葉鱼
（文/方弦）
问题是，一般的数学分析也从来没有定义过“无穷小”这个概念啊！
或者更精确地说，在经典分析中，不存在被称为“无穷小”的数学对象，所有“无穷小”，实际上都只是某种简化，本身不是严谨的概念，但很容易严谨化。
举一个“无穷小”在分析中出现的例子。对于一个由正实数组成的数列{a_n}，我们有时候会说，当n趋向于无穷的时候，a_n是一个“无穷小量”。这实际上是一种形象的简化方式。我们实际上想说的是，当n越来越大，a_n会越来越小，比任何给定的正数都要小。用数学语言，在这里也就是数学分析的标准ε-δ语言来说的话，数列{a_n}代表了无穷小量，实际上说的是，对于任意的正实数ε > 0，都存在一个正整数N，使得对于任意n > N，都有0 < a_n < ε。在这个严格的定义中，我们并没有看到什么“无穷小”的数学对象存在。
另一个例子就是极限。对于一个函数f(x)，我们会说它在x=a处的左极限，就是当x从左边接近a时，在距离变成无穷小时，f(x)的值。但这实际上又是一种简化的说法。用标准的ε-δ语言来说的话，我们说f(x)在x=a处的左极限是L，实际上是说对于任意的正实数ε > 0，存在一个δ，使得对于所有在a-δ和a之间的实数x，都有|f(x)-L| < ε。换句话说，就是给定一个很小的差距ε，只要x跟a靠得足够近，那么f(x)的值与极限L的差距总会小于ε。因为这个差距可以要多小有多小，所以有时候我们就说它是“无穷小”。但实际上，整个定义过程中并没有涉及什么本质上是“无穷小”的数学对象。
看了这两个例子，“无穷小”到底是什么，也就很清楚了。在数学分析中，我们说某个量是“无穷小”，实际上是说这个量可以要多小有多小。“无穷小”实际上就是一种操作，说明这个量取多小都没有问题。因为这个概念实际上讲的是一种操作方式，所以不能说它是个数学概念，而只是一种简便说法而已。
当然，也有所谓的“非标准分析”，其中可以定义作为数学概念的无穷小，而这些无穷小还可以跟普通的实数一样进行运算。只不过，非标准分析的建立非常麻烦，需要用到集合论和模型论中比较深刻的内容，要透彻理解它实际上不比直接学习一般的数学分析简单。
也有一些数学体系，比如说Conway的超实数（surreal number），其中包含一整套表达不同无穷大和无穷小的数字，但在其上定义的分析就跟我们熟悉的微积分相差比较远了。顺带一提，超实数有时候会用在博弈论的分析中，是一组很有趣的数字体系，如果学有余力或者有兴趣的话，值得学习一下。
Mathemlogical
牛顿——莱布尼茨创立古典微积分的基石就是依据于“无穷小”，极限微积分中也有“无穷小量”的比较一说 ，认为ε-δ数学语言中涉及的对象不是无穷小，不是一种数学概念明显不靠谱。谁都清楚无穷小的极限是零，可以这样说，没有无穷小的前提铺垫，就没有极限的后续结论，标准分析就失去了必须的基础，成为无源之水。然而在现实世界中却找不到无穷小的对应物，极限微积分中认为点的大小为零，因此无法解释线段的组成。缘次，美国数学家汤姆逊上世纪提出操作上更为简明的非标准分析，逐渐为更多的人所了解。
部分相关问题
☆ 数有下限，点的大小并不为零。
☆ 笔直排列的有限点的集合组成线段。
☆几何中的假命题
如果C是线段AB的中点，AC=BC,那么，AC+BC=AB
证: 单位长度为1的三个点，组成线段AB, C是中点，AC=BC=2, AB=3,
于是 AC+BC≠AB
故 AC+BC=AB， 命题不真。 ——春草
