開始

懂概率的3個層級

1

懂得概率的人，才是真正聰明的人。

因為這個世界，不管是世俗層面，還是宇宙層面，都是依照概率運行的。

至少，概率包裹著人類的無知的最外面那一層。

然而，這個世界上極少有人真的懂概率。

我把“懂概率”分為3個層級：

層級一：懂概率計算；

層級二：懂概率思考；

層級三：懂概率行動。

這三個層級未必是遞進的關係。

a、

你是概率計算高手，也會艱深的概率思考，但未必一定是個概率行動高手。即使天才如凱恩斯，也是歷經多年磨難，才最終躋身“層級3”；

b、有些人壓根兒不會基本的概率計算，也不知道什麼叫概率思維，但天生就是概率行動高手。例如那些德州撲克高手，交易員鬼才等等。

這或者是因為他們小時候的生活環境是個天然的概率訓練場，或者是因為大腦本身就是一個概率機器。

2

有多少人懂得概率計算？

大約1%吧，實話說可能更少。

懂得概率計算的人裡，有多少人懂得概率思考？

再來個1%。

懂得概率思考的人裡，有多少人懂得概率行動？

還是1%吧。

不過，這麼一算，全世界沒多少人真正懂得概率行動了，而且這樣計算也違背了我上面所說的，有些人天生就會概率行動而無需會計算。

所以，修正一下，把後面的兩個1%改成10%。

於是，可以得出，有意識的概率行動者，大約萬分之一。

也就是說，在千萬級人口的城市裡，有幾千個“概率高手”。

你可能會說，不對吧，北上廣深這些千萬人口城市，每個地方光是億萬富翁都不止幾千個吧？

有錢人雖然多，但很多隻是靠運氣，屬於“隨機漫步的傻瓜”，而非概率高手。

那麼，“孤獨大腦”公眾號的訂閱者接近50萬，其中的概率高手只有不到50個人嗎？

留個懸念，在文章最後揭開。

層 級 一

概率計算

1

假如想應對這個世界上的不確定性，與隨機性共舞，你必須懂得概率計算。

那麼，一個普通人到底要掌握多少概率公式，才夠用呢？

我的答案是：零。

沒錯，你一個公式都不用記。

愛因斯坦說：

“科學知識不是大量莫名其妙的結論，它是每個人按照正確的思維方式自己應當並且也能夠推導出的結論。學習科學的過程，就是自己得出這個結論的過程。”

概率的公式本來就很簡單，假如你能夠拆掉這些公式，自己從頭推導，你就永遠不用去記這些公式。

對於那些熟悉概率公式的人，我也建議你一起來一次“從頭推導

”，這樣你就會發現，幾乎可以解決所有的“難度達到硅谷面試題級別”的概率趣題，絕對橫掃“俗人圈兒”。

2

如何從頭推導？

我想和你分享的是“平行宇宙法”。

比方說，我們扔一個標準的六面骰子，眾所周知，你得到任何一個面的可能性都是1/6。

但是很多人即使懂得這個簡單的道理，也沒法從感官上理解。他會想：骰子落地，只會100%是某個數字，1/6有什麼意義呢？

就像我有次和一個朋友聊特斯拉電動車的自燃率。我告訴他根據行駛里程，特斯拉官方公佈的自燃率比燃油車低500%。

這個朋友說：不管你特斯拉總的自燃比例有多低，（一旦發生）對任何一個車主而言就是100%……電動車自燃也許是小概率事件，但對涉事車主來說，卻是百分百的噩耗。

這就是聰明的概率無知者。

其實特斯拉的說法也有漏洞，因為他們應該和同等車齡同等級別的車對比，才夠公平。不過，這個就是更聰明的人才能提出的問題了。

回到我們的“平行宇宙法”：

一個骰子在你扔出的瞬間，現有的宇宙分裂成了6個平行宇宙，如下：

所以，儘管現實中，看起來骰子落地的時候，只會是某個確定的一面朝上，但是當你（不作弊地）隨機扔出骰子的時候，骰子的未來就分裂成了6個平行宇宙，分別是骰子落地之後的6個結果：1，2，3，4，5，6。

