哈代（Hardy）這個姓在英國並非罕見。當然，最享盛名的當推19、20世紀之交的大作家、大詩人托馬斯•哈代（Thomas Hardy,1840---1928），而其次就該算20世紀的大數學家哥德弗萊•哈羅德•哈代（Godfrey Harold Hardy,1877---1947）了。
青年哈代
一、哈代其人
數學家不是那種顯山露水的人，因此，數學家的名字不大為人所知，數學家的工作更不是媒體和大眾談論的話題。不過，中國是個例外。誰不知道華羅庚和陳景潤呢？誰不知道他們研究的解析數論和哥德巴赫猜想呢？好了，我可以把他們和哈代掛起鉤來。雖然，我們不能很嚴格地講，華羅庚是陳景潤的老師，哈代是華羅庚的老師，可是說哈代是華羅庚的老師輩的人總沒什麼大錯。一句話，在解析數論和哥德巴赫猜想方面，哈代是位祖師爺。所謂中國的解析數論學派，傳的就是哈代的衣缽。
更具體講，20世紀30年代，華羅庚到劍橋訪問，東道主就是哈代。雖然華羅庚的論文足以使他拿下博士學位，但華羅庚的確熱愛數學，不重視學位這類虛名。這倒符合哈代的胃口，不過因此哈代也就無法成為華羅庚的博士導師。更有意思的事，哈代發現亞洲另外一位數學奇才——拉馬努金（S.A.Ramanujan, 1887---1920）。他的數學知識也是靠自學，根本不懂什麼是證明，也不懂近代數學的嚴格性意味著什麼。要不是哈代，他這一輩子也就完了。20世紀末，斯普林格出版了他五大卷筆記供後人研究。他成了印度的驕傲，尼赫魯在《印度的發現》[尼赫魯，1956]中還特別講到了他的工作。1940年，哈代的書《拉馬努金》[Hardy, 1940b]出版， 副標題是“關於其生平和工作的12次演講”，這對傳播拉馬努金的數學做出了決定性的貢獻。
拉馬努金
同年，在第二次世界大戰的戰火中，哈代的《一個數學家的自辯》[Hardy, 1940a]出版了。說老實話，這本書，更正確地說是本小冊子，實在不合時宜。為什麼？因為哈代的主張就是，數學家應該躲進純粹數學的象牙之塔，在純粹數學的世外桃源中優遊。他特別攻擊了應用數學，認為“真正的數學對戰爭毫無影響”，槍炮專家與飛機設計師所需要的數學是“微不足道的”。他用的詞是Trivial，意思是平凡的、無聊的、小兒科的，總之是不登大雅之堂的。嚴格講，哈代有點循環論證：純粹數學沒有用，有用的不是純粹數學。
如果哈代是懷特海（A.N.Whitehead,1861---1947）所說的“數學狂”，也就是“愛好數學和欣賞數學”達到偏執狂程度的怪人，那也不要緊，他還偏偏對實際政治頗感興趣，並對自己的主張身體力行。在二次大戰打得不可開交的時候，他編了《羅素與三一學院》[Hardy,1942]一書，於1942年出版。
羅素
眾所周知，羅素（B. Russell, 1872-1970）是位和平主義者，在第一次世界大戰中從事反戰活動並因此坐過牢。羅素可以說是哈代的老師和朋友，哈代不僅信奉羅素的數理邏輯，也同情他的政治思想，特別是他的反戰態度。1916年哈代所在的劍橋三一學院因羅素的反戰態度取消了他的講師資格。哈代、李特伍德（J.E.Littlewood,1885---1977）等22人聯名反對沒有成功，結果羅素1919年出獄後講師資格也沒有恢復。這種情況令哈代感到氣憤，因此，1920年他離開了劍橋，到牛津大學當教授去了，直到1931年才回到劍橋。在1942年把這段陳年老賬翻出來，只能說他表了一個態——憎惡戰爭，逃避一切世俗事務，惟與純粹數學相伴。
但是，歷史並不以個人意志為轉移。二次大戰期間，科學開始起著前所未有的作用，其中最為驚人的是原子彈。原子彈不僅僅是物理學的產物，沒有數學和數學家，原子彈還是造不出來。戰後，主要是物理學家，開始反思科學的社會功能以及科學家的社會責任。不過，數學家很少參與其中。至於哈代，晚年疾病纏身，由他妹妹照顧，一度還想自殺，也許是對板球的興趣最終阻止了他。1947年12月，哈代離開人世，享年70歲。他身後的世界與他生前的世界大不一樣，然而，數學也許還能如他所說，保留不朽的價值。
