初中数学51 无理数

在上一期节目中，我们通过希帕索斯的故事发现，根号2所表达的数字，是一个不同于整数和分数的无限不循环小数，那么，这样的数它叫什么数呢？哎，别着急，在本期节目里呀，咱们把初中数学中所涉及到的所有数字类型，从头到尾的梳理一遍。

首先，咱们知道有12345这些自然数，自然数呢，都是从1，往后一个一个加，慢慢儿加出来的。那么，有了加法，就得有减法呀，两个小的自然数一加，就得到一个大的自然数，反过来，这大数减小数呢，就还能得到一个小的自然数，可是，如果这个小数减大数呢？它就得到了负数，有了正数负数，那自然就必须得有0了。如果我们把这个自然数负数和0整到一起，就统称整数儿。

而且，我们还知道了，乘法是快速的加法，两个整数相乘，相当于几个整数连着相加，结果呢，就仍然是一个整数。所以这个乘法呀，它是产生不了新的数字类型的，但乘法不行，它不是还有除法呢吗？当两数相乘的时候呀，增长的速度奔二快，比方说3*2=6,3*3=9,那6跟9中间儿的数字除以3怎么办呢？结果肯定没法整除呀，这样一来就产生了分数。哎，发现没有呀，无论是减法还是除法，这只要有逆运算，它就会产生新的数字类型。整数和分数合在一起呀，我们就统称他们为有理数。就是有道理的那个有理。那你说了，这整数和分数它有什么道理呀，没什么道理，其实这是一种翻译错误，最早这个词的含义是可比数或者可分的数，但是当欧洲的这个数学教材先传到日本，经过日本翻译以后呀，他们就把这个可比数，翻成了有理数，然后就一直这么叫了。不管它叫什么吧，有了有理数呀，那就得有无理数。无理数是什么呀，哎，就是今天咱们要讨论的像根号2这样的无限不循环小数。

咱们都知道呀，这乘方和开方是互为逆运算的，乘方和加法乘法是类似的，他们都是正向的运算，所以靠乘方呀，不会带来新的数据类型，但是开方就不一样了，你这个乘方的增长速度这么快，肯定中间就会跳过好多数字儿呀，比方说1的2次方是1，2的2次方是4，那在1和4之间的2、3怎么办呢？哪个数儿的平方是2，哪个数字儿的平方是3呀，没办法，无论是整数还是分数，没有任何一个数的平方是2，所以这个结果，就只能通过根号2来表示。根号2是无理数，根号3也是无理数，那么是不是所有的无理数都是开方开不出来的数字儿呢，不是这样，只要是无限不循环小数，它都是无理数！比方说，我们熟知的圆周率π，它也是一个无理数。

有理数和无理数合在一起，统称实数。实数，按照负号分，可以分为正数负数和0，按照算法分呢，就可以分为整数、分数和无理数。这就是初中阶段我们所能接触的全部的数字类型。那你说，不对呀，我们还学过有限小数和无限循环小数呢？哎，这些小数呀，是全部都可以化为分数的，今天呐，我们就把这个知识点带给大家：

首先，这个有限小数都能变成分数，这个大家是很容易理解的，比方说0.3，他就是十分之三，2.54呢，就是一百分之二百五十四。不管你的小数位数有多长，我只要在1后边儿多加上几个0就行了。那么循环小数呢？所有的循环小数都能变成分数吗？可以的！这个循环小数变分数的时候啊，只要用循环的几个数字儿当做分子，在分母上补充上对应的几个9就可以了，比方说这个0.1，如果1是循环的，咱就可以用1做分子，用1个9做分母，结果就是九分之一。不行咱就除一下试试，1除以9，商0，然后在1的后边儿补上0，变成了10，10-9等于1，然后呢，继续补上0，又变成了10除以9，所以后边儿就是0.1循环了。

同样，如果是0.12,12不断的循环呢，那么变成分数后，分子就是12，因为分子有两位，所以分母就是两个9，也就是12/99。那如果是0.423循环呢，当然就是423/999了。

那么，如果小数位不是全部循环的，只有部分循环怎么办，比方说，0.3245，后边儿的这个45是反复循环的，前边儿的32并不循环，这怎么办呢？也好办，只要把99的后边儿补上几位0就可以了，比方这个0.3245，前两位不循环，后两位循环，那么分子仍然是3245，分母就是9900。几个循环数字就几个9，几个不循环数字就是几个0。

哎，那你说，这不对吧，世界上有那么多分数，怎么可能分母都是带9的呢，那些不带9的怎么办呢？比方说三分之一？哎，你忘了，三分之一可以变成9分之三呀。换句话说9分之3也能约分成三分之一。其他的分数，也全部都能化成分母是几个9的分数，比方说1/7吧，它怎么变成几个9呀，哎，它能变成142857/999999，那你说，神了呀，为什么所有分数都能化成几个9几个0的这种形式呢？这个问题呀，稍微复杂一点儿，在这里，咱们不给出代数证明，只给出一个解释性的说明。首先，任何一个分数都可以拆成两部分的成绩，也就是几分之一乘以几得到的，对不对，然后关键在于，这个几分之一呀，它一定是一个循环小数，当一个数被1除的时候，其实1后边儿是要反复的补充0的，那么随着这个除法的进行呢，它又会一点儿一点儿的往下减，那么什么时候，这个分数就开始循环了呢？等减的余数剩下1的时候，你想呀，这个剩下的余数1，肯定后边儿还是要补充0的呀，所以它可不就循环了呗，而咱们别忘了，刚才咱们是在1后边儿补充了很多狠多的0，所以刚才咱们得到的循环节乘以这个除数，得到的一定很多个9的组合。

那么，这里边儿就会有一个问题了，0.9循环等于几，按照这个规律，0.9循环，应该等于9分之9，等于1才对，但是，我们怎么看，怎么都觉得他肯定比1小。可是如果我们看看这个循环小数的规律，又觉得它一定是等于1的，为什么呢？很简单呀，0.1循环等于1/9,0.2循环等于2/9，0.3循环等于3/9一直到九分之八，这个规律都一点儿没错儿，那凭什么到了0.9循环就不一样了呢？其实呀，0.9循环，确实是等于1的。这个证明方法呀，很多很多，但是无论怎么证明，咱们大多数人呐，就是过不了心里的那道坎儿，总觉得1减去0.9循环，应该等于0.0循环，而后后边儿还有个1才对。实际上，世界上根本没这么一个数儿，0.9循环的的确确就是等于1的，你要实在不理解呀，我就给你打个比方，我们知道1用分数来表示，可以使百分之百。话说这个人哪，没有100%完美的，但是呢，你只要朝着100%的方向，不断努力，哎，你就是100%的完美了。

好的，本期节目中，我们介绍了初中数学的数系，关于小数和分数的转换方法呀，并不在初中数学的教学范围内，所以呀，也不要求大家掌握，只要有一个基本的了解就可以了，好的，本期节目就是这样，我们下期再见。