雙木良子
這個問題很有意思，我來回答一下。
如果對數學有興趣的朋友我推薦大家一本書，叫做《數學分析八講》，這本書是著名的蘇聯數學家、教育學家辛欽寫的，不厚，也幾乎沒有太多的公式，但是仔細讀一下就會對很多數學問題有醍醐灌頂一般的感受。
這個《數學分析八講》中的第一章就詳細說了什麼叫做“連續統”，尤其是關於無理數的概念——事實上無理數這個概念遠比我們想象的要複雜。
人類本質上只知道什麼是“整數”，這些數雖然無限多，但是是這個世界的一種非常明確的計量方法。而有理數就是通過這些整數構建出來的，表示為兩個整數的商。有理數雖然有無限多個，但是依然不能填滿整個數軸。
比如說我們常說的根號二（ √2）就是一個無理數，這個數不能表示為兩個整數的商。不過我們也可以說，其實根號二對我們來說並不是一個陌生的事物，因為根號二這個數字可以跟整數建立起來關係——也就是 √2* √2=2。而這些可以表示為整係數多項式的根的數叫做“代數數”。
從整數，到有理數，到代數數，我們似乎獲得了數不盡的“數”，但是這些數不盡的數就能夠把我們整個數軸填滿嗎？答案是：依然不能填滿。
我們依然可以從數軸上找到一些無理數，這些無理數不是任何整係數多項式的根——也就是我們沒有辦法把這些數通過我們已有的數——整數“構造”出來。比如說圓周率π，比如說一個神奇的數——e。
確實有這些數，但是你沒有辦法把他們跟任何的整數關聯起來，只能說，這是數軸上的一個數字，雖然我們不知道這個數具體是多少，又怎麼通過我們已知的數把這個數字表示出來，但是這個數字確實存在，他的大小近似是3.1415926……。
不可思議並且難以想象，但是這些不能表示但是又存在的數確實是實數的一部分的。
這些數字就是“超越數”，超越數跟代數數之間的加減乘除和各種運算、超越數互相之間的加減乘除和各種運算都被囊括在“實數”內。
比如說，10/π存在嗎？答案是，存在。這個數字就在數軸上，它的大小是
X.XXXXX
……這個數字的特點就是跟π相乘等於10，用這個數字作為圓的直徑的時候，圓的周長是10。
你可能會奇怪，一個無理數10/π跟另一個無理數π相乘，怎麼反而是一個有理數了？這個沒辦法，因為這個數字10/π確實存在，它的唯一定義就是：它是一個“跟π相乘結果等於10”的數，除此之外，沒有任何意義。你不要管這個數字你寫不寫得出來，有多奇怪的性質，但是它就是存在——這就是數學不講理、但是又符合邏輯的地方。
我們需要這個數，這個數字就出現了，我們只知道他在數軸上，但是除此之外對它一無所知——換句話，實數軸就是一個寶庫，我們可以從中找到各種我們需要的東西，因為實數軸是“連續的”，上面有任何我們需要的數。
甚至於你說數軸上有通過有理數、代數數、超越數加在一起還構造不出來的數嗎？這個其實我也不知道，你知道嗎？
所以說，對數學不能較真，或者說數學本來就是超越我們“直觀認識”的存在，有些時候只有定義，而沒有你能夠看到、感受到甚至於構造出來的“實體”。
航小北的日常科普
圓周率很早就被嚴格證明為是一個無理數，這意味著圓周率無法用分數表示，而它的小數點後是無限且不循環的。如果圓周率是擁有無數位不循環小數的無理數，那麼，圓的周長可以是有理數（比如整數）嗎？圓的周長又怎麼會是一個確定值呢？
從數學上能夠證明，任意一個圓的周長和直徑之比都是相等的常數，這就是圓周率。反過來，圓周率和直徑的乘積即為圓的周長：
C=πd
如果圓的直徑是有理數，那麼，它與無理數的圓周率相乘之後所得的圓周長必然為無理數。
另一方面，如果圓的直徑是某些特殊的無理數，那麼，圓的周長將會是有理數，甚至整數。只要直徑取以π為分母的數，例如，直徑取10/π，那麼，這個圓的周長為10，所以圓的周長不但可以為有理數，而且還能為整數。
雖然圓周率是算不盡的，但這並不意味著它是不確定的未知數。圓周率就是一個常數，它的數值是完全確定的，它可以在數軸上標註出來，這就像諸如根號2等無理數一樣，因為它們都是實數。既然圓周率是一個確定的常數，那麼，圓的周長自然也能夠依據直徑而確定下來。
需要強調的是，無論是在二進制、十六進制或者其他進制下，圓周率的無理數性質是不會改變的。而如果在π或者nπ進制下，圓周率成為了有理數。在這種情況下，圓的直徑和周長都只能是無理數。
在我們已知的宇宙中，時空本身的構造決定了圓周率就是這樣特殊的無理數。倘若平行宇宙存在，那裡的數學家或許會證明出圓周率是一個有理數，而他們所畫出的圓也很可能會不同於我們宇宙中的圓。
