歲月是把殺豬刀，也是一把豬飼料。歷史長河，幾千年不過是彈指一揮間；而幾千年時間卻足以留給世人無盡的財富和數不清的謎團。

古埃及文明可以追溯至公元前6000年，但他們的足跡大部分在歷史中湮滅了，現存的諸多輝煌中，最讓我們震撼的莫過於“世界八大奇蹟之一”的金字塔。金字塔有著許多的未解之謎，它在結構上的驚人設計、及多種測量數據的巧合，更為其增添了幾分神秘色彩。

金字塔

我們都知道，金字塔的底部多為正方形，而且角度誤差極小，古埃及人在科技落後的情況下，是如何保證邊之間的垂直關係的呢？要知道金字塔的底長在200米左右，稍微的誤差都會讓金字塔“變形”。有一個合理的解釋是，古埃及人早已掌握了“勾股定理”，並能將其運用於生活：

如上圖，準備一根長繩，然後在每個12等分點處打結，並以3:4:5的關係拉緊成三角形，這樣長邊所對的角即為直角。是不是很巧妙，古埃及人利用3:4:5的邊長關係，成功構造出了直角三角形。什麼原理呢？勾股定理能出合理解釋。

勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。反之，如果一個三角形，其中兩條邊的平方和等於另一邊的平方，那麼，這個三角形是直角三角形。

從古至今，沒有一個數學定理像“勾股定理”這樣受到人們的特別關注和熱愛。 普林頓（Plinpton）322 泥板顯示，古巴比倫人至少在公元前1600年就已知曉這個定理。我國古代數學名著《周髀算經》也明確有“勾廣三,股修四,經隅五”的特例記載，這也是‘勾股定理’一詞的來源。

在歐洲，古希臘數學家畢達哥拉斯最早發現了“勾股定理”，據說為此該學派還殺了一百頭牛來慶賀，故在西方，“勾股定理”除了叫“畢達哥拉斯定理（Pythagoras theorem）”外，又名“百牛定理”。其他的古代文明，如古印度、古阿拉伯也都有勾股定理的記載。

勾股定理被發現以後，證明方法就層出不窮——如歐幾里得證法、“趙爽弦圖”證法、總統證法等，據統計，到現在已有500多種。對

勾股定理的“實驗驗證”

那勾股定理到底有多重要呢？ 我們不妨做一個假設：

一、數系擴充受阻

數系從易於感知的自然數開始，經過不斷的擴充，到今天才達到完備的狀態。零、負數、虛數的發現都有其獨特的歷史印記，而無理數的發現尤為人們津津樂道。

公元前500年，畢達哥拉斯學派的希伯索斯（Hippasus）在研究“勾股定理”時，無意間發現了一個驚人的事實：一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的——即，邊長為1的正方形的對角線長不能用整數或分數表示。

這是對畢達哥拉斯學派所崇尚的“萬物皆數”理論的致命一擊，由此帶來的“第一次數學危機”更是許久未平。當然，數學發展史上的每一次挫折都是一場革命，隨著危機的解決，數學研究中新的血液也會隨之輸入。這一次，數系中加入了一位新成員——“無理數”。

儘管√2不是被發現第一位無理數——因為關於圓周率π的發現也許更早，但古人在實際應用中只考慮π的近似值，並沒有認識到它的“無理性”。是√2迫使人們去思考還存在著與“整數和分數”不一樣的數，進而想辦法擴充數系，解決矛盾。所以，√2的發現大大促使了數學家發現無理數的進程，而√2的發現無疑是依賴“勾股定理”的。

難以想象，如果沒有“勾股定理”，我們現在的”數系”會是怎樣？會不會人們至今仍然不去考慮圓周率π的無理性，更不會思考自然常數e與分數有何不同？

二、數論將失色不少

√2是“勾股定理”在幾何與代數兩個領域的融合產物。如果從數論上分析，我們又可以得到些什麼結論呢?

滿足勾股定理的三元數組（a,b,c）（其中a,b,c均為正整數），叫做勾股數。如（3,4,5）即為一組勾股數.

通過簡單的運算可知，勾股數可以表示為如下的形式：（2mn·k，(m²-n²)·k，（m²+n²）·k）

*如果將定理中a²+b²=c²的平方改成立方，是否也有解呢？*

17世紀的著名數學家費馬在閱讀丟番圖《算術》時，在第11卷第8命題旁寫道：

丟番圖《算術》及費馬註解

“將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信已發現了一種美妙的證法 ，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。”

費馬大定理

費馬的這個牛皮真是吹大了，這個看似簡單的數論題目，難倒了幾個世紀的頂級數學家——其中包括歐拉、勒讓德、高斯、狄利克雷等。在猜想提出300年後的1995年，才被英國數學家安德魯·懷爾斯徹底證明，這個證明過程包括兩篇文章，共130頁。

費馬

儘管費馬大定理被證明是20世紀的事，但在300年間為了研究它而付出的努力、和得出的結論已遠遠超出問題本身。而這一切都來源於對“勾股定理”的維數推廣，“勾股定理”將手伸到了數論。其實，遠不止此，“勾股定理”對解析幾何也有深遠影響。

三、解析幾何發展缺失

我們都知道，17世紀的笛卡爾和費馬獨立的發現了“座標法”——用代數方法解決數學問題，後來發展為數學的一個重要分支——“解析幾何”。但笛卡爾的座標系是“斜座標”，費馬儘管也使用“直角座標”，但他們使用的都是“單座標軸”（只有x軸）。無論從哪個角度來講，17世紀的座標法與現代意義上的“座標法”是差距較大的，而且理解難度也不在一個層次。

笛卡爾

現在常用的座標法之所以更簡單，除了是建立在“直角座標系”的基礎上以外，還因為引入了像直線斜率、距離公式等重要公式。尤其是距離公式，在解析幾何中的重要作用不可替代的。而公式的推導正是建立在“勾股定理”的基礎上。

四、三角學的不完整

三角學與“勾股定理”也有著密切聯繫，已知直角三角形兩邊、可以計算出另外一邊。另外，我們運用“勾股定理”可以在正弦函數與餘弦函數間隨意互換：

正弦、餘弦的互換

而作為“勾股定理”的推廣，“餘弦定理”的解三角形中充當了更重要角色。這些內容即使在今天，也是中學生必須掌握的重要數學知識。

以上列舉了“勾股定理”對幾個數學分支的影響，可以說，它已經滲透到了數學的方方面面，它給數學的啟發是無限的。

同時，“勾股定理”也讓人們的思維方式有了重大轉變，它告訴人們幾何與代數不是獨立的兩部分，兩者的融合有著巨大的威力，這樣的思維到了17世紀促使了“解析幾何”及“微積分”的發現。也讓更多的數學家有勇氣去挖掘看似毫無關係的事物、及學科間的關係。

閱讀更多 數學原來如此 的文章

關鍵字: 歷史 埃及金字塔 安德魯·懷爾斯