但是，我們的現實，只能選擇6個宇宙中的一個。

因為標準骰子的六個面是一樣的，所以6個宇宙平分了“未來的可能性”。

所以某一面出現的可能性，也就是概率，是1/6。

那麼，扔一個骰子，得到偶數的概率是多少呢？

把2、4、6三個平行宇宙的三個1/6加起來，等於1/2。

懂得概率計算的人，一定會對我如此囉嗦表示不屑，請堅持一下，再往下看。

3

“平行宇宙論

”，也叫多重宇宙論，或者叫多元宇宙論，指的是一種在物理學裡尚未證實的假說：

在我們的宇宙之外，很可能還存在著其他的宇宙，而這些宇宙是宇宙的可能狀態的一種反應，這些宇宙可能其基本物理常數和我們所認知的宇宙相同，也可能不同。

多重宇宙這個名詞是由美國哲學家與心理學家威廉·詹姆士在1895年所提出的。

平行宇宙經常被用以說明：一個事件不同的過程或一個不同的決定的後續發展是存在於不同的平行宇宙中的。

（以上來自維基百科）

我個人對平行宇宙的理論不太感冒，但覺得用它來描述概率，非常直觀。

而且，這能夠讓我們從哲學和“實在”層面，去理解概率裡的“發生”和“未發生”。

例如，假如一件事情發生的概率是80%，但結果這件事情並沒有發生。很多人會據此懷疑概率的意義。

藉助於平行宇宙的理論，我們就能說，除了要驗證80%發生概率的精確性，可以認為我們掉進了20%“不發生”的平行宇宙，這並不奇怪。

最近有位物理學家認為，我們處於上層宇宙的一個黑洞中。

這個新觀點頗讓人震驚：我們所知的宇宙，可能是從其他宇宙裡面的“黑洞”誕生而來。大爆炸就是一個黑洞“炸出”另一個宇宙的過程。

我們對於充滿不確定性的未來，對自己似乎“命中註定”的命運，對於比電影還要精彩（或是“還要悲催”）的現實，不可避免地會有一些疑惑和感慨。

4

讓我們回到現實世界的概率話題。

現在我們把問題變成扔兩個骰子。

請問扔兩個骰子，得到兩個6的可能性是多大？

太簡單了，1/6✖️1/6=1/36。

但是，為什麼要這麼計算呢？

我知道你懂“兩個獨立事件A和B同時發生的概率等於A發生的概率和B發生的概率的乘積”，可我們說好了不用公式的呀。

所以，讓我們繼續用平行宇宙的可視化計算法。

扔兩個骰子，其實是它們的宇宙分裂了兩次，如下圖：

第一次：扔第一個骰子時，宇宙分裂成了六個（綠色）；

第二次：扔第二個骰子時，每個綠色的宇宙又分別分裂成了六個（藍色）。

於是我們得到了36個平行宇宙。

現在我們來找一下，在36個平行宇宙裡，有多少個是兩個骰子都處於6的狀態。

答案是隻有一個（在右下角），所以，得到兩個6的可能性是1/36。

用“平行宇宙法”，看起來複雜，但直觀，而且可感知。

這正是愛因斯坦所說的：

每個人按照正確的思維方式自己應當並且也能夠推導出的結論。

更關鍵的是，我們可以用這種零公式的方法，來解答更難的題目。

5

目前《老喻的人生算法課》正在“得到App”上賣，為了促進銷量，主編要我在該App的社區“知識城邦”上陪聊。

大部分問題都是人生和工作難題，我儘量顯得機智而有誠意地回答（目前已經快裝不下去了）。偶爾也有數學題，例如下面這個：

這個問題看起來簡單，我猜90%的人不會做。

會做的那10%，其中可能只有1%能說明白為什麼這麼做。

讓我繼續採用“平行宇宙法”清清楚楚地算一遍。

如題，因為1也可以是3，所以我們可以把問題簡化，單個骰子得到3的概率是2/6=1/3。

在下圖中：

• 用紅球來標記1和3，出現的概率是1/3；