火星一號
首先，π確實是無理數，這點早已得到證明，懷疑π在很多很多位數開始循環的人可以歇歇了！關於π（其他無理數也是一樣），很多人經常有一個誤解，因為π是無理數（無限不循環小說），很多人會認為π是一個不固定的數或不準確的數！
其實並不是這樣的，π與自然數一樣，都是固定的準確的數，有些人可能會說，既然π是一個固定的數，為何寫不出來呢？
這就是思維的侷限性，完全可以寫出來，它就是π！固定的數並不一定非要用小數表示出來，同理，√2也一樣，它就是√2，一個固定的數。如果你非要用小數表示出來，有理數也並不定都能用小數表示出來，比如1/3，你能用小數表示出來嗎？0.333……，你寫到天荒地老也寫不完！
明白了這點，圓的直徑和周長是無理數還是有理數就不再有任何問題了！
舉個例子，隨便畫一條線段，可以肯定的是這條線段的長度肯定是固定的，這點毫無疑問，是固定的並不意味著一定是有理數，也可以是無理數，比如說理論上你完全可以畫出一條π釐米長的線段，但這並意味著你可以用尺子測量這條線段的精確長度！
比如，我們可以在數軸上畫出π釐米長的線段，當然你無法測量是否真的是π釐米，理論上肯定是存在的，這更多的意味著π對應著數軸上的一個點！
實際上，不要說測量π釐米長的線段，任何長度的線段我們都無法準確測量出，比如說1釐米的線段，你能準確地測量出1釐米的線段嗎？並不能，這就是數學概念和現實的差距，理論與實際的差距！
最後說一點，其實根本不用這麼繞來繞去的分析，只要明白一點，π與任何自然數一樣都是固定的數，這就足夠了，固定的數對應圓的周長或直徑都可以存在，不管是有理數還是無理數！
宇宙探索
本題，涉及第二次數學危機。本文，涉及兩大物理運動。道理很簡單，恐鴕鳥心態。
無理數與有理數的本質區別
無理數的本質，既不在於是否整除，也不在於是否循環，而在於小數點最後位值的“不定性”與“皆趨零”，即：
末位值ε=a×10⁻ⁿ(a=1,2...9; n→∞)是一個趨近零的未知數，即：
∀εi→0且∀εi≠0且∀εi≈0，
末位的無窮小量εi包括：ε₁=1×10⁻ⁿ, ε₂=2×10⁻ⁿ, ε₃=3×10⁻ⁿ, ε₄=4×10⁻ⁿ, ε₅=5×10⁻ⁿ, ε₆=6×10⁻ⁿ, ε₇=7×10⁻ⁿ, ε₈=8×10⁻ⁿ, ε₉=9×10⁻ⁿ。
這些不確定的無窮小量，正是無理數對間斷點填空的緻密性與連續性的純幾何意義。
事實上，我們只能說n→∞且n≈∞且10⁻ⁿ→0且10⁻ⁿ≈0，因為無窮大與無窮小，既無意義也不存在，或者只存在於純主觀意淫中。
請看圓周率：π=3.1415926...，即：
π=3×10⁰+1×10⁻¹+4×10⁻²+1×10⁻³+5×10⁻⁴+9×10⁻⁶+2×10⁻⁷+6×10⁻⁸+...+a×10⁻ⁿ
只有最後一位的絕對無窮小“ε=a×10⁻ⁿ”，才是無理數的決定值。前面的總和卻是有理數。
我們完全有理由推出：無理數的本質是：有不確定的可逼近零的末位無窮小。
就物理學而言，無理數來自曲線運動軌跡，而曲線運動總是指向某點切線方向，可見：
無理數對應切向二維運動，即：f(r,θ)=re^iθ，有理數對應徑向一維運動，即：f(r)=rtgθ。
曲線運動的切向，取決於曲率半徑，曲率是絕對在變的，故有不定性或無理性。
直線運動的徑向，取決於直線斜率，斜率是相對不變的，故有確定性或有理性。
如果曲率足夠小，即令：re^iθ=rtgθ，有：e^iθ=tgθ=ε，θ=π×10⁻ⁿ(n→∞)→0。
這與lim f(n→∞)=lim sin(10⁻ⁿπ)/(10⁻ⁿπ)=1異曲同工。注意到：x→0, lim(sinx)/x=1。
現在可以討論本問關於圓周長的題設
根據定義，圓周長=直徑×圓周率。
其中，直徑(d)屬於徑向之線性參量，只屬於不為零的有理數(R)，即：d∈R(R≠0)；圓周率(π)是無理數。
顯然，非零有理數×無理數≡無理數。圓周長=非零有理數×無理數≡無理數。
因此，假設圓周長是例如為10的整數，是純屬想當然莫須有的。任何圓周長都是無理數。
因此，假設圓周長是有理數，本身就不成立，如果圓周長是有理數，直徑就只能是無理數，直徑就意味著是切向運動，這顯然是荒唐的。
不過，說“有理數是離散性的，無理數是連續性的”，是純屬理論性的假設或臆斷。
這很容易證明。無理數，除了不確定的末位無窮小，其餘數位值，都是有理數。有理數也可以無限精準到或連續每個非無窮小的每個細節。
小結：
