传说上古伏羲氏时，有龙马从黄河里跳出来，背上负着河图；有神龟从洛水里跳出来，背上负有洛书。伏羲氏根据河图、洛书演化成八卦。洛书便是最早的幻方，用现代数学语言解释，就是用1~9九个数字，填在九个格子里，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15。
有专家认为"河图"实是伏羲最终创立先天五行八卦的源头。古人还认为，"河图"是一幅以地球为中心的天体宇宙图，内藏天地玄机、奥秘乾坤，正如《易经》中所说的"天地定位"，是同一理。如果把河图之数进行内外交连，会发现它由阳数的1-3-7-9构成内旋图，由阴数的2-4-6-8构成外旋图，奇数和偶数交错旋转，而5和10为核心中位数。这就构成了宇宙模型图，也就是所谓的先天太极图吧。
另一传说，相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一本洛书，书中有如图所示的一幅奇怪的图，这幅图用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，也就是在3×3的方阵中填入1~9，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等.
洛书所体现的阴阳之数总共四十有五，以1到9相序之数为天地万物生死存亡之数。此数共列其九，构成九星图，按照周天分度，把四十五数合成了阴阳45度，以周流八方之理，相乘而得数360度，360度就代表了周天运行，圆融无碍。
孔子曰："河出图，洛出书，圣人则之"。在河洛文明演化中，我们看到中华文明的源头在《易经》中完整的呈现，大道至简，河洛文化衍生出的万物之理宏大无穷，奥妙无比。后人总结说，它们反映出的信息，实质上是以"河图"表示宇宙缩影，用"洛书"表示地球缩影，以河图为体，以洛书为用，分合之机，此消彼长。自此而立，中华文明的宏大图谱，从那时那刻拉开了序曲。
幻方，又名方阵，也叫纵横图。是一种中国传统游戏。旧时在官府、学堂多见。它的特点是将几个数字排列成方阵，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。
作为洛书三阶幻方基础的九宫数字"二九四，七五三，六一八"，在公元80年出版的古书《大戴礼记》卷八《明堂篇》中有明显记载，这是中国人在数学上的伟大创造，它奠定了数学中一个重要分支——组合学的基础。
国外最早的幻方是在印度耆那教寺庙门前一块石牌上刻的，是12－13世纪的产物。这是有据可查的最早的四阶幻方。除了各行、各列、对角线上的和是34，它的任何2×2的方块内的4个数字和也是34。这个幻方是一个泛对角幻方（完美幻方）。欧洲直到14世纪才开始研究幻方，比我国迟了近两千年。
南宋杰出数学家杨辉最早编造出各式幻方，记录在1275年他编辑的《续古摘奇算法》上；十八世纪美国科学家、发明家富兰克林曾制作了如图2所示的八阶幻方。它的幻和是260，它有一些独特的性质，如从16到10，再从23到17所成折线∧上八个数字之和也为260，且平行这种折线的诸折线∨上的八个数字之和也为260。
金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》对幻方更是情有独钟；1977年，美国发射了"旅行者一号"和"旅行者二号"宇宙飞船，飞船上载了两件与数学有关的物件，一个是勾股数，一个是耆那幻方(Jaina Square)，将它们作为人类智慧的信号，试图与"外星人"建立联系。
这个完美幻方在所有的"折对角线"上也具有数字相加之和为常数的特性、例如，方格2、12、15、5，以及方格2、3、15、14都是其折对角线，将两个完全相同的幻方并排放置在一起就可以把对角线复原。不论是把完全幻方最上面一行的方格移到最下面去或反之，还是把边上的某一列移到另一边，得到的仍然是一个完美幻方。
幻方，文化与数学的奇妙交融，还有多少未解之谜！数学家着力揭示幻方数字排列组合的奥秘，科学家希望幻方的完美性质助力人类实现与外星文明沟通的梦想，或许是与外星文明沟通密码。艺术家努力把幻方图案融合到艺术设计中，哲学家期盼参悟幻方蕴含的易学思想.
《澳门回归百子图》是由1，2，3，……，100形成的一幅十阶幻方。在珠海迎宾大道板障山顶部，可以直观拱北口岸大楼，大楼背后就是澳门。进入板樟山公园大门约100米，右侧有迂迥的石梯1999级可达顶峰。在顶峰正望澳门方向，可见一方大石碑名为《澳门回归百子图》。中央四数连读"1999·12·20 "，标示澳门回归日。最后一行中间两数"23 50"标示的是澳门面积。
例1. 运用整体核算法可证得三阶幻方有如下性质：
（1）三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上三个数的和等于这九个数的和的1/3；
（2）三阶幻方中的每行、每列、每条对角线上三个数的和是中心格数的3倍；
（3）三阶幻方的中心格数是九个数的平均数；
整体核算法即将问题中的一些对象看作一个整体，观察、分析问题中的题设与结论之间的整体特征和结构，从整体上计算、推理.