二、兩類數學：有用的與無用的
哈代把自己的書題名為《一個數學家的自辯》。自辯的原文是Apology，較難翻譯。這個詞起源很早，柏拉圖對話中就有《申辯篇》，其中蘇格拉底論述自己的道德觀念，來回答起訴人對他的控告，明顯地包含有自我辯護的成分。其後，基督教著述家為駁斥對基督教的指責，也起而為自己的信仰進行辯護。哈代這裡用這個詞，則是為純粹數學和自己這樣的純粹數學家來辯解，同以前的論辯一樣，一方面包括自我主張的申訴，另一方面有自己的對立面。他的對立面主要有兩個：一個是“大眾數學”，一個是應用數學。他自己為之辯護的，則是高雅數學和純粹數學。對於兩者的區分，他有一個特有的標準，那就是“無用”。
哈代對有用的數學講得十分清楚：“中小學裡大部分數學都是有用的，例如算術、初等代數、初等歐氏幾何、初等微積分。……大學數學中相當一部分也是有用的。”[Hardy, 1985, XXVI]他接著說，如果有用的知識就是目前和不久將來可能有助於改進人類物質生活的知識，而不管在學術上令人滿意與否，那麼絕大部分高等數學都是無用的了。這裡所謂高等數學是當時的比大學更高級的數學，包括近世代數、近世幾何、集合論、函數論、數論，甚至還包括相對論和量子力學。由於他受當時水平限制，認為相對論和量子力學幾乎像數論一樣“無用”。雖然他認為某些“陽春白雪”式的純粹數學會出人意料地變得“有用”，但他得出結論說，“任何一門學科與實際生活相聯繫的往往是其中平凡和乏味的部分。”
顯然，這個結論比較保守。不僅他當時認為沒有用的數學在他去世半個世紀之後都變得有著不同程度的用處，而且連哈代想象不到的最新數學前沿也有這樣那樣的用處。更重要的是，許多前沿數學，不僅有著重要應用，而且有著哈代所喜歡的美學價值，如拓撲學、代數幾何學、代數數論、李群和李代數等等學科分支。哈代鍾愛的數論，如素數的理論，是編碼與密碼學的重要工具。在哈代生前爆炸的原子彈，也不能說完全與相對論無關，更不能說和量子力學無關了。
難道說，哈代的結論完全錯了嗎？也對也不對。哈代過低估計了具有抽象性、普遍性的數學的不可思議的有用性和有效性。但是，哈代卻清楚地認識到，純粹數學正在走向更大的抽象性與普遍性的不可逆轉的道路上。在這個道路上，不是有沒有用的實用觀點指導純粹數學的發展，而是美學與藝術決定數學家的努力方向。美是數學的判定標準和指導原則。談到美學原則，有的數學家也談了不少，這裡面的確有品位的高下之分。哈代究竟是個大數學家，他知道什麼樣的數學是高雅的，什麼樣的數學是低俗的。他的確為我們舉出了榜樣，例如費馬(P. de Fermat, 1601-1665)、歐拉(L. Euler,1707-1783)、高斯(J. C. F. Gauss, 1777-1855)、阿貝爾(N. H. Abel, 1802-1829)、黎曼(G. F. B. Riemann,1826-1866)、龐加萊(J. H. Poincare, 1854-1912)等，其實我們現在仍然在享用他們的遺產。這個名單還應該加上剛剛結束的20世紀的最偉大的數學家：希爾伯特(D. Hilbert,1862-1943)、外爾(H. Weyl,1885-1955)、嘉當(É. J. Cartan,1869-1951)、馮•諾伊曼(J. von Neumann, 1903-1957)、柯爾莫哥洛夫(A. N. Kolmogorov, 1903-1987)、維納(N. Wienner,1894-1964)等等。他們無一例外都是最偉大的純粹數學家，同時又是傑出的應用數學家。在數學走向越來越專門、學科之間隔行如隔山的時代，正是他們開闢了全新的方向。他們超越了純粹數學的美學標準，又超越了應用數學的實用標準，由於他們的超越，卻出人意料地達到了純粹數學與應用數學完美結合的最高境界，而這恐怕是哈代始料未及的。
三、現實世界中的數學
