波动力学和矩阵力学已经是人们习惯使用的量子力学处理方法，没想到，还有人并不满足于此，而是独辟蹊径，提出另一种数学处理方法，并且大获成功。
美国物理学家惠勒在普林斯顿大学任教之时，手下最出色的学生是理查德·费曼。1942年，费曼在惠勒的指导下完成博士论文，取得普林斯顿大学的博士学位，这篇论文提出了量子力学的另一种数学表示形式——路径积分。路径积分现在已经成为量子物理学家们必不可少的工具。后来费曼获得了诺贝尔物理学奖，成为美国最著名的物理学家之一。
11.1 路径积分：所有路径求和
了解路径积分前需要先了解一个名词——作用量。在经典力学中，作用量是一个很特别、很抽象的物理量，它表示一个物理系统内在的演化趋向，能唯一地确定这个物理系统的未来。只要设定系统在初始状态与最终状态，那么系统就会沿着作用量最小的方向演化，这被称为最小作用量原理。比如光在从空气中进入水中传播时，它所走的路径是花费时间最小的路径，所以会有一定的折射率。
经典力学体系的作用量在数学上可以用拉格朗日函数对时间的积分来表示，费曼注意到狄拉克1933年关于量子力学的拉格朗日表述，两相对照，费曼找到了结合点，于是他把作用量引进了量子力学。1942年，费曼在他的博士论文中提出了波函数的一种“按路径求和”的数学表达形式。
还记得概率振幅（即波函数）吗？费曼从概率幅的叠加原理出发，利用作用量量子化方法完整地建立了他的路径积分理论。其核心思想是：从一个时空点到另一个时空点的总概率幅是所有可能路径的概率幅之和，每一路径的概率幅与该路径的经典力学作用量相对应。把作用量引进量子力学，费曼便架起了一座连接经典力学和量子力学的新桥梁。
简单来说，这种方法要考察一个粒子（或者系统）从一点运动到另一点可能经过的所有路径，每一条路径都有自己的概率振幅，最终粒子的概率分布由所有这些可能的路径共同决定。
在这种方式下，费曼获得了一个奇妙的世界图像，它由时空中的世界线编织而成，万物皆可随心所欲地运动，而实际所发生的则是各种可能的运动方式的总和。
在《量子力学与路径积分》这本著作中，费曼指出：“量子力学中的概率概念并没有改变，所改变了的，并且根本地改变了的，是计算概率的方法。”
显然，费曼的观点与概率统计诠释的精神是一致的，他并没有与哥本哈根解释相决裂。概率幅成为路径积分的核心，费曼在一篇论文中曾说道：
“从经典力学到量子力学，许多概念的重要性发生了相当大的变化。力的概念渐渐失去了光彩，而能量和动量的概念变得头等重要。……我们不再讨论粒子的运动，而是处理在时空中变化的概率幅。动量与概率幅的波长相联系，能量与其频率相联系。动量和能量确定着波函数的相位，因而是量子力学中最为重要的量。我们不再谈论各种力，而是处理改变波长的相互作用方式。力的概念，纵使要用，也是第二位的东西。”
尽管我们可以在数学上把所有路径的概率幅叠加来处理问题，但粒子如何能识破所有路径的概率幅却是令人费解的。所以连费曼都说：“概率幅几近不可思议，迄今尚无人识破其内涵。”
11.2 路径积分对双缝实验的解释
费曼在路径积分理论中提出如下原理：如果一个事件可能以几种方式实现，则该事件的概率幅就是以各种方式单独实现时的概率幅之和。
在我们熟悉的电子双缝干涉实验中，我们仍然每次只发射一个电子。在经典运动方式下，电子从A 出发落到屏幕上任意一点B 时只能通过1、2 两条路径到达（见图11-1），那么电子在B 点出现的概率幅ψ 就是路径1 的概率幅ψ1 和路径2 的概率幅ψ2 之和，即
但是，电子并不是经典粒子，那么在量子运动状态下，电子从A 到B 有多少条可能的路径呢？如果我们能找到所有可能路径，那么就能计算出电子出现在B 点的概率。我们来设计一个稍微复杂一点的情况。我们在双缝和屏幕间再插入一块板，板上有三条狭缝，如图11-2 所示。按经典路径，那么现在从A到B 有6 条可能路径，于是电子在B 点出现的概率幅就是从路径1 到路径6 的概率幅之和，有
现在，让我们想象一下，如果在插入的板上刻出更多的狭缝，4 条、5 条、6 条……两条狭缝之间的距离越来越小，当狭缝数目趋于无穷时，会有什么效果呢？对了，那就是——这块板不见了，就跟没有这块板一样！
虽然空空如也，但我们可以认为在从A 到B 的空间里插满这种有无穷条狭缝的板，那么电子就在这些板之间来回碰撞转折，于是有无数条可能的路径实现从A 到B 的过程，也就是说，电子可以通过空间中任意一条路径到达B 点，比如图11-3 中给出的3 条可能路径。所以，在双缝干涉实验中，电子在B 点出现的概率幅就是空间中所有可能路径的概率幅之和，即
我们知道，积分运算正是处理这种问题的好方法。费曼通过他的路径积分计算表明，当把所有可能路径都考虑进去时，算出的概率跟实验值刚好吻合。
