興趣地
答：全體自然數之和等於-1/12，是特殊意義下求和的數學問題，和量子力學間的聯繫目前科學家還沒有徹底弄清楚，有點類似量子場論中的重整化問題。
在看推導過程之前，需要我們忘記一般意義的無窮級數求和規則：
初等證明過程：
令S=1+2+3+4+5+6+……；
S1=1+1-1+1-1+1-1+……；
1-S1=1+1-1+1-1+1-1+……=S1；
於是S1=1/2；
再令S2=1-2+3-4+5-6+7-……；
2S2=（1-2+3-4+5-6+7-……）+（0+1-2+3-4+5-6+7-……）；
=1+1-1+1-1+1-1+……=S1；
於是S2=S1/2=1/4；
S-S2=（1+2+3+4+5+6+……）-（1-2+3-4+5-6+7-……）
=0+4+0+8+0+12+0+……=4（1+2+3+4+5+6+……）=4S
於是S=（-1/3）S2=-1/12；
既是1+2+3+4+5+6+……=-1/12；
該推導過程看似犯了很多無窮級數求和的忌諱，但這一結果在某些地方卻顯示出物理意義；該結果最早由大數學家歐拉發現，並記錄在他的手稿當中。
到了19世紀，數學家黎曼提出大名鼎鼎的黎曼函數，而“全體自然數之和等於-1/12”正是黎曼函數自變量取-1的結果。
二十世紀初，印度數學家拉馬努金定義“拉馬努金和”，根據“拉馬努金和”也可以得出“全體自然數之和等於-1/12”的結論。
在二十世紀末期，弦理論物理學家發現，“全體自然數之和等於-1/12”在研究光子質量為零時起到了關鍵作用，這是首次發現這一數學結果存在物理意義，但是更深層的解釋還未知。
有點類似於量子場論中重整化的技巧一樣，重整化指的是某些量子場論問題的發散結果，剔除無窮大之後留下來的有限值，就是正確的結果。
重整化一度被科學家們認為是“醜陋的理論”，就像把垃圾掃到地毯下邊，表面乾淨無比，實際暗藏缺陷。
所以對於“全體自然數之和等於-1/12”和量子力學聯繫的結果，目前我們外行人只能持觀望態度，沒人說得清其中的本質原因。
艾伯菌認為：發散級數在某些地方存在物理意義，或許暗示著每一個發散級數，都存在一個特徵值，這個特徵值在某些場合顯現出物理意義，倘若我們能制定一套規則，給每個發散級數賦予特徵值，形成一套自洽的數學系統的話，那將是非常美妙的事。
我再舉一個例子，文章開頭我們推導出：
無窮級數S1=1+1-1+1-1+1-1+……=1/2；
這一結果，可以根據“阿貝爾和”或者“拉馬努金和”導出，其中的物理意義也可以從量子力學中找到——薛定諤的貓。
薛定諤的貓：貓活下來為“1”，貓死了為“0”，我們不打開盒子前，貓處於“生”和“死”的疊加態，就好似“1”和“-1”的無限疊加，我們不知道級數在哪截斷，這就是不打開盒子前的疊加態，根據我們的求和結果是1/2，物理意義即是生和死的疊加；一旦我們打開盒子，就隨機截斷了無窮級數，級數前面的求和要麼收斂於“1”，要麼收斂於“0”，對應的就是波函數坍塌。
當然，這一結果只是艾伯菌腦洞大開的想法而已，或許經不起推敲，只希望給大家提供一種理解思路。
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艾伯史密斯
這是一個很專業也很嚴肅的數學問題，不過普通讀者很容易被誤導而理解錯誤。
1-1+1-1+1…=1/2 （R）
1+2+3+4+…=-1/12 （R）
1²+2²+3²+…=0 （R）
…
稍有數學基礎特別是有微積分知識的人都會被上述公式搞糊塗。這是因為你沒注意等式後面都有一個“（R）”，這並不是常規意義的“求和”，而是一種“抽象和”，即“拉馬努金和”（Ramanujin Summation）。是由著名的印度天才數學家拉馬努金提出來的，代表了發散數列的一種“數學性質”。
上述數列在常規意義下都是發散數列，根據微積分的原理，無法求和。但拉馬努金認為這種數列仍有其意義。
拉馬努金考慮將這些發散數列連續化，從求和式中剔除該連續化函數的積分。這就是拉馬努金和，表示的是離散數列和其連續形式之間的差別。因為剔除了發散的積分部分，所以許多發散數列存在有限的拉馬努金和。
這是一個相當專業的數學領域，在現代理論物理比如弦論裡也有應用。對於普通人來說只需要記住這不是“普通的求和”。
帖木兒
b站上有完整的證明視頻，有興趣的朋友可以搜一下。
整個視頻實際是用數學開了個玩笑
第一、切薩羅求和法也叫平均收斂，有這種算法，但不是那麼用的
第二、級數求極限不能隨意改變項的位置和順序
數學分析中級數的求和定義與一般級數不一樣，這是為了解決一些物理問題提出來的，這個結果應用於物理學上的特定場景