數學家和數學家還是不一樣的，他們也分三六九等。每個人都可以說自己是一流數學家，有的互相吹捧，有的互相拆臺。對於外行甚至隔行人來說，真可以說是一頭霧水。有沒有比較客觀的標準，有沒有內在的尺度來衡量數學家的成就呢？哈代認為是有的，這就是歷史標準。他說：“總的說來，科學史是公平的，數學史尤其如此。沒有一門學科像數學這樣具有清晰一致的評判標準，那些被銘記的人幾乎都是值得紀念的人。”不過，他的這個標準還不夠現實和具體。當人們在考慮如何發展數學，選定發展方向時當然不能等100年以後，而是要很快做決定，這時就需要積累和體制健全。天才並不缺少，缺少的是使天才茁壯成長的肥沃的土壤。在極端貧瘠的土壤中，什麼也長不出來；而在肥沃的土壤中，只要條件成熟，自會鮮花盛開。當然還有更差的情況，肥沃的土壤也可能長滿雜草，它們佔用了豐富的資源，產生的只是一些惡果。“基因是自私的”，惡果變成惡霸，它使肥沃的土地，變成培育惡果的搖籃、腐敗的溫床。
晚年哈代
在哈代寫書的前後，世界發生了巨大的變化，其中最核心的觀念變化是，科學是一種資源。政府、國家在當時冷戰的環境一要佔有這個資源，二要發展這個資源。哈代當時自由發展的時代一去不復返了。
前蘇聯在這場軍備競賽中一直佔有上風。在發展了原子彈和氫彈以後，1957年發射了第一顆人造衛星，1961年4月12日，加加林成為第一位飛往太空的人。美國嚇壞了，一方面大力發展空間技術，另一方面對體制進行了反思。許多科學家，特別是來自歐洲的科學家指出，美國基礎科學研究和教育落後。從這時起，基礎學科得到了大力發展，數學也搭上了這班快車。到20世紀70年代中期，每年的數學博士超過千人。美國開始有自己土生土長的大批數學家。而在這之前，在二次大戰前後由各國，特別是由歐洲移民而來的數學家，如外爾、馮•諾伊曼、E. 諾特(E. Noether, 1882-1935)、庫朗(R. Courant, 1888-1972)、烏蘭姆（S. Ulam，1909---1984）、齊格蒙德（A. Zygmund，1900---1992）、西格爾（C. L. Siegel，1896---1981）、愛侖堡（S. Eilenberg, 1913---1998）、哥德爾、耐曼（J. Neyman，1894---1981）、費勒（W. Feller，1906---1970）、魏伊（A. Weil，1906---1998）、薛華荔（C. Chevalley，1909---1984）、阿廷（E. Artin，1898---1962）、布勞爾（R. Brauer，1901---1977）等等則把美國數學一下子提高到歐洲水平。所有這些人都絕對是世界一流的。順便說一句，在這個提升美國數學水平的數學家中也有幾位華裔，他們是陳省身、周煒良、樊畿、林家翹、鍾開萊、王憲鍾、王浩等。儘管70年代中期以後，美國每年培養的博士逐年減少，而且其中一半左右不是美國人，但這些都不妨礙美國數學在全球的重要地位。美國對外籍人並非天堂，但它具有體制上的優勢，有能力有成果的數學家有較好的條件去自由地研究他所感興趣的題目，不管是純粹數學還是應用數學。蘇聯解體後，大批前蘇聯一流數學家到美國工作，加上歐洲數學家經常訪美，這使得美國數學始終維持在高水平上。
前蘇聯的情況和美國完全不同，黨、政府、意識形態部門對於科學有決定性的控制作用。科學發展面向軍事和工程技術，基礎科學取決於聯繫實際的密切程度。在蘇聯存續的75年間共有8人獲得諾貝爾獎，7位物理學家，1位化學家。蘇聯的生物科學由於李森科的破壞，至今仍是乏善可陳。總結蘇聯的科學，的確教訓多多，自然科學沒有一門是世界一流，惟獨數學是個例外。蘇聯的數學絕對是世界一流，今天的俄羅斯仍然很強，當今數學最主要的未解決難題可望由俄羅斯數學家取得突破。究其原因，數學不是自然科學，一張紙，一支筆，無論什麼環境，哪怕是在監獄裡，也都能做研究。法國大數學家魏伊和勒瑞（J. Leray,1906---1998）都進過監獄或戰俘營，他們在那裡仍然研究數學。不過，能在這種惡劣的環境下堅持下來顯然不容易，這就回到哈代在書中提出的問題：研究數學的動機是什麼？
