葉魚
（文/方弦）
問題是，一般的數學分析也從來沒有定義過“無窮小”這個概念啊！
或者更精確地說，在經典分析中，不存在被稱為“無窮小”的數學對象，所有“無窮小”，實際上都只是某種簡化，本身不是嚴謹的概念，但很容易嚴謹化。
舉一個“無窮小”在分析中出現的例子。對於一個由正實數組成的數列{a_n}，我們有時候會說，當n趨向於無窮的時候，a_n是一個“無窮小量”。這實際上是一種形象的簡化方式。我們實際上想說的是，當n越來越大，a_n會越來越小，比任何給定的正數都要小。用數學語言，在這裡也就是數學分析的標準ε-δ語言來說的話，數列{a_n}代表了無窮小量，實際上說的是，對於任意的正實數ε > 0，都存在一個正整數N，使得對於任意n > N，都有0 < a_n < ε。在這個嚴格的定義中，我們並沒有看到什麼“無窮小”的數學對象存在。
另一個例子就是極限。對於一個函數f(x)，我們會說它在x=a處的左極限，就是當x從左邊接近a時，在距離變成無窮小時，f(x)的值。但這實際上又是一種簡化的說法。用標準的ε-δ語言來說的話，我們說f(x)在x=a處的左極限是L，實際上是說對於任意的正實數ε > 0，存在一個δ，使得對於所有在a-δ和a之間的實數x，都有|f(x)-L| < ε。換句話說，就是給定一個很小的差距ε，只要x跟a靠得足夠近，那麼f(x)的值與極限L的差距總會小於ε。因為這個差距可以要多小有多小，所以有時候我們就說它是“無窮小”。但實際上，整個定義過程中並沒有涉及什麼本質上是“無窮小”的數學對象。
看了這兩個例子，“無窮小”到底是什麼，也就很清楚了。在數學分析中，我們說某個量是“無窮小”，實際上是說這個量可以要多小有多小。“無窮小”實際上就是一種操作，說明這個量取多小都沒有問題。因為這個概念實際上講的是一種操作方式，所以不能說它是個數學概念，而只是一種簡便說法而已。
當然，也有所謂的“非標準分析”，其中可以定義作為數學概念的無窮小，而這些無窮小還可以跟普通的實數一樣進行運算。只不過，非標準分析的建立非常麻煩，需要用到集合論和模型論中比較深刻的內容，要透徹理解它實際上不比直接學習一般的數學分析簡單。
也有一些數學體系，比如說Conway的超實數（surreal number），其中包含一整套表達不同無窮大和無窮小的數字，但在其上定義的分析就跟我們熟悉的微積分相差比較遠了。順帶一提，超實數有時候會用在博弈論的分析中，是一組很有趣的數字體系，如果學有餘力或者有興趣的話，值得學習一下。
Mathemlogical
牛頓——萊布尼茨創立古典微積分的基石就是依據於“無窮小”，極限微積分中也有“無窮小量”的比較一說 ，認為ε-δ數學語言中涉及的對象不是無窮小，不是一種數學概念明顯不靠譜。誰都清楚無窮小的極限是零，可以這樣說，沒有無窮小的前提鋪墊，就沒有極限的後續結論，標準分析就失去了必須的基礎，成為無源之水。然而在現實世界中卻找不到無窮小的對應物，極限微積分中認為點的大小為零，因此無法解釋線段的組成。緣次，美國數學家湯姆遜上世紀提出操作上更為簡明的非標準分析，逐漸為更多的人所瞭解。
部分相關問題
☆ 數有下限，點的大小並不為零。
☆ 筆直排列的有限點的集合組成線段。
☆幾何中的假命題
如果C是線段AB的中點，AC=BC,那麼，AC+BC=AB
證: 單位長度為1的三個點，組成線段AB, C是中點，AC=BC=2, AB=3,
於是 AC+BC≠AB
故 AC+BC=AB， 命題不真。 ——春草