• 用黑球來標記其他可能，出現的概率是2/3；
• 扔三個球，作為獨立事件，相當於爆炸了三次，如下圖。

分裂了三次之後，一共產生了3✖️3✖️3=27種可能。

我們來檢查一下，這27個平行宇宙中，有多少個是兩個紅色球？

如圖，從右側回溯到左側，每條線上的三個球，就是該平行宇宙下的三球分佈。

其中，畫紅鉤的6個符合條件。

所以，答案是：6/27=2/9。

我們也可以用排列組合法來做：

1/3✖️2/3✖️1/3✖️3=6/27=2/9。

但我們說了，不用一個公式。

（開始提問者後半截的問題，搖骰子，得到三個3（1也可以是3）的概率是1/27。）

6

下面這道題，已經進入高手級別了，但是我們依然不用任何公式。

更好玩兒的是，你甚至可以用下面這道題讓普通人迷惑的地方，在酒吧裡和人打賭。當然，不是真賭哈。

帽子裡有三張卡片。一張兩面都是紅色（“紅-紅”），一張兩面都是白色（“白-白”），一張一面紅色一面白色（“紅-白”）。

從裡面隨機抓出一張卡片扔向空中，落地後紅色一面朝上。問：這張卡片是“紅-紅”的概率是多少？

請你準備三張紙片，寫成上面的樣子，以便更直觀地思考。

看起來很簡單啊，根據已有信息，這張牌要麼是（“紅-紅”）那一張，要麼是（“紅-白”），二者出現的可能性是一樣的，所以是“紅-紅”的概率是50%，不是嗎？

正確答案是：2/3。

《不確定世界的理性選擇》一書中，對此給出了清晰直觀的解答。

正確的問題表徵是根據卡片的面，而不是整張卡。所有結果的樣本空間包括六個 事件——每張卡片的每一面各為一個事件。由於紅色的一面向上，因此在“有效樣本空間”中共有三個事件：紅白（紅面向上）、紅-紅（一個紅面向上）、紅-紅（另一個紅面向上）。因此正確答案是 2/ 3——三個等概率事件中，其中兩個是紅-紅。

我們的錯覺在於，紅-紅這張牌每回只能出現一次，為什麼其兩面可以“拆”成兩個獨立事件呢？

我們用窮舉法，以“概率樹”的形式，也就是我們上面所說的“平行宇宙法”，加上書中的配圖（如下），更容易理解：

三張牌可以分裂成（上圖右側的）6個平行宇宙，牌面是紅色的有3個，這3箇中，有2個是紅-紅牌。

你看，這道題看似非常簡單，能答對的人極少。而且會有人看了答案都不服，最好的辦法就是做三張牌，實際玩兒上幾把，不服就來真的。

7

其實，“平行宇宙法”就是一種窮舉法。

只不過我把動態過程加進去，因為有了時間、空間，以及“分裂”這個動作，我們就可以讓這個計算過程可視化，可感知。

這樣以來，也就更可以在“為什麼”的基礎上思考。

“為什麼”，是一個非常偉大的詞彙，本系列文章的後兩篇，“為什麼”是主角之一。

追問“為什麼”，也是概率計算的“第一性原理”。

一旦做到了這一點，你就是真正聰明的概率高手。

8

能否進行概率計算和思考，的確是評判一個人是否真聰明的硬指標。

1968年夏天，愛德華·O·索普遇見了沃倫·巴菲特共進晚餐。索普是一位數學家，曾經在賭場攻克了21點遊戲，後來又在資本市場上大展身手，是量化金融的先驅。

兩個聰明人在一起自然要過招。巴菲特決定考驗一下索普，題目如下。

有三個奇異骰子，每一個骰子最多有2個或3個不一樣的數字。用這些特殊的骰子來玩1個賭博遊戲：你可以選這3箇中“最好”的那個，而我拿剩下的2箇中“最好”的。我們一起擲出，數字大的獲勝。即便你選擇了那個你認為“更好”的骰子，我也總是能夠從平均統計值上戰勝你。對絕大部分人來說，這裡最不可思議的一點在於，根本不存在所謂“最好”的骰子。

