面積精度控制在一個質子的大小以內。所以人們日夜不停地計算圓周率，其實不是為了要在實際中用到這麼高的精度，主要目的一個是檢測硬件性能，另外一個更重要的原因是檢驗某些算法的執行效率。
徐曉亞然
一個直徑是一米的圓，它的周長是3.14無限下去。但是它的長度永遠不會超過3.15。就像一個直角邊是一米的等腰直角三角形。它的斜邊是1.414無限下去,但是它的長度永遠不會超過1.415.所以傻叉們千萬不要再意淫圓周率了。如果你想意淫圓周率，麻煩不要把根號2給漏了。因為根號2也能滿足你同樣意淫想像。如果你還想不通，我只能奉勸你去學一學收斂這樣的概念。這樣的概念其實高中課本里面就有。
崔傑8476
不太清楚問題中的“無限”和“有限”到底想表達什麼意思。圓的面積和半徑當然不會是無限（大）的，而是有限的，圓周率也不是無限的，它就是Π，約等於3.14，還沒有3.15大，怎麼是無限的呢？
那麼，只有一點，問題中的“無限”應該是向表達“無限不循環”，而“有限”指的是“循環”。
對於圓周率Π，不少人有一種誤解，認為“無限不循環就不是確定的數”，這是一種誤解。事實上圓周率Π（包括任何其他無理數）與有理數都是確定的數，在這點沒任何區別，無理數只是無法用小數準確地寫出來，並不代表就不是確定的數。
比如說，在數軸上，我們就能很輕鬆地畫出Π釐米，根號2釐米長度的線段，但是你永遠無法用尺子去測量到底是不是Π釐米，因為無論如何都沒有精確到無限位數的尺子。
如果圓的半徑是有理數，那麼圓的周長就是無理數，面積也是無理數。如果圓的半徑是無理數，比如1/Π，那麼圓的周長就是無理數。也就是說，圓的半徑周長面積不可能都是有理數或無理數。
最重要的一點，一定要明白，不能因為無限不循環就認為不是固定的數，Π就是Π，非常固定，正如1就是1一樣，區別只有一點：無限不循環和循環（無限循環）。
再舉一個簡單的例子就明白了，1/3你也無法用小數準確表述出來，它等於0.333無限循環下去，你永遠寫不完，正如你也永遠無法用小數把Π寫完是同樣的道理，這都不妨礙它們是固定的準確的數！
宇宙探索
作者之所以提出這個問題，時把無窮和無限這兩個概念搞混了。題目嚴格來說，應該這樣表達：圓的面積絕對不會是“無窮大”的，圓的半徑也絕對不會是“無窮大”的，那圓周率到底是不是有限的？這樣說才對，而且這麼已經修正，相信答案已經呼之欲出：
答：圓周率是一個有限大小的數字，但是小數個數卻是無窮的。
無窮和無限
無窮和無限可以認為是形容詞，一般形容大和小。比如說無窮大， 那就是說這個數字大的不能再大了。在數學上，無窮可以用符號∞表示，無窮大+∞，無窮小用-∞。無限形容的名詞就比較多了，一般說的是個數，表示個數很多，多的無法統計。所以，我們可以說圓周率的位數無限，而不能說圓周率無限，因為圓周率π就一個。
圓周率<strong>
<strong>圓周率是圓形周長和直徑的比值，是一個常數。雖然圓周率數字是常數，但是它的位數確實無限的，是一個無理數，我們無法直接寫出完整的π。很多人不太理解，為何一個數有限大小，但是我們卻寫不盡。但其實數學上有很多這樣的數，比如√2，√3等等，都是這樣的樹，我們可以在數軸上找到代表它們的點，但就是無法寫出它們。為何會這樣？就是因為數字是連續的。
但是現實世界卻不一定這樣，很多物理量是不連續的。特別是量子世界，比如能量，它就是不連續的，有一個最小的能量值。還有原子的軌道和能級等等，都是不連續的，和數字不一樣。
科學探秘頻道
無論圓的面積、周長和半徑是否無限，圓周率π的小數位都是無限的，這是毫無疑問的。圓周率的大小不取決於圓的大小，圓周率是一個恆定的常數，只是這個常數不是有理數，而是無理數。圓周率的大小是有限的，只是小數位是無限的。
從數學上可以證明，對於任意一個圓，它的周長與直徑之比以及面積與半徑平方之比都是相等的常數，它就是圓周率。進一步證明表明，圓周率還是一個無限不循環的小數，它的小數位是永遠也算不盡的。目前，人類用超級計算機把π的小數位算到了31.4萬億位。但縱使超級計算機的計算能力再怎麼強大，也是無法算盡圓周率。
由於圓周率是無理數，那麼，圓的面積、周長和半徑之中都有可能是無理數。例如，如果一個圓的半徑為1，那麼，它的周長和麵積的大小分別為2π和π。在這種情況下，半徑為有理數，周長和麵積都為無理數。
再假設圓的半徑為1/π，那麼，它的周長和麵積的大小分別為2和1/π。在這種情況下，半徑為無理數，周長為有理數，面積為無理數。
