波動力學和矩陣力學已經是人們習慣使用的量子力學處理方法，沒想到，還有人並不滿足於此，而是獨闢蹊徑，提出另一種數學處理方法，並且大獲成功。
美國物理學家惠勒在普林斯頓大學任教之時，手下最出色的學生是理查德·費曼。1942年，費曼在惠勒的指導下完成博士論文，取得普林斯頓大學的博士學位，這篇論文提出了量子力學的另一種數學表示形式——路徑積分。路徑積分現在已經成為量子物理學家們必不可少的工具。後來費曼獲得了諾貝爾物理學獎，成為美國最著名的物理學家之一。
11.1 路徑積分：所有路徑求和
瞭解路徑積分前需要先了解一個名詞——作用量。在經典力學中，作用量是一個很特別、很抽象的物理量，它表示一個物理系統內在的演化趨向，能唯一地確定這個物理系統的未來。只要設定系統在初始狀態與最終狀態，那麼系統就會沿著作用量最小的方向演化，這被稱為最小作用量原理。比如光在從空氣中進入水中傳播時，它所走的路徑是花費時間最小的路徑，所以會有一定的折射率。
經典力學體系的作用量在數學上可以用拉格朗日函數對時間的積分來表示，費曼注意到狄拉克1933年關於量子力學的拉格朗日表述，兩相對照，費曼找到了結合點，於是他把作用量引進了量子力學。1942年，費曼在他的博士論文中提出了波函數的一種“按路徑求和”的數學表達形式。
還記得概率振幅（即波函數）嗎？費曼從概率幅的疊加原理出發，利用作用量量子化方法完整地建立了他的路徑積分理論。其核心思想是：從一個時空點到另一個時空點的總概率幅是所有可能路徑的概率幅之和，每一路徑的概率幅與該路徑的經典力學作用量相對應。把作用量引進量子力學，費曼便架起了一座連接經典力學和量子力學的新橋樑。
簡單來說，這種方法要考察一個粒子（或者系統）從一點運動到另一點可能經過的所有路徑，每一條路徑都有自己的概率振幅，最終粒子的概率分佈由所有這些可能的路徑共同決定。
在這種方式下，費曼獲得了一個奇妙的世界圖像，它由時空中的世界線編織而成，萬物皆可隨心所欲地運動，而實際所發生的則是各種可能的運動方式的總和。
在《量子力學與路徑積分》這本著作中，費曼指出：“量子力學中的概率概念並沒有改變，所改變了的，並且根本地改變了的，是計算概率的方法。”
顯然，費曼的觀點與概率統計詮釋的精神是一致的，他並沒有與哥本哈根解釋相決裂。概率幅成為路徑積分的核心，費曼在一篇論文中曾說道：
“從經典力學到量子力學，許多概念的重要性發生了相當大的變化。力的概念漸漸失去了光彩，而能量和動量的概念變得頭等重要。……我們不再討論粒子的運動，而是處理在時空中變化的概率幅。動量與概率幅的波長相聯繫，能量與其頻率相聯繫。動量和能量確定著波函數的相位，因而是量子力學中最為重要的量。我們不再談論各種力，而是處理改變波長的相互作用方式。力的概念，縱使要用，也是第二位的東西。”
儘管我們可以在數學上把所有路徑的概率幅疊加來處理問題，但粒子如何能識破所有路徑的概率幅卻是令人費解的。所以連費曼都說：“概率幅幾近不可思議，迄今尚無人識破其內涵。”
11.2 路徑積分對雙縫實驗的解釋
費曼在路徑積分理論中提出如下原理：如果一個事件可能以幾種方式實現，則該事件的概率幅就是以各種方式單獨實現時的概率幅之和。
在我們熟悉的電子雙縫干涉實驗中，我們仍然每次只發射一個電子。在經典運動方式下，電子從A 出發落到屏幕上任意一點B 時只能通過1、2 兩條路徑到達（見圖11-1），那麼電子在B 點出現的概率幅ψ 就是路徑1 的概率幅ψ1 和路徑2 的概率幅ψ2 之和，即
但是，電子並不是經典粒子，那麼在量子運動狀態下，電子從A 到B 有多少條可能的路徑呢？如果我們能找到所有可能路徑，那麼就能計算出電子出現在B 點的概率。我們來設計一個稍微複雜一點的情況。我們在雙縫和屏幕間再插入一塊板，板上有三條狹縫，如圖11-2 所示。按經典路徑，那麼現在從A到B 有6 條可能路徑，於是電子在B 點出現的概率幅就是從路徑1 到路徑6 的概率幅之和，有
現在，讓我們想象一下，如果在插入的板上刻出更多的狹縫，4 條、5 條、6 條……兩條狹縫之間的距離越來越小，當狹縫數目趨於無窮時，會有什麼效果呢？對了，那就是——這塊板不見了，就跟沒有這塊板一樣！
雖然空空如也，但我們可以認為在從A 到B 的空間裡插滿這種有無窮條狹縫的板，那麼電子就在這些板之間來回碰撞轉折，於是有無數條可能的路徑實現從A 到B 的過程，也就是說，電子可以通過空間中任意一條路徑到達B 點，比如圖11-3 中給出的3 條可能路徑。所以，在雙縫干涉實驗中，電子在B 點出現的概率幅就是空間中所有可能路徑的概率幅之和，即
我們知道，積分運算正是處理這種問題的好方法。費曼通過他的路徑積分計算表明，當把所有可能路徑都考慮進去時，算出的概率跟實驗值剛好吻合。