坦率說，這個題目讓許多人困擾，因為他們認為應該遵守數學上所謂的傳遞規則：若A優於B，B優於C，則A優於C。

索普答出了巴菲特的難題。

如果骰子如下：A的六面數字是（3，3，3，3，3，3），B是（6，5，2，2，2，2），C是（4，4，4，4，1，1），

那麼統計平均顯示，A對B的勝率有2/3，B對C有5/9，C對A有2/3。

所以說，這是三個非傳遞骰子，不管你先選哪一個，我都能找出一個在概率上贏了你。

什麼意思呢？我們繼續用基於“平行宇宙法”的窮舉法，來證明索普的結論。只是我不再能畫成簡單的分叉圖了。

以B對C為例，示意如下：

橫向的紅色，是B的六種可能。縱向的藍色，是C的六種可能。

二者對決，36個格子就是36種可能，也就是說，會有36個平行宇宙。

這當中，紅勝20次（打紅鉤的情況下），所以B的勝率是20/36=5/9。

你看，全世界最聰明人的難題，也不用一個公式，就能夠解得清清楚楚。

8

概率計算，普通人只要知道這麼多，就夠了嗎？

幾乎是。

但最好再加上另外一種，就更完整了。

我們先來一道傳說中的谷歌面試題：

假設在一段高速公路上，30分鐘之內見到汽車經過的概率是0.95。那麼，在10分鐘內見到汽車經過的概率是多少？（假設缺省概率固定）

解題思路如下：

1、可以把30分鐘的這個結果，當作是三個10分鐘的疊加，就像扔三個骰子一樣；

2、30分鐘之內見到汽車經過的概率是0.95，可能是經過一輛車，也可能是幾輛車。所以我們就倒過來想，30分鐘見不到任何車的概率是0.05。

3、30分鐘見不到任何車，意味著三個10分鐘，連續都見不到任何車。我們假設每10分鐘見不到車的概率是y。

所以，這三個10分鐘同時發生見不到車的概率，就是y✖️y✖️y，原理和上面第“4”節的思路一樣。

因此在10分鐘內見不到任何車輛的概率，是0.05的立方根。

而在10分鐘內見到一輛車的概率，則為1減去此立方根（因為“見到車”和“見不到任何車”的可能性之和為100%）。

答案是大約63%。

9

類似思路的“用1減”，最有名的題目就是所謂的“生日悖論”：

如果在一個房間，至少要有多少人，可以令“其中某兩個人的生日是同一天”的概率大於50%?

答案是23人。

這個數字遠比直覺要低得多。我很早以前喜歡拿這個錯覺和人打賭，贏了好多回。

具體計算方法也不難，簡述如下：

1、這個問題也要倒過來想，計算連續多個人生日都不重合的概率；

2、我們假設人們是按順序一個個進入房間。第一個人隨便佔了365天的一天，概率是365/365；

3、第二個人只有佔剩下364天的一天，才能不和第一個人重合，概率是364/365；

4、依次類推，第三個人只有佔剩下363天的一天，才能不和前兩個人重合，概率是363/365；

......

前五個人生日完全不重合的概率是：1×364/365×363/365×362/365×361/365=97.3%。

也就是說，看起來似乎不重合的可能性很大。

但是隨著人數的增多，不重合的可能性加速降低。

這有點兒像另外一種形式上的“複利效應”。

當人數達到23的時候，不重合的概率已經低於50%了。

當房間裡有50人時，至少有兩個人生日重合的概率已經高達近97%了。

類似的算法，還可以用來在飯桌上打賭，至少有兩個人是同一個星座。

請問，飯桌上有幾個人的時候，你願意和別人打這個賭？

10

即使我宣稱了“零公式”，你能堅持看到這裡，也很不容易。

但絕對是值得的。

據科學家說，人類的大腦可能天生就是一個懂得貝葉斯概率算法的機器。

但只是一個隱形的機器。

事實上，人類很晚才懂得如何計算概率，所以人類大腦很難對概率計算形成直覺判斷。

計算機、大數據、人工智能的加速發展，以及金融市場和全球化經濟的進程，令概率成為現代人必備的“底層算法”。

本文是系列文章的第一篇，後面兩篇會接著寫“概率思考”和“概率行動”。

開始有個小懸念：“孤獨大腦”公眾號的訂閱者接近50萬，如果按照萬分之一的概率，其中的“概率高手”只有不到50個人嗎？

當然不是，聰明如你應該知道，讓人頭疼的公眾號吸引的大多是願意動腦的聰明人。

所以，孤獨大腦訂閱者中概率高手的“基礎概率”更大。