一、分類的定義
我們在做數學運算的過程中會發現，有些問題的結論不是唯一確定的，有些問題的結論在解題中不能以統一的形式進行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數的形式給出的，這樣字母的取值不同也會影響問題的解決。由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉化手段而言都是一致的，具體來講就是在解決問題時，將問題劃分為幾種類型，或者將問題分成幾個步驟，使條件具體化，對每種情況分別討論，逐個擊破;最後歸納概括，使整個問題獲的解決，這就是利用分類分步的思想。
二、分類的標準：全面、不重複
一般地，在集合A上討論某一數學問題時，可根據據某個標準P，把A劃分為子類A1、A2、……An，這時，在A1，A2，……An上實施對問題的討論等價於在A上實施對問題的討論，把P就叫做分類討論的標準。討論某一數學問題時，根據內部規律P，把B劃分B1、B2、B3、B4、……Bn，總共n個步驟，只有B1、B2、B3、B4、B3，所有步驟都完成時，事件B才能完成。這時，在B1、B2、B3、B4、Bn上實施對問題的討論等價於在B上實施對問題的討論，把P就叫做分步討論的標準。
三、分類的原則
1、同一性原則：同一標準進行分類
2、互斥性原則：矛盾或上反對原則
分類後的每個子項應當互不相容，即做到各個子項相互排斥，分類後不能有些元素既屬於這個子項，又屬於另一個子項。用數學符號表示：Ai∩Aj=Ø，i≠j，且i，j=1，2，……n;在Ai上討論問題，肯定不含A2，A3，……，An中的元素;在A2上討論問題，肯定不含A1，A3，……，An中的元素。
四、分類分步思想的常見應用
(一)簡單計數
例1：有面面值為1分、2分、5分的硬幣各4枚，如果用它們去支付2角3分，有多少種不同的支付方法?
A、5 B、6 C、7 D、8
解析：1分和2分總錢數為1角2分，則要支付2角3分錢至少需要用3個5分的硬幣。當用3個5分的硬時，可取4個1分、2個2分;2個1分、3個2分：4個2分，共3種方法。當用4個5分的硬幣時，可取3個1分：1個1分、1個2分，共2種方法。總計5種方法。故選A。
(二)不定方程
例2：某國硬幣有5分和7分兩種，問用這兩種硬幣支付142分貸款，有多少種不同的方法?
A、3 B、4 C、6 D、8
解折：設需要x枚7分利y枚5分的硬幣恰好支付142分貨款，由題意可列7x+5y=142，因為5y的尾數只能是0或5，則7x的尾數為2或7，那麼x可以取1、6、11、16這四種情況，所以所求方法數為4，放選擇擇B。
以上就是對於分類分步的基礎講解，而分類分步問題最常用在排列組合的題型中，我們在下一節做具體的講解。
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