（4）在三阶幻方中，每个数都加上或乘以一个相同的数，则所得的图仍是三阶幻方.
解析：有些问题涉及的量比较多，关系复杂，我们就需要引入不同的字母，便于把数量关系表示出来，在解题中我们不需（或不能）求出所有字母的值，只需求出关键的字母的值.
如图是一个三阶幻方，且每行、每列、每条对角线上三个数的和是S，为充分表示等量关系，需设多个未知数，设而不求，运用整体核算法证明.
在上述证明过程中，为了推理而引入9个未知数，设而不求，通过整体变形、代换而解决问题.三阶幻方的性质是构造幻方的重要依据，从一个侧面回答了"三阶幻方是如何构造"的问题.
例2.如图①，a，b，c，d，e，f，g，h，i分别代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中某一个数，不同字母代表不同的数，使每个小圆内3个数的和都相等，那么a+d+g的值是多少？
解析：设这个相等的和是S，现将这9个小圆中（3×9=）27个数求和，可得：
9s=（1+2+…+9）+2×（a+b+c+d+e+f+g+h+i）=3×（1
+2+…+9）=3×45=135，故S=15.
先从9所在的小圆看，h至少是1，i最多只能是5，再从1所在的小圆看，a最多只能是9，由于1+i+a=15，所以必须i=5，a=9，由此可以求得图②.
对照图①与图②中各数的位置，可看到a+d+g=9+3+6=18.
当然也可以有另一解法.
将含1、含2、含4、含5、含7与含8的6个小圆内（3×6=）18个数求和，可得：
6×15=1+2+4+5+7+8+（a+b+c+d+e+f+g+h+i）+a
+d+g，即90=72+a+d+g，所以a+d+g=90-72=18.
例3.把数字1，2，3…，9分别填入图中的9个圈内，要求△ABC与△DEF的每条边上三个圈内数字之和都等于18.
（1）给出一种符合要求的填法；
（2）共有多少种不同的填法？证明你的结论. （山东省竞赛题）
解析：设A，B，C三个数之和为x，D，E，F三个数之和为y，剩余三个数之和为z，则x+y+z=1+2+…+9=45①，
由图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，得2+3y+2x=6×18=108②，由②-①得x+2y=108-45=63③，
把AB，BC，CA每一边上三个圈中之数的和相加，得2x+y=3×18=54④，
联立③、④解得x=15，y=24，进而z=6.
在1~9中三个数之和为24的仅有7，8，9，所以在D，E，F三处圈内，只能填7，8，9三个数，共有6种不同填法.显然，当这三个圈中之数一旦确定，根据题目要求，其余六个圈内之数也随之确定，从而得到结论，共有6种不同的填法。
随着人们对幻方性质的充分挖掘、组合数学的发展，幻方在工艺美术设计、组合分析、人工智能、图论、密码编辑、图像安全处理等方面有广泛的应用。
（1）如图，把图中每行、每列的数字组成一个三位数，并写出它们的逆序数，可得到下列美妙的算式：
（2）如图，欧洲最早的幻方出现于德国画家丢勒（1471-1528）在1514年所作的铜版画《忧郁》。
1514年，德国画家丢勒创作了一幅钢版画《忧郁》，画面右上方挂着一块4阶幻方，该画反映了人们对没有充分的知识与智慧去探索自然界奥秘的深深的"忧伤"。
通过数与形的转换，上述幻方还可以应用于艺术设计.
最富戏剧性的展示这种幻方魔力特性的办法，是康奈尔大学两位数学家罗瑟（J.Barkley Rosser）和沃克（Robert J.Walker）发表于1938年的论文中所描述的那一个。先把这个完全幻方的顶和底接在一起构成一个圆柱体，然后将它拉伸。扭曲成轮胎状的圆纹曲面。所有的行、列及对角线现在都成了闭圈。如果我们从任意一个方格开始，沿对角线方向移动两个，总是会达到同一个方格上。每个四格的闭圈，不论直加还是斜加，和都是34，像任何一个幻方中的四格组一样。
由于幻方变幻莫测，高深奇妙，不仅吸引着普通数学爱好者，还吸引了许多数学家。美国著名的幻方大师马丁·加德纳( M.Gardner，1914～)除了仔细钻研，还提出了自己的疑问——有没有反幻方呢？如果将1、2、3、…、9九个数随意填进这九个格子里，会不会出现任一行、任一列或对角线上的数字之和都不相等？看来，幻方的研究之路还很长，需要人们不断地探索。
近代发现，幻方和组合分析有密切关系，它在对策论、图论、人工智能、程序设计等中有一定用途。在过去纯粹是一种数学游戏的幻方，被人们逐渐发现蕴涵着许多深刻的数学原理，并把它应用在许多场合。电子计算机技术的飞速发展，又给这个古老的题材注入了新鲜血液。数学家们进一步深入研究它，终于使其成为一门内容极其丰富的新数学分支——组合数学。