有理數，只能對應徑向運動的直線方程與直徑參量，其斜率是相對不變的物理量。
無理數，只能對應切向運動的曲線方程與周長參量，其曲率是絕對變化的物理量。
無限循環小數的末位是係數明確的無窮小。無限不循環小數的末位是係數不定的無窮小。
明白了有理數與無理數的本質區別，明白了第二次數學危機的根源(見筆者前文)，還惑嗎？
Stop here。物理新視野與您共商物理前沿與中英雙語有關的疑難問題。
物理新視野
這個問題其實很簡單，只須將已知數C=10代入公式π=C/R，即可求出R值，R=10/π。因此，只有π是無理數，而周長和直徑，即可以是無理數，也可以是有理數，當週長為有理數時，直徑必為無理數值，當直徑為有理數時，周長必為無理數值。無理數的存在，是線段不可公度所致，並不是某個圓周長和直徑真的有無限長，所有圓周長和直徑的長度，都是有限的，從這一點上講，前輩數學家將圓周率算成無限不循環小數，是不對的！求圓周率應該是求極限，而不是求它必須無限精確。這就如同芝諾悖論裡的阿基里斯，本來人在有限的距離和有限的時間內，完全可以追上烏龜，卻被芝諾先生乎悠的永遠追不上，圓周率若按前們算成的無限精確，則任何人都不能畫出圓來，因為畫圓人象芝諾的阿基里斯一樣，阿基里斯一直在追龜途中停不下來，畫圓人也應按前輩的無限精確，將圓一直劃下去，這麼荒唐的事，人人心知肚明，卻無人敢提出反對意見。實際上，無論是有理數，還是無理數，它們都只能表達相對精確度，因為絕對精確不存在，在實際應用中，大家都是用相對精確解決問題，無限精確沒有實際運算意義，弄不好，還會出現人追不上龜的荒謬。大自然有她的精湛選擇，她選擇了黃金比例構造圓，僅用黃金數0.618的前三位小數，作為比例常數，就使圓甄於完美，很好的體現了任何圓周長都是有限的事實。"割圓法"和“無限級數法"那個無限性，都不符合客觀實際，圓內接正多邊形的邊數，沒有無限趨近圓，極限是正100邊形！這是可證明的科學事實，是由幾何常識所決定的，只是前輩數學家們沒有發現，平直和彎曲是直接相聯繫的，3.6度圓心角所對的弧是直線，100個頂角為3.6度的等腰黃金三角形組成一個圓，故圓周率π=3.09，證明過程從略。
長眉1958
周長公式C=2πr，如果半徑是5/π那麼周長就等於10了，所有長度都存在，好比一個長度為10的軟皮尺可以圍繞出來任何形狀的周長。
實際上π是無理數，也就是說周長與直徑的比，那麼周長可測麼？根據測不準原理周長沒有準確數值。那麼直徑可測麼？也是測不準的，所以π也就成了無理數。
因為π是通過微分計算出來的，微分的周長不等於實際周長，但永遠在靠近實際周長，也就是這個數字π在不斷接近一個數值，所以π是無理數。
實際上說周長為10也只是理想的數值，好比數學有直線概念，數軸的概念，事實上都是理想模型，宇宙中並沒有直線，只有曲線，所以說宇宙沒有邊界，因為沒有直線，也沒有上下左右，也就不存在邊界了。
無理數就因為他是微分出來的，所以數值一直在變。
因為周長無法測量（測不準原理），所以我們把圓分成無數份後才接近實際周長。
法永禪師
這數學學得，我也是無語了。正常的邏輯是，如果有一個確定的長度比如1米做直徑，則圓周長要乘以π，所以是無理數。反之，如果將一個比如10米長的繩子，彎成一個圓周（當然是整數啊），則其直徑長度要由周長除以π，所以也是無理數。換句話說，圓直徑和周長可以一個是有理數，另一個是無理數，但不可能兩個同時是有理數。
姜冠亭
兀本身是個比值，應該是個固定值。只是我們沒有找到最科學、巧妙的方法，現在的計算方法只是無限接近但不是標準值。
圓周率（Pi）是圓的周長與直徑的比值，一般用希臘字母π表示，是一個在數學及物理學中普遍存在的數學常數。這段是定義。
彭洲子
周長當然能是整數。拿你說的周長10來說，半徑=10/2兀（派打不出來）周長就是整數。
我們說兀（派打不出來）是數軸上確定的某一點，那麼同樣10/2兀（同樣是數軸上某一確定的點），同樣是個無限不循環數。
那些拿周長為10的繩子擺個圓的估計要失望了，幾何方法沒有辦法做出周長為10的圓，只是理論上存在周長為10的圓。所以抱歉，你們的繩子退休了。
唐宋文盲
你這個推理不完整。
前提條件：周長=圓周率×直徑，意味著有理數×無理數=無理數。
圓周率是無理數，如果直徑是有理數那麼周長肯定是無理數。
你沒有說關鍵一句，直徑是有理數。所以，直徑如果也是無理數，那麼周長也有可能是有理數。
強調三遍：直徑是不是有理數這是關鍵。
