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【新智元導讀】反向傳播算法（BP算法）是目前用來訓練人工神經網絡的最常用且最有效的算法。作為谷歌機器學習速成課程的配套材料，谷歌推出一個演示網站，直觀地介紹了反向傳播算法的工作原理。
網站地址：
https://google-developers.appspot.com/machine-learning/crash-course/backprop-scroll/
反向傳播算法對於快速訓練大型神經網絡來說至關重要。本文將介紹該算法的工作原理。
簡單的神經網絡
如上圖，你會看到一個神經網絡，其中包含一個輸入節點、一個輸出節點，以及兩個隱藏層（分別有兩個節點）。
相鄰的層中的節點通過權重 
相關聯，這些權重是網絡參數。
激活函數
每個節點都有一個總輸入 x、一個激活函數 f(x) 以及一個輸出 y=f(x)。
f(x)必須是非線性函數，否則神經網絡就只能學習線性模型。
常用的激活函數是 S 型函數：
誤差函數
目標是根據數據自動學習網絡的權重，以便讓所有輸入 
的預測輸出
接近目標
。 為了衡量與該目標的差距，我們使用了一個誤差函數 
。常用的誤差函數是
正向傳播
首先，我們取一個輸入樣本
，並更新網絡的輸入層。
為了保持一致性，我們將輸入視為與其他任何節點相同，但不具有激活函數，以便讓其輸出與輸入相等，即 
。
現在，我們更新第一個隱藏層。我們取上一層節點的輸出 y，並使用權重來計算下一層節點的輸入 x。
然後，我們更新第一個隱藏層中節點的輸出。 為此，我們使用激活函數 f(x)。
使用這兩個公式，我們可以傳播到網絡的其餘內容，並獲得網絡的最終輸出。
誤差導數
反向傳播算法會對特定樣本的預測輸出和理想輸出進行比較，然後確定網絡的每個權重的更新幅度。 為此，我們需要計算誤差相對於每個權重 
的變化情況。
獲得誤差導數後，我們可以使用一種簡單的更新法則來更新權重：
其中，
是一個正常量，稱為“學習速率”，我們需要根據經驗對該常量進行微調。
[注意] 該更新法則非常簡單：如果在權重提高後誤差降低了 (
)，則提高權重；否則，如果在權重提高後誤差也提高了 (
)，則降低權重。其他導數
為了幫助計算 
，我們還為每個節點分別存儲了另外兩個導數，即誤差隨以下兩項的變化情況：
反向傳播
我們開始反向傳播誤差導數。 由於我們擁有此特定輸入樣本的預測輸出，因此我們可以計算誤差隨該輸出的變化情況。 根據我們的誤差函數 
，我們可以得出：
現在我們獲得了 
，接下來便可以根據鏈式法則得出
。
其中，當 f(x) 是 S 型激活函數時，
。
一旦得出相對於某節點的總輸入的誤差導數，我們便可以得出相對於進入該節點的權重的誤差導數。
根據鏈式法則，我們還可以根據上一層得出 
。此時，我們形成了一個完整的循環。
接下來，只需重複前面的 3 個公式，直到計算出所有誤差導數即可。
結束。
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