如果圓的半徑為1/√π，那麼，它的周長和麵積的大小分別為2√π和1。在這種情況下，半徑為無理數，周長為無理數，面積為有理數。
總之，由於圓周率是無限不循環的小數，這就使得圓的面積、周長和半徑不可能都是有理數。但不管怎樣，圓都是確定的，半徑、周長和麵積都有確切的數值，只是這個數可能擁有無窮無盡的小數位。
另外，只有在nπ進制下，歐氏幾何中的圓周率才會是一個有理數。而在其他進制下，尤其是人們常用的二進制、八進制等整數進制下，圓周率都是無理數。這種情況放在宇宙中的任何地方都是成立的，我們這個宇宙就是有這樣的規律。
如果在非平直的時空中，圓周率則不是常數，其大小會隨著曲率而變化。在曲率為正的球體上，圓的周長與直徑之比會大於π，並且這個數值會隨著曲率的增加而減小。而在曲率為負的雙曲面體上，圓的周長與直徑之比會小於π。
火星一號
題主的意思大概是，由於圓的面積和半徑不可能是無限循環的，所以π的值也不可能是無限循環的，而應該是一個有理數。
首先題主可能認為圓內的面積應該是一個有理數定值，不可能是無理數，然而沒有任何定理規定圓的面積必須是一個有理數，實際上只要圓的半徑是一個有理數，那麼面積就必然是一個無理數，因為π乘以任何有理數的平方，都必然是無理數。
其次題主應該是犯了經驗主義的錯誤，認為我們用尺子去測量，必然不可能把半徑或周長量出無理數來，所以就想當然地認為圓面積不可能是無理數，參照我上一條的說法，這顯然是錯的。
和經驗主義相反的是，只有半徑為與π相關聯的無理數x/根號π，圓的面積才可能是一個有理數，也就是說我們可以堂而皇之地宣稱，這個圓的面積是25平方釐米，65平方米等等。所以我們永遠無法用圓規實際畫出一個面積正好等於某個有理數的圓，很顯然，你圓規畫出的圓，半徑應該是一個有理數值，所以圓面積必然就是一個無理數。
好吧，繞得有點暈，實際只要記住一點，除了半徑等於x/根號π的圓，所有圓的面積都是無理數；除了半徑等於x/π的圓，所有圓的周長都是無理數。
剛剛想到的，不知道歸納窮盡沒有，歡迎指正，謝謝。
徐德文科學頻道
圓周率表示圓和多邊形的關係。一個圓可以表示為多少邊形，就是圓周率。
那究竟一個圓可以表示為有多少個邊呢？答案一定是無限個邊，所以圓周率是無限不循環的。
在實際應用當中，圓周率的精確程度可以理解為我們用圓周率計算的圓形面積精確程度。
匠人工坊
圓的直徑與周長本沒有關係，是人類硬扯上的關係，所以不能有一個最終確切的數值
防民之o甚於川天翼731
提問的同學首先你要理解數學上的無限是什麼意思。
一個圓，假如指定了半徑大小，那麼這個圓的面積也就確定了。即S=πR²，這個面積計算公式裡有圓周率π。我們都知道π是一個不同尋常的數字，它無限不循環，也就是說，你永遠算不完圓周率，即使用最先進的超級計算機永遠也算不到最後一位。這是圓周率無限的由來，但是同時圓周率又是有界的。
小學生都知道π在3.1415926和3.1415927之間。這個結論最先是由我國古代傑出數學家祖沖之得到的，他使用劉徽創立的割圓術，內外逼近，內接正多邊形是下界，外接正多邊形是上界。就這樣，一直計算到12288邊形，終於得到了這個在當時精確無比的數字。
數學上的無限一般指的都是發散，比如調和級數的和就是發散的，雖然看起來每一項都在逐漸減小，但是你指定一個值，這個級數的和總會加到那個值，雖然調和級數的增加速度非常緩慢。
很多人不理解為什麼圓的面積明明是確定的，計算圓面積的π卻可以是一個無限不循環小數，難道這裡不衝突嗎？
這裡的π只是一個表示圓周率的符號，它和根號2，根號3沒有什麼區別，你在平時計算中可以保留根號2，根號3，那為什麼就不可以保留π呢？根號2和π同樣也是無限不循環小數啊。
假如我們需要具體的計算數值呢？那就根據你的精度要求取多少位來，這一點根本不用擔心，現在人類已經把圓周率計算到小數點後31.4萬億位了。隨便取，不著急！
事實上有人計算過，假如我們把整個太陽系作為一個圓來計算其面積，取π小數點後35位有效數字，就可以把太陽系的面積精度控制在一個質子的大小以內。所以人們日夜不停地計算圓周率，其實不是為了要在實際中用到這麼高的精度，主要目的一個是檢測硬件性能，另外一個更重要的原因是檢驗某些算法的執行效率。
遊戲人超超
說圓周率大於三小於四當然沒錯，但這太粗率了，應當細一點就是大於3·14而小於3·15，或者再精確一點是在3·1415926至3·1415927之間。現在用超級電腦已把兀值計算到小數點後面十億多位。