“有許多相當高尚的動機引導人們去從事某項研究，但有三點比別的更重要。首先（沒有這一點其餘的都沒用）是智力上的好奇心，希望探求真理，其次是職業上的自豪感，……最後是雄心壯志，希望得到名譽和社會地位甚至權力和金錢。”
哈代不是書呆子，他洞悉人的慾望。許多人搞科學，具體說搞數學，目的就是為了權力和金錢，也的確有人得逞，特別是體制不健全的地方。這些人有了權力，不但搞不好數學，反而製造各種麻煩，讓想幹事的人幹不下去。說到底，他們對數學根本不感興趣。這樣，其後果可想而知。
蘇聯的數學沒有變成重災區原因很多。但有幾點值得注意。蘇聯的領頭的數學家，約有幾十位具有國際聲譽，他們對數學本身比較熱愛，當成事業來搞，對數學發展也比較重視。其中一些人還保護一些為社會排斥的數學家，如持不同政見者、猶太人、曾經當過戰俘的人等等。典型的例子有莫斯科大學校長彼得洛夫斯基院士保護持不同政見者沙法列維奇。由維諾葛拉陀夫當了幾十年所長的數學研究所門檻很高，但還有其他的研究所可進。蘇聯三位菲爾茲獎獲獎者就分別來自數學物理研究所、通訊研究所和低溫物理研究所。總的來說，儘管官方數學家受到種種限制，但很少有不學無術之輩濫用權力一手遮天的現象。20世紀30年代中期以後，蘇聯基本中斷了同國際上的聯繫，但它仍有雄厚的基礎獨立發展。戰後雖然像拓撲學等新興學科被停掉，但仍然關心國際上的動態。從1953年起，他們繼德國的《數學文摘》和美國的《數學評論》之後，出版了自己的《數學文摘》，成為蘇聯數學家瞭解世界數學趨勢的窗口。他們發現，雖然他們在哈代所說的諸學科中大都處於領先地位，但是，在戰後興起的新學科中，特別是代數拓撲學和代數幾何學中，他們完全處於落後狀態。鑑於同調代數方法的廣泛應用導致他們在許多領域落後，蘇聯有識之士從50年代中出版了翻譯期刊《數學》，選擇國外最新、最重要的論文，翻成俄文，以饗蘇聯的讀者。這樣，一些年輕的數學家有機會發揮自己才能，保持與世界同步。
還有，蘇聯正如許多先進數學大國一樣，把數學普及到群眾中尤其是青少年當中去。首先是培養興趣，其次是培養事業心。許多人是從夏令營中聽到柯爾莫哥洛夫這樣的大院士深入淺出的啟發性報告，而立志走向數學的。這種訓練是為了理解數學，而不是題海戰術的犧牲品。
因此，儘管有種種不利因素，蘇聯數學發展究竟走上了一條健康的道路，一代一代綿延不絕、人丁興旺。
四、數學是什麼？
雖然哈代的關於純粹數學與應用數學的區別不幸為殘酷的現實打破，但是，他有一個核心的論點卻有著雋永的意味，值得我們推敲一下。
哈代一開篇就感到，一位數學家談“關於數學”的事是可悲的。而既要談“關於數學”的事，自然就要回答“數學是什麼”。
如果把這個問題換成“物理學是什麼”、“化學是什麼”、“天文學是什麼”，科學家的答案可能稍有差異，但八九不離十。惟獨以定義嚴密著稱的數學家，對這個涉及本行的問題卻難以回答，至少數學家的回答五花八門、莫衷一是。這也許是哈代覺得談“關於數學”沒啥意思的道理。在第一節中，他特別強調，“數學家的職責是實幹，證明新的定理，擴展數學知識，而解釋、批評、鑑賞是二等活兒。”甚至勸說英國一位詩人說，詩人一等，文學批評家二等。如果你證明了定理，那你不必費心對“數學是什麼”說三道四。
不過，哈代還是幹了二等活兒。他要為自己的純粹數學辯護，為自己是純粹數學家感到自豪，就必須這麼幹。不過，他沒正面為數學下定義，而是搞了一個類比。
“數學家跟畫家或詩人一樣，也是形式的創造者。”
畫家用形與色創造形式，詩人用語言創造形式，而數學家用概念創造形式。他說，因此數學比別的更能經受時間的考驗。
這樣，他為數學下了一個潛在的定義：
“數學是形式的科學”。
但這話不是他說的，而是我說的。說到底，他把數學說成是藝術，而不是科學。他說“數學家創造形式與畫家或詩人創造形式一樣，必須美。概念也像色彩或語言一樣，必須安排配置得和諧。“美是首要的標準，不美的數學在世界上是找不到永久容身之地的。”這話聽起來不錯，可是，誰能夠欣賞數學的美呢？