这就是路径积分理论对于双缝实验的解释，也就是说，从A 点出发的电子“探测”到了空间中所有路径，瞬间它就把所有路径的概率幅进行了求和，从而确定了它该以什么样的概率落在屏幕上，所以，即使只发射一个电子，它也会落到双缝干涉位置上去。
这样，我们的疑问看上去就迎刃而解了。以前我们一直奇怪，虽然前方有两条狭缝，但是按理说一个电子只能通过一条狭缝，那么为什么电子不是落在单缝衍射位置而是落在双缝干涉位置呢？现在我们明白了，从A 点发出一个电子，如果前方有两条狭缝，那么这个电子“探测”到的所有路径和前方只有一条狭缝的所有路径是不一样的，所以其最后的落点也是不一样的。
看起来很完美，但仔细一想，又是多么不可思议！电子既没有生命，也不是数学大师，它是如何在一瞬间就做完这一切的呢？也许就像光能在一瞬间决定在水中的折射率是多少才能用时最短一样，电子的运动有一个最小的作用量在控制它，人类需要通过大量数学计算才能得到的结果，对于自然界而言，那是自然而然就产生的。
自然界就按它自己的方式存在，至于如何去理解，能不能理解，那是我们人类的事，与自然无关。
11.3 路径积分的广泛应用
路径积分方法不仅为经典力学和量子力学之间架起了一座新的桥梁，同时还为量子力学、场论和统计学提供了一个统一的途径。
费曼的导师惠勒为费曼的研究感到非常兴奋，他将费曼的论文稿送到爱因斯坦那里。他对爱因斯坦说：“这论文太精彩了，是不是? 你现在该相信量子论了吧?”
爱因斯坦看了论文，沉思了一会儿，说：“我还是不相信上帝会掷骰子……可也许我现在终于可以说是我错了。”
现在，量子力学已经有三种表述形式，即薛定谔的波动力学、海森堡的矩阵力学和费曼的路径积分。
费曼的路径积分在数学上不是严格定义的，长期困扰费曼的一个问题是：连最简单的氢原子模型的波函数用他的路径积分都算不出，而这一问题早已被薛定谔方程解决了。因此，从数学上研究费曼积分的定义十分必要。
直到1979 年，Duru 与Kleinert 采用了天体物理中的一种时空变换，成功地将路径积分理论应用到氢原子问题中，计算出氢原子能谱。这种时空变换思想为很多原来未解决的路径积分问题打开了新的思路，促使了路径积分量子化理论及其应用的迅猛发展。
现在，路径积分已经成为量子场论、量子统计学、量子混沌学、量子引力理论等现代量子理论的基础理论。创立夸克模型的盖尔曼曾这样评价：
“量子力学路径积分形式比一些传统形式更为基本，因为在许多领域它都能应用，而其他传统表达形式将不再适用。”
路径积分只是研究量子物理的一种途径，为什么它会受到物理学家如此青睐，它的迷人魅力到底是什么呢？答案是：它可以更形象、更直观地分析量子力学与经典力学的联系，它能够体现物理体系的整体性质和时空流形的整体拓扑，而且在数学处理上也是相对来说最方便、最有效的。费曼图就是这种魅力的直接体现。
11.4 费曼图：物理学家的看图说话
在路径积分的研究中，费曼发明了一种用形象化的方法直观地处理各种粒子相互作用的图——费曼图。
费曼图只有两个坐标轴，横坐标代表“空间”，它把三维空间简化到一个轴上，纵坐标代表“时间”，所以也叫时空图。
图11-4 所示为一个电子吸收一个光子的时空图。电子在时空图上的运动用直线表示，光子的运动用波浪线表示。电子的运动虽然用直线表示，但并不是说它就沿直线运动，这条直线是表示电子从一点运动到另一点的概率振幅，而且它是所有可能路径的概率幅之和。同理，光子也是如此。
图中电子向右运动，在吸收一个光子后，动量受到光子影响，从而改变运动方向，开始向左运动。
图11-5 所示为位于时空图上1、2 两点的两个电子移动到3、4 两点的物理过程。两个电子在相互接近过程中，由于电磁力的斥力作用，会被排斥开朝相反方向运动。它们在5、6 两点交换一个光子，即一个电子发射一个光子被另一个电子吸收，这个光子我们是看不到的，所以叫虚光子。需要说明的是，5、6 两点在时空图上的位置是任意的，而且电子随时可能进行另一次光子交换，也就是说，电子可能交换两个、三个甚至更多的光子。如图11-6 所示为把时间轴去掉后，大家更容易理解的电子位置变化图。
费曼的神奇之处就在于，他把所有可能过程的概率通过路径积分计算得出后，竟然能和实验精确吻合。使用费曼时空图可以方便地计算出一个反应过程的跃迁概率，于是时空图成为描述粒子之间相互作用，直观表示粒子散射、反应和转化等过程的一种形象化的方法，受到众多量子物理学家们的喜爱，得到广泛运用。
（摘自《从量子到宇宙》，作者：高鹏。）
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