很多時候我們都會發現很多世界聞名的數學難題，困擾了人類幾百年，但是看起來卻如此之簡單。比如中國人民最熟悉的哥德巴赫猜想，其實就是一個鄉村教師，哥德巴赫在閒暇裡注意到的數學規律，寫給歐拉之後，經過歐拉之手推向整個數學界；再比如一個表述極為容易，但是證明卻毫無頭緒的“3X+1”猜想，也是一位數學家簡單概括就得出來的一個世界級巨難的問題。可見，數學問題的難度絕對不能以表面意思的難以來定論，今天的四色定理也完全是這樣的套路，
看似簡單，看似迷人，實際上折磨死人！
3x+1 猜想極其繁雜的迭代運算
1852年，倫敦大學畢業的一位製圖員格斯里，按部就班地在一家科研單位工作，他的主要工作就是繪製地圖。時間長了，格斯里逐漸注意到一個現象：任何一部地圖，只要用4種顏色就可以把所有的區域分隔開來，相鄰國家之間不會混淆。可以想象作為繪圖員的他，肯定保留著一貫的細心謹慎風格，在常年以往的繪圖工作中，他確信這個現象是真實存在的。於是他想著能否從理論上進行證明呢？他當然想做到這點，於是他找了正在讀大學的弟弟一起來討論，開始了理論證明的道路。然而，一開始，這兩兄弟並不知道這個問題的難度，做出了自己第一步嘗試。
他們做了大量的繪製工作，所用稿紙不計其數，但是收效甚微。只做驗算，永遠是得不到真正的證明的。還好，弟弟的老師德摩爾根是當時一位著名的數學家，請教他應該會有更好的結果。但是摩爾根在深刻思考之後，雙手攤開，也表示無能為力。於是老師也去請教了更厲害的人，德國著名數學家哈密爾頓，然而哈密爾頓在經過深思熟慮之後，也沒有從理論上給出證明，這份遺憾直到1865年哈密爾頓去世都沒有彌補完全。
地圖繪製員的偉大猜想——四色猜想
1872年，英國數學家凱利正式向倫敦數學會推薦了這個問題，從此四色問題登上世界數學舞臺。這個問題看起來如此淺顯易懂，而且很容易嘗試，吸引了一大批優秀的數學家前赴後繼地研究。很快，數學界傳來了第一個研究成果，1879年，一位叫肯普的律師兼業餘數學家（很熟悉吧，費馬的職業跟他一模一樣）發表了第一個理論證明。這個證明在很長時間內都獲得了數學家們的認可，人們以為四色猜想從此就成為定理，事實上從這之後，人們習慣了就叫四色定理，即使這個問題沒有被解決。也許有已經稱呼習慣了不想費事再去改正的原因，也從另一方面說明了，人們對此四色問題的深信不疑。然而，10年之後，1890年，數學家希伍德用精確計算的方式發現了肯普的證明存在嚴重的錯誤，對此肯普本人也承認，其實他更加願意承認的是他沒有能力去彌補這個巨大的缺陷。
世界由4種色彩構造
此時人們才意識到，這個看似淺顯的問題可能是堪比費馬大定理的歷史級猜想，絕對不是什麼輕而易舉就可以解決的問題了。因此，四色猜想也和費馬大定理，哥德巴赫猜想一起並稱世界數學三大難題。順便說一下，到目前為止，這個三個問題中，只有兩個已經完全解決了。
雖然如此，肯普的方法仍然具有很大開拓性作用，他採用了一種叫做歸謬法的證明方式，這個方法的思路是：
先假設四色猜想不真，那麼就會有五色地圖，而五色地圖中也必定會有最小的一個，但這最小的五色地圖中一定存在不可避免域，如果不可避免中有可約域，那麼把可約域去掉後就會得到更小的五色地圖，這與假設相矛盾，說明五色地圖不存在。