在這個問題上，哈代有了對立面。誰都可以說，數學多美啊，某某定理多漂亮啊。這些話實際上是無聊的廢話，沒什麼意思。審美是相當主觀的東西，誰都可以說一幅畫美或一首詩美，但他所指的美到底是什麼，是否同別人體會的一樣，恐怕連自己也說不清。至於數學那就更玄了。一個人要是不懂他所說的數學，他怎麼能說數學美呢？實際上，除了哈代所說的平凡的、無聊的數學之外，誰能像哈代懂得那麼多當時的數學呢？從現在看，哈代懂得的數學也少得可憐。真正漂亮的數學還在後面呢！
因此，他所批判的懷特海和霍格本（L. Hogben, 1895-1975）或許更接近事實。懷特海認為只有極少數“數學狂”式的怪人才能欣賞數學的美。霍格本也認為數學美的魅力只對極少數人是實實在在的。但是哈代卻講出一段妙語：“現在也許難以找到一個受教育的人對數學美的魅力全然無動於衷。數學的美可能很難定義，但它難道不是和其他美完全一樣的完滿的美嗎？什麼是一首美麗的詩，我們可能並不知道，但這並不妨礙我們讀詩時欣賞它。”
後來他又說，“大多數人都欣賞一點數學，正如大多數人能欣賞令人愉快的曲調一樣。對數學真有興趣的人很可能比對音樂有興趣的人要多。表面看來可能與此相反，但很容易解釋。”他的解釋妙極了，“音樂上缺乏才能是不太體面的事（而這無疑是正確的），而大多數人一聽到數學就害怕，所以他們隨時都會由衷地強調自己在數學上不高明。”
我寫到這裡的確真感到這位世界一流的大數學家在幹二等活時是多麼不在行。出於對這位大師的尊重，我真不敢說他“邏輯混亂”。大多數人能欣賞的數學，難道不正是哈代所說的無聊乏味的數學，哪裡還有什麼美可言呢？即便以最簡單的歐氏幾何而言，哈代所說的美的部分——平行公里或正五邊形作圖，有多少人能欣賞它勝過聽小曲呢？
儘管如此，哈代把數學與藝術進行對比有它本質上的合理性。問題是要分清其中的層次。藝術有高雅藝術與通俗藝術之分，數學同樣有高雅與通俗之別。越是高雅的藝術，能欣賞的人就越少，創造它也就更需要非凡的才能。數學的情形完全類似。老實說，高雅的東西不是為了尋常百姓預備的，它屬於“精神貴族”。哈代沒有選好比較的對象，把數學比作畫和詩並不合適，而把數學比作音樂則比較恰當。只可惜，他把音樂說成是民間小調，這就混淆了高雅與通俗。現代的數學就好像大型的交響樂，沒有音樂素養是根本聽不懂甚至聽不下去的。
有名的交響樂中最長的要屬馬勒第八交響曲（千人交響曲），長達90 — 100分鐘。有人只是附庸風雅去聽，還不是活受罪！現代數學學科眾多，那一門也不是100分鐘就能學會的，100小時能咋出來點味來已屬不錯，根本談不上欣賞它的美，更談不上創造。最多像媒體一樣，知道了名詞，什麼拓撲學啦，用來炒作、嚇唬老百姓。這種名詞在數學中成千上萬，說上十個自己也暈頭轉向。其實隔行的數學家也分不清同調和同倫，酉群和辛群，可那又有什麼關係呢？一個人如果有藝術品位的話，他可以走遍全世界的博物館，聽遍所有高雅音樂的唱片，但是，他大概不可能學會全部數學，更談不上欣賞它們的美。人不是上帝，他不能全知全能，更不能與時俱進。與上帝比起來，人缺少智力，更缺少時間。有人說，我們的智力並沒有進化，我們並不比孔老夫子聰明，這話有理。小學生、中學生、大學生學數學並沒有顯著地加速。100年來，99%的人學不會300年前的微積分。要是學不會微積分，那微分方程和變分法就免談。這就是數學與自然科學不同之處。前不久的事，如克隆、幹細胞、互聯網、DVD等等一學就會。唯獨數學，完全得從頭來，一步一步來。沒有一門課像數學這樣讓人費力不討好。哈代告訴我們，學好數學多少得有點興趣，還得動點腦筋，否則苦不堪言，哪還有心情欣賞它的美呢？
不過，要是你真正喜歡上數學，迷上了數學，甚至對數學的美非常欣賞的話，那就好了，哈代可以帶你走進純粹數學的世外桃源。遺憾的是，對於絕大多數人來說，這不過是水中月，鏡中花。
閱讀更多 小蔡科普 的文章