這就是路徑積分理論對於雙縫實驗的解釋，也就是說，從A 點出發的電子“探測”到了空間中所有路徑，瞬間它就把所有路徑的概率幅進行了求和，從而確定了它該以什麼樣的概率落在屏幕上，所以，即使只發射一個電子，它也會落到雙縫干涉位置上去。
這樣，我們的疑問看上去就迎刃而解了。以前我們一直奇怪，雖然前方有兩條狹縫，但是按理說一個電子只能通過一條狹縫，那麼為什麼電子不是落在單縫衍射位置而是落在雙縫干涉位置呢？現在我們明白了，從A 點發出一個電子，如果前方有兩條狹縫，那麼這個電子“探測”到的所有路徑和前方只有一條狹縫的所有路徑是不一樣的，所以其最後的落點也是不一樣的。
看起來很完美，但仔細一想，又是多麼不可思議！電子既沒有生命，也不是數學大師，它是如何在一瞬間就做完這一切的呢？也許就像光能在一瞬間決定在水中的折射率是多少才能用時最短一樣，電子的運動有一個最小的作用量在控制它，人類需要通過大量數學計算才能得到的結果，對於自然界而言，那是自然而然就產生的。
自然界就按它自己的方式存在，至於如何去理解，能不能理解，那是我們人類的事，與自然無關。
11.3 路徑積分的廣泛應用
路徑積分方法不僅為經典力學和量子力學之間架起了一座新的橋樑，同時還為量子力學、場論和統計學提供了一個統一的途徑。
費曼的導師惠勒為費曼的研究感到非常興奮，他將費曼的論文稿送到愛因斯坦那裡。他對愛因斯坦說：“這論文太精彩了，是不是? 你現在該相信量子論了吧?”
愛因斯坦看了論文，沉思了一會兒，說：“我還是不相信上帝會擲骰子……可也許我現在終於可以說是我錯了。”
現在，量子力學已經有三種表述形式，即薛定諤的波動力學、海森堡的矩陣力學和費曼的路徑積分。
費曼的路徑積分在數學上不是嚴格定義的，長期困擾費曼的一個問題是：連最簡單的氫原子模型的波函數用他的路徑積分都算不出，而這一問題早已被薛定諤方程解決了。因此，從數學上研究費曼積分的定義十分必要。
直到1979 年，Duru 與Kleinert 採用了天體物理中的一種時空變換，成功地將路徑積分理論應用到氫原子問題中，計算出氫原子能譜。這種時空變換思想為很多原來未解決的路徑積分問題打開了新的思路，促使了路徑積分量子化理論及其應用的迅猛發展。
現在，路徑積分已經成為量子場論、量子統計學、量子混沌學、量子引力理論等現代量子理論的基礎理論。創立夸克模型的蓋爾曼曾這樣評價：
“量子力學路徑積分形式比一些傳統形式更為基本，因為在許多領域它都能應用，而其他傳統表達形式將不再適用。”
路徑積分只是研究量子物理的一種途徑，為什麼它會受到物理學家如此青睞，它的迷人魅力到底是什麼呢？答案是：它可以更形象、更直觀地分析量子力學與經典力學的聯繫，它能夠體現物理體系的整體性質和時空流形的整體拓撲，而且在數學處理上也是相對來說最方便、最有效的。費曼圖就是這種魅力的直接體現。
11.4 費曼圖：物理學家的看圖說話
在路徑積分的研究中，費曼發明了一種用形象化的方法直觀地處理各種粒子相互作用的圖——費曼圖。
費曼圖只有兩個座標軸，橫座標代表“空間”，它把三維空間簡化到一個軸上，縱座標代表“時間”，所以也叫時空圖。
圖11-4 所示為一個電子吸收一個光子的時空圖。電子在時空圖上的運動用直線表示，光子的運動用波浪線表示。電子的運動雖然用直線表示，但並不是說它就沿直線運動，這條直線是表示電子從一點運動到另一點的概率振幅，而且它是所有可能路徑的概率幅之和。同理，光子也是如此。
圖中電子向右運動，在吸收一個光子後，動量受到光子影響，從而改變運動方向，開始向左運動。
圖11-5 所示為位於時空圖上1、2 兩點的兩個電子移動到3、4 兩點的物理過程。兩個電子在相互接近過程中，由於電磁力的斥力作用，會被排斥開朝相反方向運動。它們在5、6 兩點交換一個光子，即一個電子發射一個光子被另一個電子吸收，這個光子我們是看不到的，所以叫虛光子。需要說明的是，5、6 兩點在時空圖上的位置是任意的，而且電子隨時可能進行另一次光子交換，也就是說，電子可能交換兩個、三個甚至更多的光子。如圖11-6 所示為把時間軸去掉後，大家更容易理解的電子位置變化圖。
費曼的神奇之處就在於，他把所有可能過程的概率通過路徑積分計算得出後，竟然能和實驗精確吻合。使用費曼時空圖可以方便地計算出一個反應過程的躍遷概率，於是時空圖成為描述粒子之間相互作用，直觀表示粒子散射、反應和轉化等過程的一種形象化的方法，受到眾多量子物理學家們的喜愛，得到廣泛運用。
（摘自《從量子到宇宙》，作者：高鵬。）
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