人們在20世紀很長一段時間裡都是用到肯普的方法慢慢推進。1933年，美國數學家富蘭克林證明了22國（地圖上的區域）內，四色定理成立。1950年到1960年，人們理論證明的國家數量從22國推進到50國。可以看出來這種推進是多麼緩慢，就好像當年手工尋找黎曼非平凡零點一樣，一點一點何時才是頭啊。不過轉而一想，我們雖然沒有認真去研讀肯普的證明方式，但是也可以感覺到，肯普的證明需要大量的構型和計算量為基礎，區域比較少的時候，人們可以輕而易舉地去實現枚舉證明，但是數量一旦擴大到某個程度之後，構型和計算就變得極為困難，搞不好可能會演化成NP問題。可以想象，在沒有計算機的環境下，人們將四色定理的成立條件推進到50國是多麼艱辛的一個工作。
在中國地圖上手動驗算四色定理
20世紀下半葉，大型計算機的發展給了那些需要大量計算驗證的問題一個明顯的解決信號。在人工證明捉襟見肘的情況下，計算機決定正式迎戰四色定理。
超強計算力計算當今各種複雜問題
1976年，人們完成了數學史上重大問題的第一個機械式證明。美國數學家哈肯和阿佩爾，應用前人的創造的“放電”法，編寫了一個很好的程序，這個程序可以自行構造出一些特別的圖，並且可以迅速驗證這樣的圖是否可以只用四色。於是他們利用這個相當給力的程序構造了一個空前大的集合，這個集合的數量有1936種之多！對比之前人工取得的數量，這個數目實在太恐怖了。程序對每一張圖都進行了多達20萬次可能的著色方案試探，在美國的伊利諾伊大學裡，在兩臺計算機上這個程序運行了1200小時，做了200億次邏輯判斷，證明了這1900多種圖形中，沒有一種需要四種顏色以上才可以塗完，也就是說只要用4種顏色就完全可以繪製出這麼多種地圖了。工作進行到此，我們貌似就可以宣佈四色定理成立了！兩位數學家宣佈四色定理成立之後，當地的信封上蓋“Four colorssutfice”（四色足夠了）的郵戳，人們從各種渠道上開始傳播這個地方的人們獲得的巨大榮耀。
美國數學家 哈肯
前面說了貌似，事實上，從兩位數學家證明四色定理的方法一公佈，數學界的爭論就從來沒有停止過。發表一下我的看法，首先人們用計算機得出的結論肯定是正確的，因為驗算過程中的1936種構型完全超過了當今任何地圖的區域數，在這個數目以內的任何地圖都滿足要求。但是我的第一感覺就是，這樣的證明方式不漂亮，有點暴力計算的意思，我不否認計算機的強大計算能力在解決數學問題中起到的巨大作用，但是那些僅僅是做驗算給人類的核心證明打輔助而已。然而四色定理的證明方法卻完全一反常態，人類創造的一種算法，讓計算機的算力打頭陣，頗有些喧賓奪主的意思。
美國伊利諾伊大學
所謂窮舉法來證明問題，應該是計算機專家們相當信賴的法子，實在稱不上什麼高深的技巧。如果這種方式成為了解決重大問題的一般處理方法，人類就過於依賴計算力了，從而在某種程度上大大減輕了人類智力的巔峰考驗。我不認為這是一件特別值得慶祝的事情。
恐怕當今世界仍然沒有四色定理的理論證明成為了很多相關領域數學家的一塊心病，人們不願意承認，如此重大的一個問題是由計算機做出證明的。時至今日，研究四色定理理論證明的人仍然很多很多，只不過，我們悲觀地發現，當今還沒有任何一位數學家提出的理論證明獲得了大家的認可。
這裡，我們不是說哈肯，阿佩爾的工作意義不重要，相反地他們提出了一個全新的視角，開拓了人工智能和現代計算機分析技術。人們嘗試著從各種不同角度來解決四色問題的過程中，毫無意外地收穫了大量的數學方法，尤其是圖論和拓撲學兩大學科，都獲得了空前發展。
數學研究永無止境
然而人們的探索卻永無止境，只要有些許可能，人類必將付出百般努力，在這裡，向那些仍然努力尋找純粹四色定理證明的數學家們致敬！
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